Theorem finodsubmsubg 19542

Description: A submonoid whose elements have finite order is a subgroup. (Contributed by SN, 31-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
finodsubmsubg.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
finodsubmsubg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
finodsubmsubg.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
finodsubmsubg.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑆 (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
finodsubmsubg	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑎   𝐺,𝑎   𝜑,𝑎

Allowed substitution hint:   𝑂(𝑎)

Proof of Theorem finodsubmsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		finodsubmsubg.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
2		finodsubmsubg.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑆 (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ)
3		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		finodsubmsubg.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
5		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
6		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
7		finodsubmsubg.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
8	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
9	3	submss 18777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
10	1, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
11	10	sselda 3921	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ (Base‘𝐺))
12	3, 4, 5, 6, 8, 11	odm1inv 19528	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((𝑂‘𝑎) − 1)(.g‘𝐺)𝑎) = ((invg‘𝐺)‘𝑎))
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝑎) − 1)(.g‘𝐺)𝑎) = ((invg‘𝐺)‘𝑎))
14		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
15		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))
16		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
17	16	submmnd 18781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd)
18	1, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd)
19	18	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd)
20		nnm1nn0 12478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂‘𝑎) ∈ ℕ → ((𝑂‘𝑎) − 1) ∈ ℕ0)
21	20	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝑎) − 1) ∈ ℕ0)
22		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ 𝑆)
23	16, 3	ressbas2 17208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
24	10, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
25	24	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
26	22, 25	eleqtrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
27	14, 15, 19, 21, 26	mulgnn0cld 19071	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝑎) − 1)(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝑎) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
28	1	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
29	5, 16, 15	submmulg 19094	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ((𝑂‘𝑎) − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((𝑂‘𝑎) − 1)(.g‘𝐺)𝑎) = (((𝑂‘𝑎) − 1)(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝑎))
30	28, 21, 22, 29	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝑎) − 1)(.g‘𝐺)𝑎) = (((𝑂‘𝑎) − 1)(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝑎))
31	27, 30, 25	3eltr4d 2851	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝑎) − 1)(.g‘𝐺)𝑎) ∈ 𝑆)
32	13, 31	eqeltrrd 2837	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆)
33	32	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((𝑂‘𝑎) ∈ ℕ → ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))
34	33	ralimdva 3149	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝑆 (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ → ∀𝑎 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))
35	2, 34	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆)
36	6	issubg3 19120	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆)))
37	7, 36	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆)))
38	1, 35, 37	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   ⊆ wss 3889  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  1c1 11039   − cmin 11377  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  Mndcmnd 18702  SubMndcsubmnd 18750  Grpcgrp 18909  inv_gcminusg 18910  ._gcmg 19043  SubGrpcsubg 19096  odcod 19499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-seq 13964  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-od 19503

This theorem is referenced by:  0subgALT  19543  finsubmsubg  42955