MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om1plusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om1plusg 25081
Description: The group operation (which isn't much more than a magma) of the loop space. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
om1bas.o 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
om1bas.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
om1bas.y (𝜑𝑌𝑋)
Assertion
Ref Expression
om1plusg (𝜑 → (*𝑝𝐽) = (+g𝑂))

Proof of Theorem om1plusg
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6920 . . 3 (*𝑝𝐽) ∈ V
2 eqid 2735 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽ko II)⟩} = {⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽ko II)⟩}
32topgrpplusg 17409 . . 3 ((*𝑝𝐽) ∈ V → (*𝑝𝐽) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽ko II)⟩}))
41, 3ax-mp 5 . 2 (*𝑝𝐽) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽ko II)⟩})
5 om1bas.o . . . 4 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
6 om1bas.j . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7 om1bas.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑋)
8 eqidd 2736 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂))
95, 6, 7, 8om1bas 25078 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑂) = {𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∣ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)})
10 eqidd 2736 . . . 4 (𝜑 → (*𝑝𝐽) = (*𝑝𝐽))
11 eqidd 2736 . . . 4 (𝜑 → (𝐽ko II) = (𝐽ko II))
125, 9, 10, 11, 6, 7om1val 25077 . . 3 (𝜑𝑂 = {⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽ko II)⟩})
1312fveq2d 6911 . 2 (𝜑 → (+g𝑂) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽ko II)⟩}))
144, 13eqtr4id 2794 1 (𝜑 → (*𝑝𝐽) = (+g𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  {ctp 4635  cop 4637  cfv 6563  (class class class)co 7431  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  TopSetcts 17304  TopOnctopon 22932  ko cxko 23585  IIcii 24915  *𝑝cpco 25047   Ω1 comi 25048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-topon 22933  df-om1 25053
This theorem is referenced by:  pi1cpbl  25091  pi1addf  25094  pi1addval  25095  pi1grplem  25096
  Copyright terms: Public domain W3C validator