Theorem submod 19544

Description: The order of an element is the same in a submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submod.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑌)
submod.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
submod.p	⊢ 𝑃 = (od‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
submod	⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑂‘𝐴) = (𝑃‘𝐴))

Proof of Theorem submod

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺))
2		nnnn0 12444	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
3	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ0)
4		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ 𝑌)
5		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
6		submod.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑌)
7		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝐻) = (.g‘𝐻)
8	5, 6, 7	submmulg 19094	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (𝑥(.g‘𝐻)𝐴))
9	1, 3, 4, 8	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (𝑥(.g‘𝐻)𝐴))
10		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
11	6, 10	subm0 18783	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
12	11	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
13	9, 12	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺) ↔ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)))
14	13	rabbidva 3395	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)})
15		eqeq1 2740	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} → ({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅ ↔ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = ∅))
16		infeq1 9390	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} → inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}, ℝ, < ) = inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}, ℝ, < ))
17	15, 16	ifbieq2d 4493	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} → if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}, ℝ, < )) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}, ℝ, < )))
18	14, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}, ℝ, < )) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}, ℝ, < )))
19		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
20	19	submss 18777	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝐺))
21	20	sselda 3921	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
22		submod.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
23		eqid 2736	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}
24	19, 5, 10, 22, 23	odval 19509	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘𝐺) → (𝑂‘𝐴) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}, ℝ, < )))
25	21, 24	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑂‘𝐴) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴) = (0g‘𝐺)}, ℝ, < )))
26		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ 𝑌)
27	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝐺))
28	6, 19	ressbas2 17208	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝑌 = (Base‘𝐻))
29	27, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝑌 = (Base‘𝐻))
30	26, 29	eleqtrd 2838	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
31		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
32		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
33		submod.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (od‘𝐻)
34		eqid 2736	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}
35	31, 7, 32, 33, 34	odval 19509	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘𝐻) → (𝑃‘𝐴) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}, ℝ, < )))
36	30, 35	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑃‘𝐴) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g‘𝐻)𝐴) = (0g‘𝐻)}, ℝ, < )))
37	18, 25, 36	3eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑂‘𝐴) = (𝑃‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3389   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ifcif 4466  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  infcinf 9354  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11179  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  0_gc0g 17402  SubMndcsubmnd 18750  ._gcmg 19043  odcod 19499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-seq 13964  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-od 19503

This theorem is referenced by:  subgod  19545  unitscyglem5  42638