Theorem submod 19351

Description: The order of an element is the same in a submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submod.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑌)
submod.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
submod.p	⊢ 𝑃 = (od‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
submod	⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑂‘𝐴) = (𝑃‘𝐴))

Proof of Theorem submod

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺))
2		nnnn0 12420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
3	2	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ0)
4		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ 𝑌)
5		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
6		submod.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑌)
7		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝐻) = (.g‘𝐻)
8	5, 6, 7	submmulg 18920	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (𝑥(.g‘𝐻)𝐴))
9	1, 3, 4, 8	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (𝑥(.g‘𝐻)𝐴))
10		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
11	6, 10	subm0 18626	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
12	11	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
13	9, 12	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺) ↔ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)))
14	13	rabbidva 3414	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)})
15		eqeq1 2740	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} → ({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅ ↔ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = ∅))
16		infeq1 9412	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} → inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}, ℝ, < ) = inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}, ℝ, < ))
17	15, 16	ifbieq2d 4512	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} → if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}, ℝ, < )) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}, ℝ, < )))
18	14, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}, ℝ, < )) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}, ℝ, < )))
19		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
20	19	submss 18620	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝐺))
21	20	sselda 3944	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
22		submod.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
23		eqid 2736	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}
24	19, 5, 10, 22, 23	odval 19316	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘𝐺) → (𝑂‘𝐴) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}, ℝ, < )))
25	21, 24	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑂‘𝐴) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}, ℝ, < )))
26		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ 𝑌)
27	20	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝐺))
28	6, 19	ressbas2 17120	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝑌 = (Base‘𝐻))
29	27, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝑌 = (Base‘𝐻))
30	26, 29	eleqtrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
31		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
32		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
33		submod.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (od‘𝐻)
34		eqid 2736	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}
35	31, 7, 32, 33, 34	odval 19316	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘𝐻) → (𝑃‘𝐴) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}, ℝ, < )))
36	30, 35	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑃‘𝐴) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}, ℝ, < )))
37	18, 25, 36	3eqtr4d 2786	1 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑂‘𝐴) = (𝑃‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3407   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  ifcif 4486  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  infcinf 9377  ℝcr 11050  0cc0 11051   < clt 11189  ℕcn 12153  ℕ₀cn0 12413  Basecbs 17083   ↾_s cress 17112  0_gc0g 17321  SubMndcsubmnd 18600  ._gcmg 18872  odcod 19306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-seq 13907  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-od 19310

This theorem is referenced by:  subgod  19352