Theorem sqrt2irr 16311

Description: The square root of 2 is irrational. See zsqrtelqelz 16823 for a generalization to all non-square integers. The proof's core is proven in sqrt2irrlem 16310, which shows that if 𝐴 / 𝐵 = √(2), then 𝐴 and 𝐵 are even, so 𝐴 / 2 and 𝐵 / 2 are smaller representatives, which is absurd. An older version of this proof was included in The Seventeen Provers of the World compiled by Freek Wiedijk. It is also the first of the "top 100" mathematical theorems whose formalization is tracked by Freek Wiedijk on his Formalizing 100 Theorems page at http://www.cs.ru.nl/~freek/100/ 16310. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2irr	⊢ (√‘2) ∉ ℚ

Proof of Theorem sqrt2irr

Dummy variables 𝑥 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn 12251	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℕ)
2		breq2 5112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑧 < 𝑛 ↔ 𝑧 < 1))
3	2	imbi1d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑧 < 𝑛 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ↔ (𝑧 < 1 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧))))
4	3	ralbidv 3187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑛 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 1 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧))))
5		breq2 5112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (𝑧 < 𝑛 ↔ 𝑧 < 𝑦))
6	5	imbi1d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → ((𝑧 < 𝑛 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ↔ (𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧))))
7	6	ralbidv 3187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑛 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧))))
8		breq2 5112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑦 + 1) → (𝑧 < 𝑛 ↔ 𝑧 < (𝑦 + 1)))
9	8	imbi1d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑦 + 1) → ((𝑧 < 𝑛 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ↔ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧))))
10	9	ralbidv 3187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑦 + 1) → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑛 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧))))
11		nnnlt1 12274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ¬ 𝑧 < 1)
12	11	pm2.21d 122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 < 1 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)))
13	12	rgen 3080	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 1 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧))
14		nnrp 13034	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ+)
15		rphalflt 13053	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) < 𝑦)
16	14, 15	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 / 2) < 𝑦)
17		breq1 5111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (𝑦 / 2) → (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝑦 / 2) < 𝑦))
18		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = (𝑦 / 2) → (𝑥 / 𝑧) = (𝑥 / (𝑦 / 2)))
19	18	neeq2d 3017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (𝑦 / 2) → ((√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧) ↔ (√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2))))
20	19	ralbidv 3187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (𝑦 / 2) → (∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2))))
21	17, 20	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑦 / 2) → ((𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ↔ ((𝑦 / 2) < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2)))))
22	21	rspcv 3576	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) → ((𝑦 / 2) < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2)))))
23	22	com13 89	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 / 2) < 𝑦 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) → ((𝑦 / 2) ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2)))))
24	16, 23	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) → ((𝑦 / 2) ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2)))))
25		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → (√‘2) = (𝑧 / 𝑦))
26		zcn 12602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
27	26	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℂ)
28		nncn 12247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
29	28	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
30		2cnd 12325	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → 2 ∈ ℂ)
31		nnne0 12276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
32	31	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → 𝑦 ≠ 0)
33		2ne0 12353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ≠ 0
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → 2 ≠ 0)
35	27, 29, 30, 32, 34	divcan7d 12025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → ((𝑧 / 2) / (𝑦 / 2)) = (𝑧 / 𝑦))
36	25, 35	eqtr4d 2800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → (√‘2) = ((𝑧 / 2) / (𝑦 / 2)))
37		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℤ)
38		simpll 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ)
39	37, 38, 25	sqrt2irrlem 16310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → ((𝑧 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℕ))
40	39	simprd 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → (𝑦 / 2) ∈ ℕ)
41	39	simpld 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → (𝑧 / 2) ∈ ℤ)
42		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = (𝑧 / 2) → (𝑥 / (𝑦 / 2)) = ((𝑧 / 2) / (𝑦 / 2)))
43	42	neeq2d 3017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑧 / 2) → ((√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2)) ↔ (√‘2) ≠ ((𝑧 / 2) / (𝑦 / 2))))
44	43	rspcv 3576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 / 2) ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2)) → (√‘2) ≠ ((𝑧 / 2) / (𝑦 / 2))))
45	41, 44	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → (∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2)) → (√‘2) ≠ ((𝑧 / 2) / (𝑦 / 2))))
46	40, 45	embantd 60	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → (((𝑦 / 2) ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2))) → (√‘2) ≠ ((𝑧 / 2) / (𝑦 / 2))))
47	46	necon2bd 2973	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → ((√‘2) = ((𝑧 / 2) / (𝑦 / 2)) → ¬ ((𝑦 / 2) ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2)))))
48	36, 47	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → ¬ ((𝑦 / 2) ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2))))
49	48	ex 417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((√‘2) = (𝑧 / 𝑦) → ¬ ((𝑦 / 2) ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2)))))
50	49	necon2ad 2972	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑦 / 2) ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2))) → (√‘2) ≠ (𝑧 / 𝑦)))
51	50	ralrimdva 3164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑦 / 2) ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑧 / 𝑦)))
52	24, 51	syld 48	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑧 / 𝑦)))
53		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑧 / 𝑦))
54	53	neeq2d 3017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑦) ↔ (√‘2) ≠ (𝑧 / 𝑦)))
55	54	cbvralvw 3242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑧 / 𝑦))
56	52, 55	imbitrrdi 255	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑦)))
57		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 / 𝑧) = (𝑥 / 𝑦))
58	57	neeq2d 3017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧) ↔ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑦)))
59	58	ralbidv 3187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑦)))
60	59	ceqsralv 3494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑦)))
61	56, 60	sylibrd 262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧))))
62	61	ancld 559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)))))
63		nnleltp1 12657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑧 < (𝑦 + 1)))
64		nnre 12246	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
65		nnre 12246	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
66		leloe 11302	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ (𝑧 < 𝑦 ∨ 𝑧 = 𝑦)))
67	64, 65, 66	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ (𝑧 < 𝑦 ∨ 𝑧 = 𝑦)))
68	63, 67	bitr3d 284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) ↔ (𝑧 < 𝑦 ∨ 𝑧 = 𝑦)))
69	68	ancoms 463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) ↔ (𝑧 < 𝑦 ∨ 𝑧 = 𝑦)))
70	69	imbi1d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧 < (𝑦 + 1) → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ↔ ((𝑧 < 𝑦 ∨ 𝑧 = 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧))))
71		jaob 975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 < 𝑦 ∨ 𝑧 = 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ↔ ((𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ∧ (𝑧 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧))))
72	70, 71	bitrdi 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧 < (𝑦 + 1) → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ↔ ((𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ∧ (𝑧 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)))))
73	72	ralbidva 3185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ∧ (𝑧 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)))))
74		r19.26 3124	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ∧ (𝑧 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧))) ↔ (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧))))
75	73, 74	bitrdi 290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ↔ (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)))))
76	62, 75	sylibrd 262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧))))
77	4, 7, 10, 10, 13, 76	nnind 12257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 + 1) ∈ ℕ → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)))
78	1, 77	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)))
79	65	ltp1d 12151	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 < (𝑦 + 1))
80		breq1 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 < (𝑦 + 1) ↔ 𝑦 < (𝑦 + 1)))
81		df-ne 2958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑦) ↔ ¬ (√‘2) = (𝑥 / 𝑦))
82	58, 81	bitrdi 290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧) ↔ ¬ (√‘2) = (𝑥 / 𝑦)))
83	82	ralbidv 3187	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ ℤ ¬ (√‘2) = (𝑥 / 𝑦)))
84		ralnex 3090	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℤ ¬ (√‘2) = (𝑥 / 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ (√‘2) = (𝑥 / 𝑦))
85	83, 84	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ (√‘2) = (𝑥 / 𝑦)))
86	80, 85	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 < (𝑦 + 1) → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ↔ (𝑦 < (𝑦 + 1) → ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ (√‘2) = (𝑥 / 𝑦))))
87	86	rspcv 3576	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) → (𝑦 < (𝑦 + 1) → ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ (√‘2) = (𝑥 / 𝑦))))
88	78, 79, 87	mp2d 50	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ (√‘2) = (𝑥 / 𝑦))
89	88	nrex 3092	. . 3 ⊢ ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℤ (√‘2) = (𝑥 / 𝑦)
90		elq 12980	. . . 4 ⊢ ((√‘2) ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (√‘2) = (𝑥 / 𝑦))
91		rexcom 3293	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (√‘2) = (𝑥 / 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℤ (√‘2) = (𝑥 / 𝑦))
92	90, 91	bitri 278	. . 3 ⊢ ((√‘2) ∈ ℚ ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℤ (√‘2) = (𝑥 / 𝑦))
93	89, 92	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ (√‘2) ∈ ℚ
94	93	nelir 3066	1 ⊢ (√‘2) ∉ ℚ

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ∉ wnel 3063  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11249   ≤ cle 11250   / cdiv 11877  ℕcn 12239  2c2 12301  ℤcz 12597  ℚcq 12978  ℝ⁺crp 13022  √csqrt 15291

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-seq 14045  df-exp 14105  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294

This theorem is used by:  sqrt2irr0  16313  nthruc  16314  2sq2  27608  nthrucw  47635