Theorem finodsubmsubg 19497

Description: A submonoid whose elements have finite order is a subgroup. (Contributed by SN, 31-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
finodsubmsubg.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
finodsubmsubg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
finodsubmsubg.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
finodsubmsubg.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑆 (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
finodsubmsubg	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑎   𝐺,𝑎   𝜑,𝑎

Allowed substitution hint:   𝑂(𝑎)

Proof of Theorem finodsubmsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		finodsubmsubg.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
2		finodsubmsubg.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑆 (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ)
3		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		finodsubmsubg.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
5		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
6		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
7		finodsubmsubg.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
8	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
9	3	submss 18736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
10	1, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
11	10	sselda 3946	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ (Base‘𝐺))
12	3, 4, 5, 6, 8, 11	odm1inv 19483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((𝑂‘𝑎) − 1)(.g‘𝐺)𝑎) = ((invg‘𝐺)‘𝑎))
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝑎) − 1)(.g‘𝐺)𝑎) = ((invg‘𝐺)‘𝑎))
14		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
15		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))
16		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
17	16	submmnd 18740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd)
18	1, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd)
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd)
20		nnm1nn0 12483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂‘𝑎) ∈ ℕ → ((𝑂‘𝑎) − 1) ∈ ℕ0)
21	20	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝑎) − 1) ∈ ℕ0)
22		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ 𝑆)
23	16, 3	ressbas2 17208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
24	10, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
25	24	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
26	22, 25	eleqtrd 2830	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
27	14, 15, 19, 21, 26	mulgnn0cld 19027	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝑎) − 1)(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝑎) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
28	1	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
29	5, 16, 15	submmulg 19050	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ((𝑂‘𝑎) − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((𝑂‘𝑎) − 1)(.g‘𝐺)𝑎) = (((𝑂‘𝑎) − 1)(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝑎))
30	28, 21, 22, 29	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝑎) − 1)(.g‘𝐺)𝑎) = (((𝑂‘𝑎) − 1)(.g‘(𝐺 ↾s 𝑆))𝑎))
31	27, 30, 25	3eltr4d 2843	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝑎) − 1)(.g‘𝐺)𝑎) ∈ 𝑆)
32	13, 31	eqeltrrd 2829	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ) → ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆)
33	32	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((𝑂‘𝑎) ∈ ℕ → ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))
34	33	ralimdva 3145	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝑆 (𝑂‘𝑎) ∈ ℕ → ∀𝑎 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))
35	2, 34	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆)
36	6	issubg3 19076	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆)))
37	7, 36	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆)))
38	1, 35, 37	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3914  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  1c1 11069   − cmin 11405  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  Mndcmnd 18661  SubMndcsubmnd 18709  Grpcgrp 18865  inv_gcminusg 18866  ._gcmg 18999  SubGrpcsubg 19052  odcod 19454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-seq 13967  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-od 19458

This theorem is referenced by:  0subgALT  19498  finsubmsubg  42498