Theorem odf 18265

Description: Functionality of the group element order. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odf	⊢ 𝑂:𝑋⟶ℕ0

Proof of Theorem odf

Dummy variables 𝑦 𝑤 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 10320	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
2		ltso 10406	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
3	2	infex 8639	. . . . 5 ⊢ inf(𝑤, ℝ, < ) ∈ V
4	1, 3	ifex 4323	. . . 4 ⊢ if(𝑤 = ∅, 0, inf(𝑤, ℝ, < )) ∈ V
5	4	csbex 4986	. . 3 ⊢ ⦋{𝑧 ∈ ℕ ∣ (𝑧(.g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺)} / 𝑤⦌if(𝑤 = ∅, 0, inf(𝑤, ℝ, < )) ∈ V
6		odcl.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
7		eqid 2797	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
8		eqid 2797	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9		odcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
10	6, 7, 8, 9	odfval 18261	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ⦋{𝑧 ∈ ℕ ∣ (𝑧(.g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺)} / 𝑤⦌if(𝑤 = ∅, 0, inf(𝑤, ℝ, < )))
11	5, 10	fnmpti 6231	. 2 ⊢ 𝑂 Fn 𝑋
12	6, 9	odcl 18264	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝑥) ∈ ℕ0)
13	12	rgen 3101	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ ℕ0
14		ffnfv 6612	. 2 ⊢ (𝑂:𝑋⟶ℕ0 ↔ (𝑂 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ ℕ0))
15	11, 13, 14	mpbir2an 703	1 ⊢ 𝑂:𝑋⟶ℕ0

Syntax hints:   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∀wral 3087  {crab 3091  ⦋csb 3726  ∅c0 4113  ifcif 4275   Fn wfn 6094  ⟶wf 6095  ‘cfv 6099  (class class class)co 6876  infcinf 8587  ℝcr 10221  0cc0 10222   < clt 10361  ℕcn 11310  ℕ₀cn0 11576  Basecbs 16180  0_gc0g 16411  ._gcmg 17852  odcod 18253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2375  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-sup 8588  df-inf 8589  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-od 18257

This theorem is referenced by:  gexex  18567  torsubg  18568  proot1mul  38549  proot1hash  38550  proot1ex  38551