MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmcyg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmcyg 19762
Description: A group with prime order is cyclic. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
cygctb.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
prmcyg ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem prmcyg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nprm 16616 . . . 4 ¬ 1 ∈ ℙ
2 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}) → 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)})
3 cygctb.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐺) = (0g𝐺)
53, 4grpidcl 18850 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
65snssd 4813 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → {(0g𝐺)} ⊆ 𝐵)
76ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}) → {(0g𝐺)} ⊆ 𝐵)
82, 7eqssd 4000 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}) → 𝐵 = {(0g𝐺)})
98fveq2d 6896 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}) → (♯‘𝐵) = (♯‘{(0g𝐺)}))
10 fvex 6905 . . . . . . . 8 (0g𝐺) ∈ V
11 hashsng 14329 . . . . . . . 8 ((0g𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g𝐺)}) = 1)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 (♯‘{(0g𝐺)}) = 1
139, 12eqtrdi 2789 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}) → (♯‘𝐵) = 1)
14 simplr 768 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}) → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
1513, 14eqeltrrd 2835 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)}) → 1 ∈ ℙ)
1615ex 414 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → (𝐵 ⊆ {(0g𝐺)} → 1 ∈ ℙ))
171, 16mtoi 198 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → ¬ 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)})
18 nss 4047 . . 3 𝐵 ⊆ {(0g𝐺)} ↔ ∃𝑥(𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)}))
1917, 18sylib 217 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → ∃𝑥(𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)}))
20 eqid 2733 . . 3 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
21 simpll 766 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → 𝐺 ∈ Grp)
22 simprl 770 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → 𝑥𝐵)
23 simprr 772 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})
2420, 4, 3odeq1 19428 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = (0g𝐺)))
2521, 22, 24syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = (0g𝐺)))
26 velsn 4645 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {(0g𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g𝐺))
2725, 26bitr4di 289 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)}))
2823, 27mtbird 325 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1)
29 prmnn 16611 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐵) ∈ ℙ → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
3029ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
3130nnnn0d 12532 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
323fvexi 6906 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
33 hashclb 14318 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
3531, 34sylibr 233 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → 𝐵 ∈ Fin)
363, 20oddvds2 19434 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
3721, 35, 22, 36syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
38 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
393, 20odcl2 19433 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
4021, 35, 22, 39syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
41 dvdsprime 16624 . . . . . . 7 (((♯‘𝐵) ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵) ↔ (((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1)))
4238, 40, 41syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵) ↔ (((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1)))
4337, 42mpbid 231 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1))
4443ord 863 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → (¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1))
4528, 44mt3d 148 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵))
463, 20, 21, 22, 45iscygodd 19756 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})) → 𝐺 ∈ CycGrp)
4719, 46exlimddv 1939 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  Vcvv 3475  wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149  cfv 6544  Fincfn 8939  1c1 11111  cn 12212  0cn0 12472  chash 14290  cdvds 16197  cprime 16608  Basecbs 17144  0gc0g 17385  Grpcgrp 18819  odcod 19392  CycGrpccyg 19745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-dvds 16198  df-prm 16609  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-eqg 19005  df-od 19396  df-cyg 19746
This theorem is referenced by:  lt6abl  19763  prmsimpcyc  32373
  Copyright terms: Public domain W3C validator