Theorem finodsubmsubg 19781

Description: A submonoid whose elements have finite order is a subgroup. (Contributed by SN, 31-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
finodsubmsubg.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
finodsubmsubg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
finodsubmsubg.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
finodsubmsubg.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑆 (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
finodsubmsubg	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑎   𝐺,𝑎   𝜑,𝑎

Allowed substitution hint:   𝑂(𝑎)

Proof of Theorem finodsubmsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		finodsubmsubg.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
2		finodsubmsubg.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑆 (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ)
3		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		finodsubmsubg.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
5		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
6		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
7		finodsubmsubg.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
8	7	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
9	3	submss 19004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
10	1, 9	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
11	10	sselda 3931	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ (Base‘𝐺))
12	3, 4, 5, 6, 8, 11	odm1inv 19767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((𝑂‘𝑎) − 1)(.g‘𝐺)𝑎) = ((invg‘𝐺)‘𝑎))
13	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝑎) − 1)(.g‘𝐺)𝑎) = ((invg‘𝐺)‘𝑎))
14		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
15		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))
16		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
17	16	submmnd 19009	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd)
18	1, 17	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd)
19	18	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd)
20		nnm1nn0 12647	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂‘𝑎) ∈ ℕ → ((𝑂‘𝑎) − 1) ∈ ℕ0)
21	20	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝑎) − 1) ∈ ℕ0)
22		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ 𝑆)
23	16, 3	ressbas2 17416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
24	10, 23	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
25	24	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
26	22, 25	eleqtrd 2863	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
27	14, 15, 19, 21, 26	mulgnn0cld 19305	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝑎) − 1)(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝑎) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
28	1	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
29	5, 16, 15	submmulg 19328	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ((𝑂‘𝑎) − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((𝑂‘𝑎) − 1)(.g‘𝐺)𝑎) = (((𝑂‘𝑎) − 1)(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝑎))
30	28, 21, 22, 29	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝑎) − 1)(.g‘𝐺)𝑎) = (((𝑂‘𝑎) − 1)(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝑎))
31	27, 30, 25	3eltr4d 2876	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝑎) − 1)(.g‘𝐺)𝑎) ∈ 𝑆)
32	13, 31	eqeltrrd 2862	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆)
33	32	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((𝑂‘𝑎) ∈ ℕ → ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))
34	33	ralimdva 3175	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝑆 (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ → ∀𝑎 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))
35	2, 34	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆)
36	6	issubg3 19355	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆)))
37	7, 36	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆)))
38	1, 35, 37	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1c1 11201   − cmin 11541  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  Mndcmnd 18923  SubMndcsubmnd 18977  Grpcgrp 19144  inv_gcminusg 19145  ._gcmg 19277  SubGrpcsubg 19330  odcod 19738

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-seq 14145  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-od 19742

This theorem is used by:  0subgALT  19782  finsubmsubg  43577