Theorem submod 19479

Description: The order of an element is the same in a submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submod.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑌)
submod.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
submod.p	⊢ 𝑃 = (od‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
submod	⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑂‘𝐴) = (𝑃‘𝐴))

Proof of Theorem submod

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺))
2		nnnn0 12385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
3	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ0)
4		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ 𝑌)
5		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
6		submod.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑌)
7		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝐻) = (.g‘𝐻)
8	5, 6, 7	submmulg 19028	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (𝑥(.g‘𝐻)𝐴))
9	1, 3, 4, 8	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (𝑥(.g‘𝐻)𝐴))
10		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
11	6, 10	subm0 18720	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
12	11	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
13	9, 12	eqeq12d 2747	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺) ↔ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)))
14	13	rabbidva 3401	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)})
15		eqeq1 2735	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} → ({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅ ↔ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = ∅))
16		infeq1 9361	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} → inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}, ℝ, < ) = inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}, ℝ, < ))
17	15, 16	ifbieq2d 4502	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} → if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}, ℝ, < )) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}, ℝ, < )))
18	14, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}, ℝ, < )) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}, ℝ, < )))
19		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
20	19	submss 18714	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝐺))
21	20	sselda 3934	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
22		submod.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
23		eqid 2731	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}
24	19, 5, 10, 22, 23	odval 19444	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘𝐺) → (𝑂‘𝐴) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}, ℝ, < )))
25	21, 24	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑂‘𝐴) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}, ℝ, < )))
26		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ 𝑌)
27	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝐺))
28	6, 19	ressbas2 17146	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝑌 = (Base‘𝐻))
29	27, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝑌 = (Base‘𝐻))
30	26, 29	eleqtrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
31		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
32		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
33		submod.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (od‘𝐻)
34		eqid 2731	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}
35	31, 7, 32, 33, 34	odval 19444	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘𝐻) → (𝑃‘𝐴) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}, ℝ, < )))
36	30, 35	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑃‘𝐴) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}, ℝ, < )))
37	18, 25, 36	3eqtr4d 2776	1 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑂‘𝐴) = (𝑃‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  ifcif 4475  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  infcinf 9325  ℝcr 11002  0cc0 11003   < clt 11143  ℕcn 12122  ℕ₀cn0 12378  Basecbs 17117   ↾_s cress 17138  0_gc0g 17340  SubMndcsubmnd 18687  ._gcmg 18977  odcod 19434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-seq 13906  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-0g 17342  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-submnd 18689  df-mulg 18978  df-od 19438

This theorem is referenced by:  subgod  19480  unitscyglem5  42231