Theorem odf 19568

Description: Functionality of the group element order. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odf	⊢ 𝑂:𝑋⟶ℕ0

Proof of Theorem odf

Dummy variables 𝑦 𝑤 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11167	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
2		ltso 11257	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
3	2	infex 9435	. . . . 5 ⊢ inf(𝑤, ℝ, < ) ∈ V
4	1, 3	ifex 4528	. . . 4 ⊢ if(𝑤 = ∅, 0, inf(𝑤, ℝ, < )) ∈ V
5	4	csbex 5258	. . 3 ⊢ ⦋{𝑧 ∈ ℕ ∣ (𝑧(.g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺)} / 𝑤⦌if(𝑤 = ∅, 0, inf(𝑤, ℝ, < )) ∈ V
6		odcl.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
8		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9		odcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
10	6, 7, 8, 9	odfval 19563	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋{𝑧 ∈ ℕ ∣ (𝑧(.g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺)} / 𝑤⦌if(𝑤 = ∅, 0, inf(𝑤, ℝ, < )))
11	5, 10	fnmpti 6659	. 2 ⊢ 𝑂 Fn 𝑋
12	6, 9	odcl 19567	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝑥) ∈ ℕ0)
13	12	rgen 3077	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ ℕ0
14		ffnfv 7095	. 2 ⊢ (𝑂:𝑋⟶ℕ0 ↔ (𝑂 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ ℕ0))
15	11, 13, 14	mpbir2an 721	1 ⊢ 𝑂:𝑋⟶ℕ0

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  {crab 3413  ⦋csb 3850  ∅c0 4283  ifcif 4477   Fn wfn 6511  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  infcinf 9381  ℝcr 11066  0cc0 11067   < clt 11210  ℕcn 12204  ℕ₀cn0 12475  Basecbs 17236  0_gc0g 17459  ._gcmg 19100  odcod 19555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-od 19559

This theorem is referenced by:  gexex  19884  torsubg  19885  proot1mul  43732  proot1hash  43733  proot1ex  43734