MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odf 18657
Description: Functionality of the group element order. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 5-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2 𝑂 = (od‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
odf 𝑂:𝑋⟶ℕ0

Proof of Theorem odf
Dummy variables 𝑦 𝑤 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 10627 . . . . 5 0 ∈ V
2 ltso 10713 . . . . . 6 < Or ℝ
32infex 8949 . . . . 5 inf(𝑤, ℝ, < ) ∈ V
41, 3ifex 4513 . . . 4 if(𝑤 = ∅, 0, inf(𝑤, ℝ, < )) ∈ V
54csbex 5206 . . 3 {𝑧 ∈ ℕ ∣ (𝑧(.g𝐺)𝑦) = (0g𝐺)} / 𝑤if(𝑤 = ∅, 0, inf(𝑤, ℝ, < )) ∈ V
6 odcl.1 . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
7 eqid 2819 . . . 4 (.g𝐺) = (.g𝐺)
8 eqid 2819 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
9 odcl.2 . . . 4 𝑂 = (od‘𝐺)
106, 7, 8, 9odfval 18652 . . 3 𝑂 = (𝑦𝑋{𝑧 ∈ ℕ ∣ (𝑧(.g𝐺)𝑦) = (0g𝐺)} / 𝑤if(𝑤 = ∅, 0, inf(𝑤, ℝ, < )))
115, 10fnmpti 6484 . 2 𝑂 Fn 𝑋
126, 9odcl 18656 . . 3 (𝑥𝑋 → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
1312rgen 3146 . 2 𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ ℕ0
14 ffnfv 6875 . 2 (𝑂:𝑋⟶ℕ0 ↔ (𝑂 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ ℕ0))
1511, 13, 14mpbir2an 709 1 𝑂:𝑋⟶ℕ0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3136  {crab 3140  csb 3881  c0 4289  ifcif 4465   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148  infcinf 8897  cr 10528  0cc0 10529   < clt 10667  cn 11630  0cn0 11889  Basecbs 16475  0gc0g 16705  .gcmg 18216  odcod 18644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-od 18648
This theorem is referenced by:  gexex  18965  torsubg  18966  proot1mul  39784  proot1hash  39785  proot1ex  39786
  Copyright terms: Public domain W3C validator