Theorem om1plusg 24103

Description: The group operation (which isn't much more than a magma) of the loop space. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
om1bas.o	⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
om1bas.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
om1bas.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
om1plusg	⊢ (𝜑 → (*𝑝‘𝐽) = (+g‘𝑂))

Proof of Theorem om1plusg

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6769	. . 3 ⊢ (*𝑝‘𝐽) ∈ V
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝‘𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↑ko II)⟩} = {⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝‘𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↑ko II)⟩}
3	2	topgrpplusg 16997	. . 3 ⊢ ((*𝑝‘𝐽) ∈ V → (*𝑝‘𝐽) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝‘𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↑ko II)⟩}))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (*𝑝‘𝐽) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝‘𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↑ko II)⟩})
5		om1bas.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
6		om1bas.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7		om1bas.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
8		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂))
9	5, 6, 7, 8	om1bas 24100	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑂) = {𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∣ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)})
10		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (*𝑝‘𝐽) = (*𝑝‘𝐽))
11		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↑ko II) = (𝐽 ↑ko II))
12	5, 9, 10, 11, 6, 7	om1val 24099	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = {⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝‘𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↑ko II)⟩})
13	12	fveq2d 6760	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑂) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝‘𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↑ko II)⟩}))
14	4, 13	eqtr4id 2798	1 ⊢ (𝜑 → (*𝑝‘𝐽) = (+g‘𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  {ctp 4562  ⟨cop 4564  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ndxcnx 16822  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  TopSetcts 16894  TopOnctopon 21967   ↑_ko cxko 22620  IIcii 23944  *_𝑝cpco 24069   Ω₁ comi 24070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-tset 16907  df-topon 21968  df-om1 24075

This theorem is referenced by:  pi1cpbl  24113  pi1addf  24116  pi1addval  24117  pi1grplem  24118