Theorem mulgsubdir 19024

Description: Distribution of group multiples over subtraction for group elements, subdir 11548 analog. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgsubdir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgsubdir.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgsubdir.d	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgsubdir	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 − 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) − (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 12504	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
2		mulgsubdir.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mulgsubdir.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mulgdir 19016	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + -𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-𝑁 · 𝑋)))
6	1, 5	syl3anr2 1419	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + -𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-𝑁 · 𝑋)))
7		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 12575	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℂ)
9		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9	zcnd 12575	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
11	8, 10	negsubd 11475	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
12	11	oveq1d 7361	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + -𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 − 𝑁) · 𝑋))
13		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
14	2, 3, 13	mulgneg 19002	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
15	14	3adant3r1 1183	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
16	15	oveq2d 7362	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-𝑁 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋))))
17	2, 3	mulgcl 19001	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
18	17	3adant3r2 1184	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
19	2, 3	mulgcl 19001	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
20	19	3adant3r1 1183	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
21		mulgsubdir.d	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
22	2, 4, 13, 21	grpsubval 18895	. . . 4 ⊢ (((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) − (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋))))
23	18, 20, 22	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋) − (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋))))
24	16, 23	eqtr4d 2769	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-𝑁 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋) − (𝑁 · 𝑋)))
25	6, 12, 24	3eqtr3d 2774	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 − 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) − (𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   + caddc 11006   − cmin 11341  -cneg 11342  ℤcz 12465  Basecbs 17117  +_gcplusg 17158  Grpcgrp 18843  inv_gcminusg 18844  -_gcsg 18845  ._gcmg 18977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-seq 13906  df-0g 17342  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-mulg 18978

This theorem is referenced by:  odmod  19456  odcong  19459  odm1inv  19463  gexdvds  19494  archiabllem1a  33155