Theorem odf 19509

Description: Functionality of the group element order. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odf	⊢ 𝑂:𝑋⟶ℕ0

Proof of Theorem odf

Dummy variables 𝑦 𝑤 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11245	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
2		ltso 11331	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
3	2	infex 9523	. . . . 5 ⊢ inf(𝑤, ℝ, < ) ∈ V
4	1, 3	ifex 4580	. . . 4 ⊢ if(𝑤 = ∅, 0, inf(𝑤, ℝ, < )) ∈ V
5	4	csbex 5312	. . 3 ⊢ ⦋{𝑧 ∈ ℕ ∣ (𝑧(.g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺)} / 𝑤⦌if(𝑤 = ∅, 0, inf(𝑤, ℝ, < )) ∈ V
6		odcl.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
7		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
8		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9		odcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
10	6, 7, 8, 9	odfval 19504	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋{𝑧 ∈ ℕ ∣ (𝑧(.g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺)} / 𝑤⦌if(𝑤 = ∅, 0, inf(𝑤, ℝ, < )))
11	5, 10	fnmpti 6699	. 2 ⊢ 𝑂 Fn 𝑋
12	6, 9	odcl 19508	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝑥) ∈ ℕ0)
13	12	rgen 3052	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ ℕ0
14		ffnfv 7128	. 2 ⊢ (𝑂:𝑋⟶ℕ0 ↔ (𝑂 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ ℕ0))
15	11, 13, 14	mpbir2an 709	1 ⊢ 𝑂:𝑋⟶ℕ0

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050  {crab 3418  ⦋csb 3889  ∅c0 4322  ifcif 4530   Fn wfn 6544  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  infcinf 9471  ℝcr 11144  0cc0 11145   < clt 11285  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12510  Basecbs 17188  0_gc0g 17429  ._gcmg 19036  odcod 19496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9472  df-inf 9473  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-od 19500

This theorem is referenced by:  gexex  19825  torsubg  19826  proot1mul  42766  proot1hash  42767  proot1ex  42768