MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnleltp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnleltp1 12596
Description: Positive integer ordering relation. (Contributed by NM, 13-Aug-2001.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnleltp1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵𝐴 < (𝐵 + 1)))

Proof of Theorem nnleltp1
StepHypRef Expression
1 nnz 12558 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
2 nnz 12558 . 2 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
3 zleltp1 12592 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵𝐴 < (𝐵 + 1)))
41, 2, 3syl2an 596 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵𝐴 < (𝐵 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106   class class class wbr 5138  (class class class)co 7390  1c1 11090   + caddc 11092   < clt 11227  cle 11228  cn 12191  cz 12537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-resscn 11146  ax-1cn 11147  ax-icn 11148  ax-addcl 11149  ax-addrcl 11150  ax-mulcl 11151  ax-mulrcl 11152  ax-mulcom 11153  ax-addass 11154  ax-mulass 11155  ax-distr 11156  ax-i2m1 11157  ax-1ne0 11158  ax-1rid 11159  ax-rnegex 11160  ax-rrecex 11161  ax-cnre 11162  ax-pre-lttri 11163  ax-pre-lttrn 11164  ax-pre-ltadd 11165  ax-pre-mulgt0 11166
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6286  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7836  df-2nd 7955  df-frecs 8245  df-wrecs 8276  df-recs 8350  df-rdg 8389  df-er 8683  df-en 8920  df-dom 8921  df-sdom 8922  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12192  df-n0 12452  df-z 12538
This theorem is referenced by:  eftlub  16031  eirrlem  16126  sqrt2irr  16171  pcmpt  16804  infpnlem2  16823  prmreclem5  16832  ovolicc2lem3  24960  voliunlem1  24991  lgamcvg2  26481  lgsquadlem2  26806  psgnfzto1stlem  32125  submateqlem1  32602  wallispilem3  44542  wtgoldbnnsum4prm  46228  bgoldbnnsum3prm  46230
  Copyright terms: Public domain W3C validator