Theorem submod 19542

Description: The order of an element is the same in a submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submod.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑌)
submod.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
submod.p	⊢ 𝑃 = (od‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
submod	⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑂‘𝐴) = (𝑃‘𝐴))

Proof of Theorem submod

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺))
2		nnnn0 12442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
3	2	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ0)
4		simplr 774	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ 𝑌)
5		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
6		submod.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑌)
7		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝐻) = (.g‘𝐻)
8	5, 6, 7	submmulg 19092	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (𝑥(.g‘𝐻)𝐴))
9	1, 3, 4, 8	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (𝑥(.g‘𝐻)𝐴))
10		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
11	6, 10	subm0 18781	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
12	11	ad2antrr 732	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
13	9, 12	eqeq12d 2756	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺) ↔ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)))
14	13	rabbidva 3398	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)})
15		eqeq1 2744	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} → ({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅ ↔ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = ∅))
16		infeq1 9387	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} → inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}, ℝ, < ) = inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}, ℝ, < ))
17	15, 16	ifbieq2d 4488	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} → if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}, ℝ, < )) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}, ℝ, < )))
18	14, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}, ℝ, < )) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}, ℝ, < )))
19		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
20	19	submss 18775	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝐺))
21	20	sselda 3922	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
22		submod.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
23		eqid 2740	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}
24	19, 5, 10, 22, 23	odval 19507	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘𝐺) → (𝑂‘𝐴) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}, ℝ, < )))
25	21, 24	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑂‘𝐴) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}, ℝ, < )))
26		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ 𝑌)
27	20	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝐺))
28	6, 19	ressbas2 17206	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝑌 = (Base‘𝐻))
29	27, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝑌 = (Base‘𝐻))
30	26, 29	eleqtrd 2842	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
31		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
32		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
33		submod.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (od‘𝐻)
34		eqid 2740	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}
35	31, 7, 32, 33, 34	odval 19507	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘𝐻) → (𝑃‘𝐴) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}, ℝ, < )))
36	30, 35	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑃‘𝐴) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}, ℝ, < )))
37	18, 25, 36	3eqtr4d 2785	1 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑂‘𝐴) = (𝑃‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3392   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  ifcif 4461  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  infcinf 9351  ℝcr 11035  0cc0 11036   < clt 11177  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  Basecbs 17177   ↾_s cress 17198  0_gc0g 17400  SubMndcsubmnd 18748  ._gcmg 19041  odcod 19497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-seq 13962  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-od 19501

This theorem is referenced by:  subgod  19543  unitscyglem5  42691