Theorem odmulgid 19810

Description: A relationship between the order of a multiple and the order of the basepoint. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odmulgid.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odmulgid.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odmulgid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odmulgid	⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝐾 ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝐾 · 𝑁)))

Proof of Theorem odmulgid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
2		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
3		simpl3 1212	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		simpl2 1211	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
5		odmulgid.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
6		odmulgid.3	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7	5, 6	mulgass 19362	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝐾 · 𝑁) · 𝐴) = (𝐾 · (𝑁 · 𝐴)))
8	1, 2, 3, 4, 7	syl13anc 1400	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑁) · 𝐴) = (𝐾 · (𝑁 · 𝐴)))
9	8	eqeq1d 2765	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑁) · 𝐴) = (0g‘𝐺) ↔ (𝐾 · (𝑁 · 𝐴)) = (0g‘𝐺)))
10	2, 3	zmulcld 12847	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
11		odmulgid.2	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
12		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
13	5, 11, 6, 12	oddvds 19803	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝐾 · 𝑁) ↔ ((𝐾 · 𝑁) · 𝐴) = (0g‘𝐺)))
14	1, 4, 10, 13	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝐾 · 𝑁) ↔ ((𝐾 · 𝑁) · 𝐴) = (0g‘𝐺)))
15	5, 6	mulgcl 19342	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
16	1, 3, 4, 15	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
17	5, 11, 6, 12	oddvds 19803	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 · (𝑁 · 𝐴)) = (0g‘𝐺)))
18	1, 16, 2, 17	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 · (𝑁 · 𝐴)) = (0g‘𝐺)))
19	9, 14, 18	3bitr4rd 315	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝐾 ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝐾 · 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449   · cmul 11242  ℤcz 12731   ∥ cdvds 16463  Basecbs 17428  0_gc0g 17651  Grpcgrp 19185  ._gcmg 19318  odcod 19780

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-sup 9469  df-inf 9470  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-rp 13159  df-fz 13678  df-fl 13970  df-mod 14048  df-seq 14183  df-exp 14243  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-dvds 16464  df-0g 17653  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-grp 19188  df-minusg 19189  df-sbg 19190  df-mulg 19319  df-od 19784

This theorem is used by:  odmulg2  19811  odmulg  19812  ablfacrp  20324