Theorem om1tset 24783

Description: The topology of the loop space. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
om1bas.o	⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
om1bas.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
om1bas.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
om1tset	⊢ (𝜑 → (𝐽 ↑ko II) = (TopSet‘𝑂))

Proof of Theorem om1tset

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7445	. . 3 ⊢ (𝐽 ↑ko II) ∈ V
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝‘𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↑ko II)⟩} = {⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝‘𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↑ko II)⟩}
3	2	topgrptset 17314	. . 3 ⊢ ((𝐽 ↑ko II) ∈ V → (𝐽 ↑ko II) = (TopSet‘{⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝‘𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↑ko II)⟩}))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐽 ↑ko II) = (TopSet‘{⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝‘𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↑ko II)⟩})
5		om1bas.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
6		om1bas.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7		om1bas.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
8		eqidd 2732	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂))
9	5, 6, 7, 8	om1bas 24779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑂) = {𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∣ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)})
10		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (*𝑝‘𝐽) = (*𝑝‘𝐽))
11		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↑ko II) = (𝐽 ↑ko II))
12	5, 9, 10, 11, 6, 7	om1val 24778	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = {⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝‘𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↑ko II)⟩})
13	12	fveq2d 6895	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑂) = (TopSet‘{⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝‘𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↑ko II)⟩}))
14	4, 13	eqtr4id 2790	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↑ko II) = (TopSet‘𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473  {ctp 4632  ⟨cop 4634  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ndxcnx 17131  Basecbs 17149  +_gcplusg 17202  TopSetcts 17208  TopOnctopon 22633   ↑_ko cxko 23286  IIcii 24616  *_𝑝cpco 24748   Ω₁ comi 24749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-tset 17221  df-topon 22634  df-om1 24754

This theorem is referenced by:  om1opn  24784