Theorem prmcyg 20101

Description: A group with prime order is cyclic. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
cygctb.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
prmcyg	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)

Proof of Theorem prmcyg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nprm 16847	. . . 4 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
2		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)})
3		cygctb.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5	3, 4	grpidcl 19169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
6	5	snssd 4747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝐵)
7	6	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → {(0g‘𝐺)} ⊆ 𝐵)
8	2, 7	eqssd 3948	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → 𝐵 = {(0g‘𝐺)})
9	8	fveq2d 6887	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → (♯‘𝐵) = (♯‘{(0g‘𝐺)}))
10		fvex 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
11		hashsng 14506	. . . . . . . 8 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1
13	9, 12	eqtrdi 2812	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → (♯‘𝐵) = 1)
14		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
15	13, 14	eqeltrrd 2862	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)}) → 1 ∈ ℙ)
16	15	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → (𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)} → 1 ∈ ℙ))
17	1, 16	mtoi 202	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → ¬ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)})
18		nss 3995	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ⊆ {(0g‘𝐺)} ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)}))
19	17, 18	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)}))
20		eqid 2761	. . 3 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
21		simpll 779	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → 𝐺 ∈ Grp)
22		simprl 783	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → 𝑥 ∈ 𝐵)
23		simprr 785	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})
24	20, 4, 3	odeq1 19767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐺)))
25	21, 22, 24	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = (0g‘𝐺)))
26		velsn 4600	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g‘𝐺))
27	25, 26	bitr4di 292	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)}))
28	23, 27	mtbird 328	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → ¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1)
29		prmnn 16842	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℙ → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
30	29	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
31	30	nnnn0d 12660	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
32	3	fvexi 6897	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
33		hashclb 14495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
35	31, 34	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → 𝐵 ∈ Fin)
36	3, 20	oddvds2 19773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
37	21, 35, 22, 36	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
38		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
39	3, 20	odcl2 19772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
40	21, 35, 22, 39	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
41		dvdsprime 16855	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵) ↔ (((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1)))
42	38, 40, 41	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵) ↔ (((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1)))
43	37, 42	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1))
44	43	ord 878	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → (¬ ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = 1))
45	28, 44	mt3d 149	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = (♯‘𝐵))
46	3, 20, 21, 22, 45	iscygodd 20095	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ {(0g‘𝐺)})) → 𝐺 ∈ CycGrp)
47	19, 46	exlimddv 1968	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ CycGrp)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  Fincfn 8966  1c1 11194  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599  ♯chash 14467   ∥ cdvds 16415  ℙcprime 16839  Basecbs 17380  0_gc0g 17603  Grpcgrp 19137  odcod 19731  CycGrpccyg 20084

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8710  df-ec 8712  df-qs 8716  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-card 10013  df-acn 10016  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-mod 14003  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-clim 15648  df-sum 15847  df-dvds 16416  df-prm 16840  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-mulg 19271  df-subg 19326  df-eqg 19328  df-od 19735  df-cyg 20085

This theorem is used by:  lt6abl  20102  prmsimpcyc  33782