Theorem odf 19744

Description: Functionality of the group element order. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odf	⊢ 𝑂:𝑋⟶ℕ0

Proof of Theorem odf

Dummy variables 𝑦 𝑤 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11293	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
2		ltso 11383	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
3	2	infex 9480	. . . . 5 ⊢ inf(𝑤, ℝ, < ) ∈ V
4	1, 3	ifex 4533	. . . 4 ⊢ if(𝑤 = ∅, 0, inf(𝑤, ℝ, < )) ∈ V
5	4	csbex 5265	. . 3 ⊢ ⦋{𝑧 ∈ ℕ ∣ (𝑧(.g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺)} / 𝑤⦌if(𝑤 = ∅, 0, inf(𝑤, ℝ, < )) ∈ V
6		odcl.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
8		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9		odcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
10	6, 7, 8, 9	odfval 19739	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋{𝑧 ∈ ℕ ∣ (𝑧(.g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺)} / 𝑤⦌if(𝑤 = ∅, 0, inf(𝑤, ℝ, < )))
11	5, 10	fnmpti 6680	. 2 ⊢ 𝑂 Fn 𝑋
12	6, 9	odcl 19743	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝑥) ∈ ℕ0)
13	12	rgen 3079	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ ℕ0
14		ffnfv 7117	. 2 ⊢ (𝑂:𝑋⟶ℕ0 ↔ (𝑂 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ ℕ0))
15	11, 13, 14	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝑂:𝑋⟶ℕ0

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  {crab 3413  ⦋csb 3847  ∅c0 4279  ifcif 4482   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  infcinf 9426  ℝcr 11192  0cc0 11193   < clt 11336  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599  Basecbs 17380  0_gc0g 17603  ._gcmg 19270  odcod 19731

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-od 19735

This theorem is used by:  gexex  20060  torsubg  20061  proot1mul  44180  proot1hash  44181  proot1ex  44182