MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmcyg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmcyg 19912
Description: A group with prime order is cyclic. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
cygctb.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
prmcyg ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem prmcyg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nprm 16716 . . . 4 ¬ 1 ∈ ℙ
2 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}) → 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)})
3 cygctb.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐺) = (0g𝐺)
53, 4grpidcl 18983 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
65snssd 4809 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → {(0g𝐺)} ⊆ 𝐵)
76ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}) → {(0g𝐺)} ⊆ 𝐵)
82, 7eqssd 4001 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}) → 𝐵 = {(0g𝐺)})
98fveq2d 6910 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}) → (♯‘𝐵) = (♯‘{(0g𝐺)}))
10 fvex 6919 . . . . . . . 8 (0g𝐺) ∈ V
11 hashsng 14408 . . . . . . . 8 ((0g𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g𝐺)}) = 1)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 (♯‘{(0g𝐺)}) = 1
139, 12eqtrdi 2793 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}) → (♯‘𝐵) = 1)
14 simplr 769 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}) → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
1513, 14eqeltrrd 2842 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}) → 1 ∈ ℙ)
1615ex 412 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → (𝐵 ⊆ {(0g𝐺)} → 1 ∈ ℙ))
171, 16mtoi 199 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → ¬ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)})
18 nss 4048 . . 3 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)} ↔ ∃𝑥(𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)}))
1917, 18sylib 218 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → ∃𝑥(𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)}))
20 eqid 2737 . . 3 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
21 simpll 767 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → 𝐺 ∈ Grp)
22 simprl 771 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → 𝑥𝐵)
23 simprr 773 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})
2420, 4, 3odeq1 19578 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = (0g𝐺)))
2521, 22, 24syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = (0g𝐺)))
26 velsn 4642 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {(0g𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g𝐺))
2725, 26bitr4di 289 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)}))
2823, 27mtbird 325 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1)
29 prmnn 16711 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐵) ∈ ℙ → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
3029ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
3130nnnn0d 12587 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
323fvexi 6920 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
33 hashclb 14397 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
3531, 34sylibr 234 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → 𝐵 ∈ Fin)
363, 20oddvds2 19584 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
3721, 35, 22, 36syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
38 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
393, 20odcl2 19583 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
4021, 35, 22, 39syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
41 dvdsprime 16724 . . . . . . 7 (((♯‘𝐵) ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵) ↔ (((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1)))
4238, 40, 41syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵) ↔ (((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1)))
4337, 42mpbid 232 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1))
4443ord 865 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1))
4528, 44mt3d 148 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵))
463, 20, 21, 22, 45iscygodd 19906 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → 𝐺 ∈ CycGrp)
4719, 46exlimddv 1935 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  Vcvv 3480  wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  cfv 6561  Fincfn 8985  1c1 11156  cn 12266  0cn0 12526  chash 14369  cdvds 16290  cprime 16708  Basecbs 17247  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951  odcod 19542  CycGrpccyg 19895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-dvds 16291  df-prm 16709  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-eqg 19143  df-od 19546  df-cyg 19896
This theorem is referenced by:  lt6abl  19913  prmsimpcyc  33234
  Copyright terms: Public domain W3C validator