Theorem mulgsubdir 19029

Description: Distribution of group multiples over subtraction for group elements, subdir 11558 analog. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgsubdir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgsubdir.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgsubdir.d	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgsubdir	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 − 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) − (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 12513	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
2		mulgsubdir.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mulgsubdir.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mulgdir 19021	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + -𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-𝑁 · 𝑋)))
6	1, 5	syl3anr2 1419	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + -𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-𝑁 · 𝑋)))
7		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 12584	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℂ)
9		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9	zcnd 12584	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
11	8, 10	negsubd 11485	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
12	11	oveq1d 7367	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + -𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 − 𝑁) · 𝑋))
13		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
14	2, 3, 13	mulgneg 19007	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
15	14	3adant3r1 1183	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
16	15	oveq2d 7368	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-𝑁 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋))))
17	2, 3	mulgcl 19006	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
18	17	3adant3r2 1184	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
19	2, 3	mulgcl 19006	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
20	19	3adant3r1 1183	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
21		mulgsubdir.d	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
22	2, 4, 13, 21	grpsubval 18900	. . . 4 ⊢ (((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) − (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋))))
23	18, 20, 22	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋) − (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋))))
24	16, 23	eqtr4d 2771	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-𝑁 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋) − (𝑁 · 𝑋)))
25	6, 12, 24	3eqtr3d 2776	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 − 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) − (𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   + caddc 11016   − cmin 11351  -cneg 11352  ℤcz 12475  Basecbs 17122  +_gcplusg 17163  Grpcgrp 18848  inv_gcminusg 18849  -_gcsg 18850  ._gcmg 18982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-seq 13911  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-mulg 18983

This theorem is referenced by:  odmod  19460  odcong  19463  odm1inv  19467  gexdvds  19498  archiabllem1a  33167