MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submod 19351
Description: The order of an element is the same in a submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 5-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
submod.h 𝐻 = (𝐺s 𝑌)
submod.o 𝑂 = (od‘𝐺)
submod.p 𝑃 = (od‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
submod ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑂𝐴) = (𝑃𝐴))

Proof of Theorem submod
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . . . . 6 (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺))
2 nnnn0 12420 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
32adantl 482 . . . . . 6 (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ0)
4 simplr 767 . . . . . 6 (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝐴𝑌)
5 eqid 2736 . . . . . . 7 (.g𝐺) = (.g𝐺)
6 submod.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝐺s 𝑌)
7 eqid 2736 . . . . . . 7 (.g𝐻) = (.g𝐻)
85, 6, 7submmulg 18920 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0𝐴𝑌) → (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (𝑥(.g𝐻)𝐴))
91, 3, 4, 8syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (𝑥(.g𝐻)𝐴))
10 eqid 2736 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
116, 10subm0 18626 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g𝐺) = (0g𝐻))
1211ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (0g𝐺) = (0g𝐻))
139, 12eqeq12d 2752 . . . 4 (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺) ↔ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)))
1413rabbidva 3414 . . 3 ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)})
15 eqeq1 2740 . . . 4 ({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)} → ({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)} = ∅ ↔ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)} = ∅))
16 infeq1 9412 . . . 4 ({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)} → inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)}, ℝ, < ) = inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)}, ℝ, < ))
1715, 16ifbieq2d 4512 . . 3 ({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)} → if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)}, ℝ, < )) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)}, ℝ, < )))
1814, 17syl 17 . 2 ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) → if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)}, ℝ, < )) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)}, ℝ, < )))
19 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2019submss 18620 . . . 4 (𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝐺))
2120sselda 3944 . . 3 ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
22 submod.o . . . 4 𝑂 = (od‘𝐺)
23 eqid 2736 . . . 4 {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)}
2419, 5, 10, 22, 23odval 19316 . . 3 (𝐴 ∈ (Base‘𝐺) → (𝑂𝐴) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)}, ℝ, < )))
2521, 24syl 17 . 2 ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑂𝐴) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)}, ℝ, < )))
26 simpr 485 . . . 4 ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴𝑌)
2720adantr 481 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝐺))
286, 19ressbas2 17120 . . . . 5 (𝑌 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝑌 = (Base‘𝐻))
2927, 28syl 17 . . . 4 ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) → 𝑌 = (Base‘𝐻))
3026, 29eleqtrd 2840 . . 3 ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
31 eqid 2736 . . . 4 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
32 eqid 2736 . . . 4 (0g𝐻) = (0g𝐻)
33 submod.p . . . 4 𝑃 = (od‘𝐻)
34 eqid 2736 . . . 4 {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)}
3531, 7, 32, 33, 34odval 19316 . . 3 (𝐴 ∈ (Base‘𝐻) → (𝑃𝐴) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)}, ℝ, < )))
3630, 35syl 17 . 2 ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑃𝐴) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)}, ℝ, < )))
3718, 25, 363eqtr4d 2786 1 ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑂𝐴) = (𝑃𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3407  wss 3910  c0 4282  ifcif 4486  cfv 6496  (class class class)co 7357  infcinf 9377  cr 11050  0cc0 11051   < clt 11189  cn 12153  0cn0 12413  Basecbs 17083  s cress 17112  0gc0g 17321  SubMndcsubmnd 18600  .gcmg 18872  odcod 19306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-seq 13907  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-od 19310
This theorem is referenced by:  subgod  19352
  Copyright terms: Public domain W3C validator