MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submod 19487
Description: The order of an element is the same in a submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 5-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
submod.h 𝐻 = (𝐺 β†Ύs π‘Œ)
submod.o 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
submod.p 𝑃 = (odβ€˜π»)
Assertion
Ref Expression
submod ((π‘Œ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘‚β€˜π΄) = (π‘ƒβ€˜π΄))

Proof of Theorem submod
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 764 . . . . . 6 (((π‘Œ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ π‘Œ ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
2 nnnn0 12480 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„• β†’ π‘₯ ∈ β„•0)
32adantl 481 . . . . . 6 (((π‘Œ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ β„•0)
4 simplr 766 . . . . . 6 (((π‘Œ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ π‘Œ)
5 eqid 2726 . . . . . . 7 (.gβ€˜πΊ) = (.gβ€˜πΊ)
6 submod.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝐺 β†Ύs π‘Œ)
7 eqid 2726 . . . . . . 7 (.gβ€˜π») = (.gβ€˜π»)
85, 6, 7submmulg 19043 . . . . . 6 ((π‘Œ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴) = (π‘₯(.gβ€˜π»)𝐴))
91, 3, 4, 8syl3anc 1368 . . . . 5 (((π‘Œ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴) = (π‘₯(.gβ€˜π»)𝐴))
10 eqid 2726 . . . . . . 7 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
116, 10subm0 18738 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜π»))
1211ad2antrr 723 . . . . 5 (((π‘Œ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜π»))
139, 12eqeq12d 2742 . . . 4 (((π‘Œ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴) = (0gβ€˜πΊ) ↔ (π‘₯(.gβ€˜π»)𝐴) = (0gβ€˜π»)))
1413rabbidva 3433 . . 3 ((π‘Œ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴) = (0gβ€˜πΊ)} = {π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜π»)𝐴) = (0gβ€˜π»)})
15 eqeq1 2730 . . . 4 ({π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴) = (0gβ€˜πΊ)} = {π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜π»)𝐴) = (0gβ€˜π»)} β†’ ({π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴) = (0gβ€˜πΊ)} = βˆ… ↔ {π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜π»)𝐴) = (0gβ€˜π»)} = βˆ…))
16 infeq1 9470 . . . 4 ({π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴) = (0gβ€˜πΊ)} = {π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜π»)𝐴) = (0gβ€˜π»)} β†’ inf({π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴) = (0gβ€˜πΊ)}, ℝ, < ) = inf({π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜π»)𝐴) = (0gβ€˜π»)}, ℝ, < ))
1715, 16ifbieq2d 4549 . . 3 ({π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴) = (0gβ€˜πΊ)} = {π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜π»)𝐴) = (0gβ€˜π»)} β†’ if({π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴) = (0gβ€˜πΊ)} = βˆ…, 0, inf({π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴) = (0gβ€˜πΊ)}, ℝ, < )) = if({π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜π»)𝐴) = (0gβ€˜π»)} = βˆ…, 0, inf({π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜π»)𝐴) = (0gβ€˜π»)}, ℝ, < )))
1814, 17syl 17 . 2 ((π‘Œ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) β†’ if({π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴) = (0gβ€˜πΊ)} = βˆ…, 0, inf({π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴) = (0gβ€˜πΊ)}, ℝ, < )) = if({π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜π»)𝐴) = (0gβ€˜π»)} = βˆ…, 0, inf({π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜π»)𝐴) = (0gβ€˜π»)}, ℝ, < )))
19 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
2019submss 18732 . . . 4 (π‘Œ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ π‘Œ βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
2120sselda 3977 . . 3 ((π‘Œ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
22 submod.o . . . 4 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
23 eqid 2726 . . . 4 {π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴) = (0gβ€˜πΊ)} = {π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴) = (0gβ€˜πΊ)}
2419, 5, 10, 22, 23odval 19452 . . 3 (𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΊ) β†’ (π‘‚β€˜π΄) = if({π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴) = (0gβ€˜πΊ)} = βˆ…, 0, inf({π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴) = (0gβ€˜πΊ)}, ℝ, < )))
2521, 24syl 17 . 2 ((π‘Œ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘‚β€˜π΄) = if({π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴) = (0gβ€˜πΊ)} = βˆ…, 0, inf({π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜πΊ)𝐴) = (0gβ€˜πΊ)}, ℝ, < )))
26 simpr 484 . . . 4 ((π‘Œ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ π‘Œ)
2720adantr 480 . . . . 5 ((π‘Œ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) β†’ π‘Œ βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
286, 19ressbas2 17189 . . . . 5 (π‘Œ βŠ† (Baseβ€˜πΊ) β†’ π‘Œ = (Baseβ€˜π»))
2927, 28syl 17 . . . 4 ((π‘Œ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) β†’ π‘Œ = (Baseβ€˜π»))
3026, 29eleqtrd 2829 . . 3 ((π‘Œ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π»))
31 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
32 eqid 2726 . . . 4 (0gβ€˜π») = (0gβ€˜π»)
33 submod.p . . . 4 𝑃 = (odβ€˜π»)
34 eqid 2726 . . . 4 {π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜π»)𝐴) = (0gβ€˜π»)} = {π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜π»)𝐴) = (0gβ€˜π»)}
3531, 7, 32, 33, 34odval 19452 . . 3 (𝐴 ∈ (Baseβ€˜π») β†’ (π‘ƒβ€˜π΄) = if({π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜π»)𝐴) = (0gβ€˜π»)} = βˆ…, 0, inf({π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜π»)𝐴) = (0gβ€˜π»)}, ℝ, < )))
3630, 35syl 17 . 2 ((π‘Œ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘ƒβ€˜π΄) = if({π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜π»)𝐴) = (0gβ€˜π»)} = βˆ…, 0, inf({π‘₯ ∈ β„• ∣ (π‘₯(.gβ€˜π»)𝐴) = (0gβ€˜π»)}, ℝ, < )))
3718, 25, 363eqtr4d 2776 1 ((π‘Œ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘‚β€˜π΄) = (π‘ƒβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  ifcif 4523  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  infcinf 9435  β„cr 11108  0cc0 11109   < clt 11249  β„•cn 12213  β„•0cn0 12473  Basecbs 17151   β†Ύs cress 17180  0gc0g 17392  SubMndcsubmnd 18710  .gcmg 18993  odcod 19442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-seq 13970  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-od 19446
This theorem is referenced by:  subgod  19488
  Copyright terms: Public domain W3C validator