MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odmulgid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odmulgid 19463
Description: A relationship between the order of a multiple and the order of the basepoint. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odmulgid.1 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
odmulgid.2 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
odmulgid.3 ยท = (.gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
odmulgid (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆฅ ๐พ โ†” (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘)))

Proof of Theorem odmulgid
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
2 simpr 485 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
3 simpl3 1193 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4 simpl2 1192 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‹)
5 odmulgid.1 . . . . 5 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
6 odmulgid.3 . . . . 5 ยท = (.gโ€˜๐บ)
75, 6mulgass 19027 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹)) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘) ยท ๐ด) = (๐พ ยท (๐‘ ยท ๐ด)))
81, 2, 3, 4, 7syl13anc 1372 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘) ยท ๐ด) = (๐พ ยท (๐‘ ยท ๐ด)))
98eqeq1d 2734 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐พ ยท ๐‘) ยท ๐ด) = (0gโ€˜๐บ) โ†” (๐พ ยท (๐‘ ยท ๐ด)) = (0gโ€˜๐บ)))
102, 3zmulcld 12676 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
11 odmulgid.2 . . . 4 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
12 eqid 2732 . . . 4 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
135, 11, 6, 12oddvds 19456 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง (๐พ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘) โ†” ((๐พ ยท ๐‘) ยท ๐ด) = (0gโ€˜๐บ)))
141, 4, 10, 13syl3anc 1371 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘) โ†” ((๐พ ยท ๐‘) ยท ๐ด) = (0gโ€˜๐บ)))
155, 6mulgcl 19007 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ ๐‘‹)
161, 3, 4, 15syl3anc 1371 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ ๐‘‹)
175, 11, 6, 12oddvds 19456 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆฅ ๐พ โ†” (๐พ ยท (๐‘ ยท ๐ด)) = (0gโ€˜๐บ)))
181, 16, 2, 17syl3anc 1371 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆฅ ๐พ โ†” (๐พ ยท (๐‘ ยท ๐ด)) = (0gโ€˜๐บ)))
199, 14, 183bitr4rd 311 1 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆฅ ๐พ โ†” (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ยท cmul 11117  โ„คcz 12562   โˆฅ cdvds 16201  Basecbs 17148  0gc0g 17389  Grpcgrp 18855  .gcmg 18986  odcod 19433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-od 19437
This theorem is referenced by:  odmulg2  19464  odmulg  19465  ablfacrp  19977
  Copyright terms: Public domain W3C validator