MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcmpt 16764
Description: Construct a function with given prime count characteristics. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
pcmpt.2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
pcmpt.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
pcmpt.4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
pcmpt.5 (𝑛 = 𝑃𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
pcmpt (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = if(𝑃𝑁, 𝐵, 0))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑃,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem pcmpt
Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcmpt.3 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝑝 = 1 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑝) = (seq1( · , 𝐹)‘1))
32oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑝 = 1 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑝)) = (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘1)))
4 breq2 5109 . . . . . 6 (𝑝 = 1 → (𝑃𝑝𝑃 ≤ 1))
54ifbid 4509 . . . . 5 (𝑝 = 1 → if(𝑃𝑝, 𝐵, 0) = if(𝑃 ≤ 1, 𝐵, 0))
63, 5eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑝 = 1 → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑝)) = if(𝑃𝑝, 𝐵, 0) ↔ (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘1)) = if(𝑃 ≤ 1, 𝐵, 0)))
76imbi2d 340 . . 3 (𝑝 = 1 → ((𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑝)) = if(𝑃𝑝, 𝐵, 0)) ↔ (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘1)) = if(𝑃 ≤ 1, 𝐵, 0))))
8 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑘 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑝) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
98oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑝 = 𝑘 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑝)) = (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
10 breq2 5109 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑘 → (𝑃𝑝𝑃𝑘))
1110ifbid 4509 . . . . 5 (𝑝 = 𝑘 → if(𝑃𝑝, 𝐵, 0) = if(𝑃𝑘, 𝐵, 0))
129, 11eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑝 = 𝑘 → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑝)) = if(𝑃𝑝, 𝐵, 0) ↔ (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = if(𝑃𝑘, 𝐵, 0)))
1312imbi2d 340 . . 3 (𝑝 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑝)) = if(𝑃𝑝, 𝐵, 0)) ↔ (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = if(𝑃𝑘, 𝐵, 0))))
14 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑘 + 1) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑝) = (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)))
1514oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑝 = (𝑘 + 1) → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑝)) = (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))))
16 breq2 5109 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑘 + 1) → (𝑃𝑝𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
1716ifbid 4509 . . . . 5 (𝑝 = (𝑘 + 1) → if(𝑃𝑝, 𝐵, 0) = if(𝑃 ≤ (𝑘 + 1), 𝐵, 0))
1815, 17eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑝 = (𝑘 + 1) → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑝)) = if(𝑃𝑝, 𝐵, 0) ↔ (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = if(𝑃 ≤ (𝑘 + 1), 𝐵, 0)))
1918imbi2d 340 . . 3 (𝑝 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑝)) = if(𝑃𝑝, 𝐵, 0)) ↔ (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = if(𝑃 ≤ (𝑘 + 1), 𝐵, 0))))
20 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑁 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑝) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))
2120oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑝 = 𝑁 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑝)) = (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)))
22 breq2 5109 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑁 → (𝑃𝑝𝑃𝑁))
2322ifbid 4509 . . . . 5 (𝑝 = 𝑁 → if(𝑃𝑝, 𝐵, 0) = if(𝑃𝑁, 𝐵, 0))
2421, 23eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑝 = 𝑁 → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑝)) = if(𝑃𝑝, 𝐵, 0) ↔ (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)))
2524imbi2d 340 . . 3 (𝑝 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑝)) = if(𝑃𝑝, 𝐵, 0)) ↔ (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = if(𝑃𝑁, 𝐵, 0))))
26 pcmpt.4 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
27 1z 12533 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
28 seq1 13919 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . 8 (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1)
30 1nn 12164 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
31 1nprm 16555 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 1 ∈ ℙ
32 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
3331, 32mtbiri 326 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → ¬ 𝑛 ∈ ℙ)
3433iffalsed 4497 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) = 1)
35 pcmpt.1 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
36 1ex 11151 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
3734, 35, 36fvmpt 6948 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℕ → (𝐹‘1) = 1)
3830, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐹‘1) = 1
3929, 38eqtri 2764 . . . . . . 7 (seq1( · , 𝐹)‘1) = 1
4039oveq2i 7368 . . . . . 6 (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘1)) = (𝑃 pCnt 1)
41 pc1 16727 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = 0)
4240, 41eqtrid 2788 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘1)) = 0)
43 prmgt1 16573 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
44 1re 11155 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
45 prmuz2 16572 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
46 eluzelre 12774 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
4745, 46syl 17 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
48 ltnle 11234 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (1 < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ 1))
4944, 47, 48sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → (1 < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ 1))
5043, 49mpbid 231 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ≤ 1)
5150iffalsed 4497 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → if(𝑃 ≤ 1, 𝐵, 0) = 0)
5242, 51eqtr4d 2779 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘1)) = if(𝑃 ≤ 1, 𝐵, 0))
5326, 52syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘1)) = if(𝑃 ≤ 1, 𝐵, 0))
5426adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
55 pcmpt.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
5635, 55pcmptcl 16763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
5756simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℕ)
58 peano2nn 12165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
59 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
6057, 58, 59syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
6160adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
6254, 61pccld 16722 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℕ0)
6362nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
6463addid2d 11356 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (0 + (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1))))
6558ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
66 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝐴) ∈ V
6766, 36ifex 4536 . . . . . . . . . . . . . 14 if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ V
6867csbex 5268 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 + 1) / 𝑛if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ V
6935fvmpts 6951 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) / 𝑛if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ V) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝑘 + 1) / 𝑛if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
70 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 + 1) ∈ V
71 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛(𝑘 + 1) ∈ ℙ
72 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛(𝑘 + 1)
73 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛
74 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴
7572, 73, 74nfov 7387 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴)
76 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛1
7771, 75, 76nfif 4516 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴), 1)
78 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 ∈ ℙ ↔ (𝑘 + 1) ∈ ℙ))
79 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝑘 + 1) → 𝑛 = (𝑘 + 1))
80 csbeq1a 3869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝑘 + 1) → 𝐴 = (𝑘 + 1) / 𝑛𝐴)
8179, 80oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛𝐴) = ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴))
8278, 81ifbieq1d 4510 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑘 + 1) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) = if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴), 1))
8370, 77, 82csbief 3890 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 + 1) / 𝑛if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) = if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴), 1)
8469, 83eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑘 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) / 𝑛if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ V) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴), 1))
8565, 68, 84sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴), 1))
86 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (𝑘 + 1) = 𝑃)
8786, 54eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (𝑘 + 1) ∈ ℙ)
8887iftrued 4494 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴), 1) = ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴))
8986csbeq1d 3859 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (𝑘 + 1) / 𝑛𝐴 = 𝑃 / 𝑛𝐴)
90 nfcvd 2908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑛𝐵)
91 pcmpt.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑃𝐴 = 𝐵)
9290, 91csbiegf 3889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 / 𝑛𝐴 = 𝐵)
9354, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → 𝑃 / 𝑛𝐴 = 𝐵)
9489, 93eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (𝑘 + 1) / 𝑛𝐴 = 𝐵)
9586, 94oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴) = (𝑃𝐵))
9685, 88, 953eqtrd 2780 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝐵))
9796oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1))) = (𝑃 pCnt (𝑃𝐵)))
9891eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑃 → (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0))
9998rspcv 3577 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → (∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0))
10026, 55, 99sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
101100adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → 𝐵 ∈ ℕ0)
102 pcidlem 16744 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐵)) = 𝐵)
10354, 101, 102syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐵)) = 𝐵)
10464, 97, 1033eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (0 + (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = 𝐵)
105 oveq1 7364 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = 0 → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) + (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = (0 + (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
106105eqeq1d 2738 . . . . . . . . 9 ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = 0 → (((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) + (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = 𝐵 ↔ (0 + (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = 𝐵))
107104, 106syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = 0 → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) + (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = 𝐵))
108 nnre 12160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
109108ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → 𝑘 ∈ ℝ)
110 ltp1 11995 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 < (𝑘 + 1))
111 peano2re 11328 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
112 ltnle 11234 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑘 < (𝑘 + 1) ↔ ¬ (𝑘 + 1) ≤ 𝑘))
113111, 112mpdan 685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 < (𝑘 + 1) ↔ ¬ (𝑘 + 1) ≤ 𝑘))
114110, 113mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℝ → ¬ (𝑘 + 1) ≤ 𝑘)
115109, 114syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → ¬ (𝑘 + 1) ≤ 𝑘)
11686breq1d 5115 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → ((𝑘 + 1) ≤ 𝑘𝑃𝑘))
117115, 116mtbid 323 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → ¬ 𝑃𝑘)
118117iffalsed 4497 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → if(𝑃𝑘, 𝐵, 0) = 0)
119118eqeq2d 2747 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = if(𝑃𝑘, 𝐵, 0) ↔ (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = 0))
120 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
121 nnuz 12806 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ = (ℤ‘1)
122120, 121eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
123 seqp1 13921 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
125124oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
12626adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
12756simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
128127ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ)
129 nnz 12520 . . . . . . . . . . . . . 14 ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℤ)
130 nnne0 12187 . . . . . . . . . . . . . 14 ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≠ 0)
131129, 130jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≠ 0))
132128, 131syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≠ 0))
133 nnz 12520 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
134 nnne0 12187 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0)
135133, 134jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0))
13660, 135syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0))
137 pcmul 16723 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≠ 0) ∧ ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) + (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
138126, 132, 136, 137syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) + (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
139125, 138eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) + (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
140139adantrr 715 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) + (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
141 prmnn 16550 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
14226, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
143142nnred 12168 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
144143adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ)
145144leidd 11721 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → 𝑃𝑃)
146145, 86breqtrrd 5133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))
147146iftrued 4494 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → if(𝑃 ≤ (𝑘 + 1), 𝐵, 0) = 𝐵)
148140, 147eqeq12d 2752 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = if(𝑃 ≤ (𝑘 + 1), 𝐵, 0) ↔ ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) + (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = 𝐵))
149107, 119, 1483imtr4d 293 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) = 𝑃)) → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = if(𝑃𝑘, 𝐵, 0) → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = if(𝑃 ≤ (𝑘 + 1), 𝐵, 0)))
150149expr 457 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) = 𝑃 → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = if(𝑃𝑘, 𝐵, 0) → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = if(𝑃 ≤ (𝑘 + 1), 𝐵, 0))))
151139adantrr 715 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) + (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
152 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)
153152necomd 2999 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ≠ (𝑘 + 1))
15426ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
155 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℙ)
15655ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
15774nfel1 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0
15880eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝐴 ∈ ℕ0(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0))
159157, 158rspc 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 + 1) ∈ ℙ → (∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0))
160155, 156, 159sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0)
161 prmdvdsexpr 16593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑘 + 1) / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴) → 𝑃 = (𝑘 + 1)))
162154, 155, 160, 161syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴) → 𝑃 = (𝑘 + 1)))
163162necon3ad 2956 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝑃 ≠ (𝑘 + 1) → ¬ 𝑃 ∥ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴)))
164153, 163mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ¬ 𝑃 ∥ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴))
16558ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
166165, 68, 84sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴), 1))
167 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 + 1) ∈ ℙ → if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴), 1) = ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴))
168166, 167sylan9eq 2796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴))
169168breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴)))
170164, 169mtbird 324 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ¬ 𝑃 ∥ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
17157adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
172171, 165, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
173172adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
174 pceq0 16743 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1))) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
175154, 173, 174syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1))) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
176170, 175mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1))) = 0)
177 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ → if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1) / 𝑛𝐴), 1) = 1)
178166, 177sylan9eq 2796 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 1)
179178oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1))) = (𝑃 pCnt 1))
18026, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 pCnt 1) = 0)
181180ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt 1) = 0)
182179, 181eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1))) = 0)
183176, 182pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1))) = 0)
184183oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) + (𝑃 pCnt (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) + 0))
18526adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
186128adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ)
187185, 186pccld 16722 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) ∈ ℕ0)
188187nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) ∈ ℂ)
189188addid1d 11355 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) + 0) = (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
190151, 184, 1893eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
191142adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
192191nnred 12168 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ)
193165nnred 12168 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
194192, 193ltlend 11300 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (𝑃 < (𝑘 + 1) ↔ (𝑃 ≤ (𝑘 + 1) ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)))
195 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → 𝑘 ∈ ℕ)
196 nnleltp1 12558 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘𝑃 < (𝑘 + 1)))
197191, 195, 196syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (𝑃𝑘𝑃 < (𝑘 + 1)))
198 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)
199198biantrud 532 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑃 ≤ (𝑘 + 1) ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)))
200194, 197, 1993bitr4rd 311 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → (𝑃 ≤ (𝑘 + 1) ↔ 𝑃𝑘))
201200ifbid 4509 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → if(𝑃 ≤ (𝑘 + 1), 𝐵, 0) = if(𝑃𝑘, 𝐵, 0))
202190, 201eqeq12d 2752 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = if(𝑃 ≤ (𝑘 + 1), 𝐵, 0) ↔ (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = if(𝑃𝑘, 𝐵, 0)))
203202biimprd 247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ≠ 𝑃)) → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = if(𝑃𝑘, 𝐵, 0) → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = if(𝑃 ≤ (𝑘 + 1), 𝐵, 0)))
204203expr 457 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) ≠ 𝑃 → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = if(𝑃𝑘, 𝐵, 0) → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = if(𝑃 ≤ (𝑘 + 1), 𝐵, 0))))
205150, 204pm2.61dne 3031 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = if(𝑃𝑘, 𝐵, 0) → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = if(𝑃 ≤ (𝑘 + 1), 𝐵, 0)))
206205expcom 414 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = if(𝑃𝑘, 𝐵, 0) → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = if(𝑃 ≤ (𝑘 + 1), 𝐵, 0))))
207206a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)) = if(𝑃𝑘, 𝐵, 0)) → (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1))) = if(𝑃 ≤ (𝑘 + 1), 𝐵, 0))))
2087, 13, 19, 25, 53, 207nnind 12171 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)))
2091, 208mpcom 38 1 (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = if(𝑃𝑁, 𝐵, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3445  csb 3855  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  seqcseq 13906  cexp 13967  cdvds 16136  cprime 16547   pCnt cpc 16708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-pc 16709
This theorem is referenced by:  pcmpt2  16765  pcprod  16767  1arithlem4  16798  chtublem  26559  bposlem3  26634
  Copyright terms: Public domain W3C validator