Theorem prmcyg 19685

Description: A group with prime order is cyclic. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
cygctb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
prmcyg	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem prmcyg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nprm 16566	. . . 4 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
2		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)})
3		cygctb.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5	3, 4	grpidcl 18792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
6	5	snssd 4774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝐵)
7	6	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝐵)
8	2, 7	eqssd 3964	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → 𝐵 = {(0g‘𝐺)})
9	8	fveq2d 6851	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → (♯‘𝐵) = (♯‘{(0g‘𝐺)}))
10		fvex 6860	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
11		hashsng 14279	. . . . . . . 8 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1
13	9, 12	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → (♯‘𝐵) = 1)
14		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
15	13, 14	eqeltrrd 2833	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → 1 ∈ ℙ)
16	15	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → (𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)} → 1 ∈ ℙ))
17	1, 16	mtoi 198	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → ¬ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)})
18		nss 4011	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)} ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)}))
19	17, 18	sylib 217	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)}))
20		eqid 2731	. . 3 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
21		simpll 765	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → 𝐺 ∈ Grp)
22		simprl 769	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → 𝑥 ∈ 𝐵)
23		simprr 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})
24	20, 4, 3	odeq1 19356	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐺)))
25	21, 22, 24	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐺)))
26		velsn 4607	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g‘𝐺))
27	25, 26	bitr4di 288	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)}))
28	23, 27	mtbird 324	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1)
29		prmnn 16561	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℙ → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
30	29	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
31	30	nnnn0d 12482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
32	3	fvexi 6861	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
33		hashclb 14268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
35	31, 34	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → 𝐵 ∈ Fin)
36	3, 20	oddvds2 19362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
37	21, 35, 22, 36	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
38		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
39	3, 20	odcl2 19361	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
40	21, 35, 22, 39	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
41		dvdsprime 16574	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵) ↔ (((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1)))
42	38, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵) ↔ (((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1)))
43	37, 42	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1))
44	43	ord 862	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1))
45	28, 44	mt3d 148	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵))
46	3, 20, 21, 22, 45	iscygodd 19679	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → 𝐺 ∈ CycGrp)
47	19, 46	exlimddv 1938	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  Vcvv 3446   ⊆ wss 3913  {csn 4591   class class class wbr 5110  ‘cfv 6501  Fincfn 8890  1c1 11061  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12422  ♯chash 14240   ∥ cdvds 16147  ℙcprime 16558  Basecbs 17094  0_gc0g 17335  Grpcgrp 18762  odcod 19320  CycGrpccyg 19668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9387  df-inf 9388  df-oi 9455  df-card 9884  df-acn 9887  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-rp 12925  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-fl 13707  df-mod 13785  df-seq 13917  df-exp 13978  df-hash 14241  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-clim 15382  df-sum 15583  df-dvds 16148  df-prm 16559  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-0g 17337  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-grp 18765  df-minusg 18766  df-sbg 18767  df-mulg 18887  df-subg 18939  df-eqg 18941  df-od 19324  df-cyg 19669

This theorem is referenced by:  lt6abl  19686  prmsimpcyc  32133