MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcmpt 16807
Description: Construct a function with given prime count characteristics. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
pcmpt.2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
pcmpt.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
pcmpt.4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
pcmpt.5 (𝑛 = 𝑃𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
pcmpt (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = if(𝑃𝑁, 𝐵, 0))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑃,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem pcmpt
Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcmpt.3 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 fveq2 6878 . . . . . 6 (𝑝 = 1 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑝) = (seq1( · , 𝐹)‘1))
32oveq2d 7409 . . . . 5 (𝑝 = 1 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑝)) = (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘1)))
4 breq2 5145 . . . . . 6 (𝑝 = 1 → (𝑃𝑝𝑃 ≤ 1))
54ifbid 4545 . . . . 5 (𝑝 = 1 → if(𝑃𝑝, 𝐵, 0) = if(𝑃 ≤ 1, 𝐵, 0))
63, 5eqeq12d 2747 . . . 4 (𝑝 = 1 → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑝)) = if(𝑃𝑝, 𝐵, 0) ↔ (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘1)) = if(𝑃 ≤ 1, 𝐵, 0)))
76imbi2d 340 . . 3 (𝑝 = 1 → ((𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑝)) = if(𝑃𝑝, 𝐵, 0)) ↔ (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘1)) = if(𝑃 ≤ 1, 𝐵, 0))))
8 fveq2 6878 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑘 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑝) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
98oveq2d 7409 . . . . 5 (𝑝 = 𝑘 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑝)) = (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
10 breq2 5145 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑘 → (𝑃𝑝𝑃𝑘))
1110ifbid 4545 . . . . 5 (𝑝 = 𝑘 → if(𝑃𝑝, 𝐵, 0) = if(𝑃𝑘, 𝐵, 0))
129, 11eqeq12d 2747 . . . 4 (𝑝 = 𝑘 → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑝)) = if(𝑃𝑝, 𝐵, 0) ↔ (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = if(𝑃𝑘, 𝐵, 0)))
1312imbi2d 340 . . 3 (𝑝 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑝)) = if(𝑃𝑝, 𝐵, 0)) ↔ (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = if(𝑃𝑘, 𝐵, 0))))
14 fveq2 6878 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑘 + 1) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑝) = (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)))
1514oveq2d 7409 . . . . 5 (𝑝 = (𝑘 + 1) → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑝)) = (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))))
16 breq2 5145 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑘 + 1) → (𝑃𝑝𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
1716ifbid 4545 . . . . 5 (𝑝 = (𝑘 + 1) → if(𝑃𝑝, 𝐵, 0) = if(𝑃 ≤ (𝑘 + 1), 𝐵, 0))
1815, 17eqeq12d 2747 . . . 4 (𝑝 = (𝑘 + 1) → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑝)) = if(𝑃𝑝, 𝐵, 0) ↔ (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = if(𝑃 ≤ (𝑘 + 1), 𝐵, 0)))
1918imbi2d 340 . . 3 (𝑝 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑝)) = if(𝑃𝑝, 𝐵, 0)) ↔ (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = if(𝑃 ≤ (𝑘 + 1), 𝐵, 0))))
20 fveq2 6878 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑁 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑝) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))
2120oveq2d 7409 . . . . 5 (𝑝 = 𝑁 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑝)) = (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)))
22 breq2 5145 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑁 → (𝑃𝑝𝑃𝑁))
2322ifbid 4545 . . . . 5 (𝑝 = 𝑁 → if(𝑃𝑝, 𝐵, 0) = if(𝑃𝑁, 𝐵, 0))
2421, 23eqeq12d 2747 . . . 4 (𝑝 = 𝑁 → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑝)) = if(𝑃𝑝, 𝐵, 0) ↔ (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)))
2524imbi2d 340 . . 3 (𝑝 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑝)) = if(𝑃𝑝, 𝐵, 0)) ↔ (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = if(𝑃𝑁, 𝐵, 0))))
26 pcmpt.4 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
27 1z 12574 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
28 seq1 13961 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . 8 (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1)
30 1nn 12205 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
31 1nprm 16598 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 1 ∈ ℙ
32 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
3331, 32mtbiri 326 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → ¬ 𝑛 ∈ ℙ)
3433iffalsed 4533 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) = 1)
35 pcmpt.1 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
36 1ex 11192 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
3734, 35, 36fvmpt 6984 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℕ → (𝐹‘1) = 1)
3830, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐹‘1) = 1
3929, 38eqtri 2759 . . . . . . 7 (seq1( · , 𝐹)‘1) = 1
4039oveq2i 7404 . . . . . 6 (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘1)) = (𝑃 pCnt 1)
41 pc1 16770 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = 0)
4240, 41eqtrid 2783 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘1)) = 0)
43 prmgt1 16616 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
44 1re 11196 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
45 prmuz2 16615 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
46 eluzelre 12815 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
4745, 46syl 17 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
48 ltnle 11275 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (1 < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ 1))
4944, 47, 48sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → (1 < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ 1))
5043, 49mpbid 231 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ≤ 1)
5150iffalsed 4533 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → if(𝑃 ≤ 1, 𝐵, 0) = 0)
5242, 51eqtr4d 2774 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘1)) = if(𝑃 ≤ 1, 𝐵, 0))
5326, 52syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘1)) = if(𝑃 ≤ 1, 𝐵, 0))
5426adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
55 pcmpt.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
5635, 55pcmptcl 16806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
5756simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℕ)
58 peano2nn 12206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
59 ffvelcdm 7068 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
6057, 58, 59syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
6160adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
6254, 61pccld 16765 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℕ0)
6362nn0cnd 12516 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
6463addlidd 11397 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (0 + (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1))))
6558ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
66 ovex 7426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝐴) ∈ V
6766, 36ifex 4572 . . . . . . . . . . . . . 14 if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ V
6867csbex 5304 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 + 1) / 𝑛if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ V
6935fvmpts 6987 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) / 𝑛if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ V) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝑘 + 1) / 𝑛if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
70 ovex 7426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 + 1) ∈ V
71 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛(𝑘 + 1) ∈ ℙ
72 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛(𝑘 + 1)
73 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛
74 nfcsb1v 3914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴
7572, 73, 74nfov 7423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴)
76 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛1
7771, 75, 76nfif 4552 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴), 1)
78 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 ∈ ℙ ↔ (𝑘 + 1) ∈ ℙ))
79 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝑘 + 1) → 𝑛 = (𝑘 + 1))
80 csbeq1a 3903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝑘 + 1) → 𝐴 = (𝑘 + 1) / 𝑛𝐴)
8179, 80oveq12d 7411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛𝐴) = ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴))
8278, 81ifbieq1d 4546 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑘 + 1) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) = if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴), 1))
8370, 77, 82csbief 3924 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 + 1) / 𝑛if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) = if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴), 1)
8469, 83eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑘 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) / 𝑛if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ V) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴), 1))
8565, 68, 84sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴), 1))
86 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (𝑘 + 1) = 𝑃)
8786, 54eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (𝑘 + 1) ∈ ℙ)
8887iftrued 4530 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴), 1) = ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴))
8986csbeq1d 3893 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (𝑘 + 1) / 𝑛𝐴 = 𝑃 / 𝑛𝐴)
90 nfcvd 2903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑛𝐵)
91 pcmpt.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑃𝐴 = 𝐵)
9290, 91csbiegf 3923 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 / 𝑛𝐴 = 𝐵)
9354, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → 𝑃 / 𝑛𝐴 = 𝐵)
9489, 93eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (𝑘 + 1) / 𝑛𝐴 = 𝐵)
9586, 94oveq12d 7411 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴) = (𝑃𝐵))
9685, 88, 953eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝐵))
9796oveq2d 7409 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1))) = (𝑃 pCnt (𝑃𝐵)))
9891eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑃 → (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0))
9998rspcv 3605 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → (∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0))
10026, 55, 99sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
101100adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → 𝐵 ∈ ℕ0)
102 pcidlem 16787 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐵)) = 𝐵)
10354, 101, 102syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐵)) = 𝐵)
10464, 97, 1033eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (0 + (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = 𝐵)
105 oveq1 7400 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = 0 → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) + (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = (0 + (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
106105eqeq1d 2733 . . . . . . . . 9 ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = 0 → (((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) + (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = 𝐵 ↔ (0 + (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = 𝐵))
107104, 106syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = 0 → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) + (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = 𝐵))
108 nnre 12201 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
109108ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → 𝑘 ∈ ℝ)
110 ltp1 12036 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 < (𝑘 + 1))
111 peano2re 11369 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
112 ltnle 11275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑘 < (𝑘 + 1) ↔ ¬ (𝑘 + 1) ≤ 𝑘))
113111, 112mpdan 685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 < (𝑘 + 1) ↔ ¬ (𝑘 + 1) ≤ 𝑘))
114110, 113mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℝ → ¬ (𝑘 + 1) ≤ 𝑘)
115109, 114syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → ¬ (𝑘 + 1) ≤ 𝑘)
11686breq1d 5151 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → ((𝑘 + 1) ≤ 𝑘𝑃𝑘))
117115, 116mtbid 323 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → ¬ 𝑃𝑘)
118117iffalsed 4533 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → if(𝑃𝑘, 𝐵, 0) = 0)
119118eqeq2d 2742 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = if(𝑃𝑘, 𝐵, 0) ↔ (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = 0))
120 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
121 nnuz 12847 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ = (ℤ‘1)
122120, 121eleqtrdi 2842 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
123 seqp1 13963 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
125124oveq2d 7409 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
12626adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
12756simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
128127ffvelcdmda 7071 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ)
129 nnz 12561 . . . . . . . . . . . . . 14 ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℤ)
130 nnne0 12228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≠ 0)
131129, 130jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≠ 0))
132128, 131syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≠ 0))
133 nnz 12561 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
134 nnne0 12228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0)
135133, 134jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0))
13660, 135syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0))
137 pcmul 16766 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≠ 0) ∧ ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) + (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
138126, 132, 136, 137syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) + (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
139125, 138eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) + (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
140139adantrr 715 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) + (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
141 prmnn 16593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
14226, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
143142nnred 12209 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
144143adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ)
145144leidd 11762 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → 𝑃𝑃)
146145, 86breqtrrd 5169 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))
147146iftrued 4530 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → if(𝑃 ≤ (𝑘 + 1), 𝐵, 0) = 𝐵)
148140, 147eqeq12d 2747 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = if(𝑃 ≤ (𝑘 + 1), 𝐵, 0) ↔ ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) + (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = 𝐵))
149107, 119, 1483imtr4d 293 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = if(𝑃𝑘, 𝐵, 0) → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = if(𝑃 ≤ (𝑘 + 1), 𝐵, 0)))
150149expr 457 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) = 𝑃 → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = if(𝑃𝑘, 𝐵, 0) → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = if(𝑃 ≤ (𝑘 + 1), 𝐵, 0))))
151139adantrr 715 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) + (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
152 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)
153152necomd 2995 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ≠ (𝑘 + 1))
15426ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
155 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℙ)
15655ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
15774nfel1 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0
15880eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝐴 ∈ ℕ0(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0))
159157, 158rspc 3597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 + 1) ∈ ℙ → (∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0))
160155, 156, 159sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0)
161 prmdvdsexpr 16636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑘 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴) → 𝑃 = (𝑘 + 1)))
162154, 155, 160, 161syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴) → 𝑃 = (𝑘 + 1)))
163162necon3ad 2952 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝑃 ≠ (𝑘 + 1) → ¬ 𝑃 ∥ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴)))
164153, 163mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ¬ 𝑃 ∥ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴))
16558ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
166165, 68, 84sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴), 1))
167 iftrue 4528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 + 1) ∈ ℙ → if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴), 1) = ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴))
168166, 167sylan9eq 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴))
169168breq2d 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴)))
170164, 169mtbird 324 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ¬ 𝑃 ∥ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
17157adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
172171, 165, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
173172adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
174 pceq0 16786 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1))) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
175154, 173, 174syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1))) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
176170, 175mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1))) = 0)
177 iffalse 4531 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ → if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴), 1) = 1)
178166, 177sylan9eq 2791 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 1)
179178oveq2d 7409 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1))) = (𝑃 pCnt 1))
18026, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 pCnt 1) = 0)
181180ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 1) = 0)
182179, 181eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1))) = 0)
183176, 182pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1))) = 0)
184183oveq2d 7409 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) + (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) + 0))
18526adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
186128adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ)
187185, 186pccld 16765 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) ∈ ℕ0)
188187nn0cnd 12516 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) ∈ ℂ)
189188addridd 11396 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) + 0) = (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
190151, 184, 1893eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
191142adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
192191nnred 12209 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ)
193165nnred 12209 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
194192, 193ltlend 11341 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (𝑃 < (𝑘 + 1) ↔ (𝑃 ≤ (𝑘 + 1) ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)))
195 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → 𝑘 ∈ ℕ)
196 nnleltp1 12599 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘𝑃 < (𝑘 + 1)))
197191, 195, 196syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (𝑃𝑘𝑃 < (𝑘 + 1)))
198 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)
199198biantrud 532 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑃 ≤ (𝑘 + 1) ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)))
200194, 197, 1993bitr4rd 311 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑘 + 1) ↔ 𝑃𝑘))
201200ifbid 4545 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → if(𝑃 ≤ (𝑘 + 1), 𝐵, 0) = if(𝑃𝑘, 𝐵, 0))
202190, 201eqeq12d 2747 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = if(𝑃 ≤ (𝑘 + 1), 𝐵, 0) ↔ (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = if(𝑃𝑘, 𝐵, 0)))
203202biimprd 247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = if(𝑃𝑘, 𝐵, 0) → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = if(𝑃 ≤ (𝑘 + 1), 𝐵, 0)))
204203expr 457 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) ≠ 𝑃 → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = if(𝑃𝑘, 𝐵, 0) → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = if(𝑃 ≤ (𝑘 + 1), 𝐵, 0))))
205150, 204pm2.61dne 3027 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = if(𝑃𝑘, 𝐵, 0) → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = if(𝑃 ≤ (𝑘 + 1), 𝐵, 0)))
206205expcom 414 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = if(𝑃𝑘, 𝐵, 0) → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = if(𝑃 ≤ (𝑘 + 1), 𝐵, 0))))
207206a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = if(𝑃𝑘, 𝐵, 0)) → (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = if(𝑃 ≤ (𝑘 + 1), 𝐵, 0))))
2087, 13, 19, 25, 53, 207nnind 12212 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)))
2091, 208mpcom 38 1 (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = if(𝑃𝑁, 𝐵, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  wral 3060  Vcvv 3473  csb 3889  ifcif 4522   class class class wbr 5141  cmpt 5224  wf 6528  cfv 6532  (class class class)co 7393  cr 11091  0cc0 11092  1c1 11093   + caddc 11095   · cmul 11097   < clt 11230  cle 11231  cn 12194  2c2 12249  0cn0 12454  cz 12540  cuz 12804  seqcseq 13948  cexp 14009  cdvds 16179  cprime 16590   pCnt cpc 16751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-fz 13467  df-fl 13739  df-mod 13817  df-seq 13949  df-exp 14010  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-dvds 16180  df-gcd 16418  df-prm 16591  df-pc 16752
This theorem is referenced by:  pcmpt2  16808  pcprod  16810  1arithlem4  16841  chtublem  26641  bposlem3  26716
  Copyright terms: Public domain W3C validator