MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finodsubmsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finodsubmsubg 19585
Description: A submonoid whose elements have finite order is a subgroup. (Contributed by SN, 31-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
finodsubmsubg.o 𝑂 = (od‘𝐺)
finodsubmsubg.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
finodsubmsubg.s (𝜑𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
finodsubmsubg.1 (𝜑 → ∀𝑎𝑆 (𝑂𝑎) ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
finodsubmsubg (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑆,𝑎   𝐺,𝑎   𝜑,𝑎
Allowed substitution hint:   𝑂(𝑎)

Proof of Theorem finodsubmsubg
StepHypRef Expression
1 finodsubmsubg.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
2 finodsubmsubg.1 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎𝑆 (𝑂𝑎) ∈ ℕ)
3 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4 finodsubmsubg.o . . . . . . . 8 𝑂 = (od‘𝐺)
5 eqid 2737 . . . . . . . 8 (.g𝐺) = (.g𝐺)
6 eqid 2737 . . . . . . . 8 (invg𝐺) = (invg𝐺)
7 finodsubmsubg.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
87adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
93submss 18822 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
101, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
1110sselda 3983 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ (Base‘𝐺))
123, 4, 5, 6, 8, 11odm1inv 19571 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (((𝑂𝑎) − 1)(.g𝐺)𝑎) = ((invg𝐺)‘𝑎))
1312adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℕ) → (((𝑂𝑎) − 1)(.g𝐺)𝑎) = ((invg𝐺)‘𝑎))
14 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘(𝐺s 𝑆)) = (Base‘(𝐺s 𝑆))
15 eqid 2737 . . . . . . . 8 (.g‘(𝐺s 𝑆)) = (.g‘(𝐺s 𝑆))
16 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝐺s 𝑆) = (𝐺s 𝑆)
1716submmnd 18826 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐺s 𝑆) ∈ Mnd)
181, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺s 𝑆) ∈ Mnd)
1918ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℕ) → (𝐺s 𝑆) ∈ Mnd)
20 nnm1nn0 12567 . . . . . . . . 9 ((𝑂𝑎) ∈ ℕ → ((𝑂𝑎) − 1) ∈ ℕ0)
2120adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℕ) → ((𝑂𝑎) − 1) ∈ ℕ0)
22 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℕ) → 𝑎𝑆)
2316, 3ressbas2 17283 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
2410, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
2524ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℕ) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
2622, 25eleqtrd 2843 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆)))
2714, 15, 19, 21, 26mulgnn0cld 19113 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℕ) → (((𝑂𝑎) − 1)(.g‘(𝐺s 𝑆))𝑎) ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆)))
281ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
295, 16, 15submmulg 19136 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ((𝑂𝑎) − 1) ∈ ℕ0𝑎𝑆) → (((𝑂𝑎) − 1)(.g𝐺)𝑎) = (((𝑂𝑎) − 1)(.g‘(𝐺s 𝑆))𝑎))
3028, 21, 22, 29syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℕ) → (((𝑂𝑎) − 1)(.g𝐺)𝑎) = (((𝑂𝑎) − 1)(.g‘(𝐺s 𝑆))𝑎))
3127, 30, 253eltr4d 2856 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℕ) → (((𝑂𝑎) − 1)(.g𝐺)𝑎) ∈ 𝑆)
3213, 31eqeltrrd 2842 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑂𝑎) ∈ ℕ) → ((invg𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆)
3332ex 412 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → ((𝑂𝑎) ∈ ℕ → ((invg𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))
3433ralimdva 3167 . . 3 (𝜑 → (∀𝑎𝑆 (𝑂𝑎) ∈ ℕ → ∀𝑎𝑆 ((invg𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))
352, 34mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑎𝑆 ((invg𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆)
366issubg3 19162 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑎𝑆 ((invg𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆)))
377, 36syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑎𝑆 ((invg𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆)))
381, 35, 37mpbir2and 713 1 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wss 3951  cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156  cmin 11492  cn 12266  0cn0 12526  Basecbs 17247  s cress 17274  Mndcmnd 18747  SubMndcsubmnd 18795  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  .gcmg 19085  SubGrpcsubg 19138  odcod 19542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-od 19546
This theorem is referenced by:  0subgALT  19586  finsubmsubg  42520
  Copyright terms: Public domain W3C validator