Theorem submod 19630

Description: The order of an element is the same in a submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submod.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑌)
submod.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
submod.p	⊢ 𝑃 = (od‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
submod	⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑂‘𝐴) = (𝑃‘𝐴))

Proof of Theorem submod

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺))
2		nnnn0 12502	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
3	2	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ0)
4		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ 𝑌)
5		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
6		submod.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑌)
7		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝐻) = (.g‘𝐻)
8	5, 6, 7	submmulg 19175	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (𝑥(.g‘𝐻)𝐴))
9	1, 3, 4, 8	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (𝑥(.g‘𝐻)𝐴))
10		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
11	6, 10	subm0 18864	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
12	11	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
13	9, 12	eqeq12d 2781	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺) ↔ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)))
14	13	rabbidva 3423	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)})
15		eqeq1 2769	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} → ({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅ ↔ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = ∅))
16		infeq1 9425	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} → inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}, ℝ, < ) = inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}, ℝ, < ))
17	15, 16	ifbieq2d 4510	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} → if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}, ℝ, < )) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}, ℝ, < )))
18	14, 17	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}, ℝ, < )) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}, ℝ, < )))
19		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
20	19	submss 18857	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝐺))
21	20	sselda 3939	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
22		submod.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
23		eqid 2765	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}
24	19, 5, 10, 22, 23	odval 19595	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘𝐺) → (𝑂‘𝐴) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}, ℝ, < )))
25	21, 24	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑂‘𝐴) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}, ℝ, < )))
26		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ 𝑌)
27	20	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝐺))
28	6, 19	ressbas2 17288	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝑌 = (Base‘𝐻))
29	27, 28	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝑌 = (Base‘𝐻))
30	26, 29	eleqtrd 2867	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
31		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
32		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
33		submod.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (od‘𝐻)
34		eqid 2765	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}
35	31, 7, 32, 33, 34	odval 19595	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘𝐻) → (𝑃‘𝐴) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}, ℝ, < )))
36	30, 35	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑃‘𝐴) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}, ℝ, < )))
37	18, 25, 36	3eqtr4d 2810	1 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑂‘𝐴) = (𝑃‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {crab 3417   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  ifcif 4483  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  infcinf 9389  ℝcr 11087  0cc0 11088   < clt 11231  ℕcn 12224  ℕ₀cn0 12495  Basecbs 17259   ↾_s cress 17280  0_gc0g 17482  SubMndcsubmnd 18830  ._gcmg 19124  odcod 19585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-seq 14029  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-mulg 19125  df-od 19589

This theorem is referenced by:  subgod  19631  unitscyglem5  42828