Theorem odeq1 19506

Description: The group identity is the unique element of a group with order one. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
od1.1	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
od1.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
odeq1.3	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odeq1	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 = 0 ))

Proof of Theorem odeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7377	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) = 1 → ((𝑂‘𝐴)(.g‘𝐺)𝐴) = (1(.g‘𝐺)𝐴))
2	1	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝐴) = 1 → (1(.g‘𝐺)𝐴) = ((𝑂‘𝐴)(.g‘𝐺)𝐴))
3		odeq1.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
5	3, 4	mulg1 19028	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (1(.g‘𝐺)𝐴) = 𝐴)
6		od1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
7		od1.2	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	3, 6, 4, 7	odid 19484	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴)(.g‘𝐺)𝐴) = 0 )
9	5, 8	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((1(.g‘𝐺)𝐴) = ((𝑂‘𝐴)(.g‘𝐺)𝐴) ↔ 𝐴 = 0 ))
10	9	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1(.g‘𝐺)𝐴) = ((𝑂‘𝐴)(.g‘𝐺)𝐴) ↔ 𝐴 = 0 ))
11	2, 10	imbitrid 244	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 1 → 𝐴 = 0 ))
12	6, 7	od1 19505	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑂‘ 0 ) = 1)
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘ 0 ) = 1)
14		fveqeq2 6853	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝑂‘𝐴) = 1 ↔ (𝑂‘ 0 ) = 1))
15	13, 14	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 = 0 → (𝑂‘𝐴) = 1))
16	11, 15	impbid 212	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  1c1 11041  Basecbs 17150  0_gc0g 17373  Grpcgrp 18880  ._gcmg 19014  odcod 19470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-sup 9359  df-inf 9360  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-seq 13939  df-0g 17375  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-grp 18883  df-mulg 19015  df-od 19474

This theorem is referenced by:  odcau  19550  prmcyg  19840  ablfacrp  20014