Theorem odeq1 19578

Description: The group identity is the unique element of a group with order one. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
od1.1	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
od1.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
odeq1.3	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odeq1	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 = 0 ))

Proof of Theorem odeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) = 1 → ((𝑂‘𝐴)(.g‘𝐺)𝐴) = (1(.g‘𝐺)𝐴))
2	1	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝐴) = 1 → (1(.g‘𝐺)𝐴) = ((𝑂‘𝐴)(.g‘𝐺)𝐴))
3		odeq1.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
5	3, 4	mulg1 19099	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (1(.g‘𝐺)𝐴) = 𝐴)
6		od1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
7		od1.2	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	3, 6, 4, 7	odid 19556	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴)(.g‘𝐺)𝐴) = 0 )
9	5, 8	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((1(.g‘𝐺)𝐴) = ((𝑂‘𝐴)(.g‘𝐺)𝐴) ↔ 𝐴 = 0 ))
10	9	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1(.g‘𝐺)𝐴) = ((𝑂‘𝐴)(.g‘𝐺)𝐴) ↔ 𝐴 = 0 ))
11	2, 10	imbitrid 244	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 1 → 𝐴 = 0 ))
12	6, 7	od1 19577	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑂‘ 0 ) = 1)
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘ 0 ) = 1)
14		fveqeq2 6915	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝑂‘𝐴) = 1 ↔ (𝑂‘ 0 ) = 1))
15	13, 14	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 = 0 → (𝑂‘𝐴) = 1))
16	11, 15	impbid 212	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156  Basecbs 17247  0_gc0g 17484  Grpcgrp 18951  ._gcmg 19085  odcod 19542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-mulg 19086  df-od 19546

This theorem is referenced by:  odcau  19622  prmcyg  19912  ablfacrp  20086