Theorem prmcyg 19936

Description: A group with prime order is cyclic. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
cygctb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
prmcyg	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem prmcyg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nprm 16726	. . . 4 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
2		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)})
3		cygctb.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5	3, 4	grpidcl 19005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
6	5	snssd 4834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝐵)
7	6	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝐵)
8	2, 7	eqssd 4026	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → 𝐵 = {(0g‘𝐺)})
9	8	fveq2d 6924	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → (♯‘𝐵) = (♯‘{(0g‘𝐺)}))
10		fvex 6933	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
11		hashsng 14418	. . . . . . . 8 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1
13	9, 12	eqtrdi 2796	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → (♯‘𝐵) = 1)
14		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
15	13, 14	eqeltrrd 2845	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → 1 ∈ ℙ)
16	15	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → (𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)} → 1 ∈ ℙ))
17	1, 16	mtoi 199	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → ¬ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)})
18		nss 4073	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)} ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)}))
19	17, 18	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)}))
20		eqid 2740	. . 3 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
21		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → 𝐺 ∈ Grp)
22		simprl 770	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → 𝑥 ∈ 𝐵)
23		simprr 772	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})
24	20, 4, 3	odeq1 19602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐺)))
25	21, 22, 24	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐺)))
26		velsn 4664	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g‘𝐺))
27	25, 26	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)}))
28	23, 27	mtbird 325	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1)
29		prmnn 16721	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℙ → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
30	29	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
31	30	nnnn0d 12613	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
32	3	fvexi 6934	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
33		hashclb 14407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
35	31, 34	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → 𝐵 ∈ Fin)
36	3, 20	oddvds2 19608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
37	21, 35, 22, 36	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
38		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
39	3, 20	odcl2 19607	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
40	21, 35, 22, 39	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
41		dvdsprime 16734	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵) ↔ (((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1)))
42	38, 40, 41	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵) ↔ (((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1)))
43	37, 42	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1))
44	43	ord 863	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1))
45	28, 44	mt3d 148	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵))
46	3, 20, 21, 22, 45	iscygodd 19930	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → 𝐺 ∈ CycGrp)
47	19, 46	exlimddv 1934	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  {csn 4648   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  Fincfn 9003  1c1 11185  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ♯chash 14379   ∥ cdvds 16302  ℙcprime 16718  Basecbs 17258  0_gc0g 17499  Grpcgrp 18973  odcod 19566  CycGrpccyg 19919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-acn 10011  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-dvds 16303  df-prm 16719  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-eqg 19165  df-od 19570  df-cyg 19920

This theorem is referenced by:  lt6abl  19937  prmsimpcyc  33207