Theorem odmulgid 18436

Description: A relationship between the order of a multiple and the order of the basepoint. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odmulgid.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odmulgid.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odmulgid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odmulgid	⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝐾 ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝐾 · 𝑁)))

Proof of Theorem odmulgid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1171	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
2		simpr 477	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
3		simpl3 1173	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		simpl2 1172	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
5		odmulgid.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
6		odmulgid.3	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7	5, 6	mulgass 18042	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝐾 · 𝑁) · 𝐴) = (𝐾 · (𝑁 · 𝐴)))
8	1, 2, 3, 4, 7	syl13anc 1352	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑁) · 𝐴) = (𝐾 · (𝑁 · 𝐴)))
9	8	eqeq1d 2774	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝐾 · 𝑁) · 𝐴) = (0g‘𝐺) ↔ (𝐾 · (𝑁 · 𝐴)) = (0g‘𝐺)))
10	2, 3	zmulcld 11900	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
11		odmulgid.2	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
12		eqid 2772	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
13	5, 11, 6, 12	oddvds 18431	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝐾 · 𝑁) ↔ ((𝐾 · 𝑁) · 𝐴) = (0g‘𝐺)))
14	1, 4, 10, 13	syl3anc 1351	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝐾 · 𝑁) ↔ ((𝐾 · 𝑁) · 𝐴) = (0g‘𝐺)))
15	5, 6	mulgcl 18024	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
16	1, 3, 4, 15	syl3anc 1351	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
17	5, 11, 6, 12	oddvds 18431	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 · (𝑁 · 𝐴)) = (0g‘𝐺)))
18	1, 16, 2, 17	syl3anc 1351	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 · (𝑁 · 𝐴)) = (0g‘𝐺)))
19	9, 14, 18	3bitr4rd 304	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝐾 ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝐾 · 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   class class class wbr 4923  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970   · cmul 10334  ℤcz 11787   ∥ cdvds 15461  Basecbs 16333  0_gc0g 16563  Grpcgrp 17885  ._gcmg 18005  odcod 18408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406  ax-pre-sup 10407

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-er 8083  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-sup 8695  df-inf 8696  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-div 11093  df-nn 11434  df-2 11497  df-3 11498  df-n0 11702  df-z 11788  df-uz 12053  df-rp 12199  df-fz 12703  df-fl 12971  df-mod 13047  df-seq 13179  df-exp 13239  df-cj 14313  df-re 14314  df-im 14315  df-sqrt 14449  df-abs 14450  df-dvds 15462  df-0g 16565  df-mgm 17704  df-sgrp 17746  df-mnd 17757  df-grp 17888  df-minusg 17889  df-sbg 17890  df-mulg 18006  df-od 18412

This theorem is referenced by:  odmulg2  18437  odmulg  18438  ablfacrp  18932