Theorem odeq1 19558

Description: The group identity is the unique element of a group with order one. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
od1.1	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
od1.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
odeq1.3	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odeq1	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 = 0 ))

Proof of Theorem odeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7431	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) = 1 → ((𝑂‘𝐴)(.g‘𝐺)𝐴) = (1(.g‘𝐺)𝐴))
2	1	eqcomd 2732	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝐴) = 1 → (1(.g‘𝐺)𝐴) = ((𝑂‘𝐴)(.g‘𝐺)𝐴))
3		odeq1.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
5	3, 4	mulg1 19075	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (1(.g‘𝐺)𝐴) = 𝐴)
6		od1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
7		od1.2	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	3, 6, 4, 7	odid 19536	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴)(.g‘𝐺)𝐴) = 0 )
9	5, 8	eqeq12d 2742	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((1(.g‘𝐺)𝐴) = ((𝑂‘𝐴)(.g‘𝐺)𝐴) ↔ 𝐴 = 0 ))
10	9	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1(.g‘𝐺)𝐴) = ((𝑂‘𝐴)(.g‘𝐺)𝐴) ↔ 𝐴 = 0 ))
11	2, 10	imbitrid 243	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 1 → 𝐴 = 0 ))
12	6, 7	od1 19557	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑂‘ 0 ) = 1)
13	12	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘ 0 ) = 1)
14		fveqeq2 6910	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝑂‘𝐴) = 1 ↔ (𝑂‘ 0 ) = 1))
15	13, 14	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 = 0 → (𝑂‘𝐴) = 1))
16	11, 15	impbid 211	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  1c1 11159  Basecbs 17213  0_gc0g 17454  Grpcgrp 18928  ._gcmg 19061  odcod 19522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-seq 14022  df-0g 17456  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-grp 18931  df-mulg 19062  df-od 19526

This theorem is referenced by:  odcau  19602  prmcyg  19892  ablfacrp  20066