Theorem om1tset 25266

Description: The topology of the loop space. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
om1bas.o	⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
om1bas.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
om1bas.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
om1tset	⊢ (𝜑 → (𝐽 ↑ko II) = (TopSet‘𝑂))

Proof of Theorem om1tset

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7447	. . 3 ⊢ (𝐽 ↑ko II) ∈ V
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝‘𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↑ko II)⟩} = {⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝‘𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↑ko II)⟩}
3	2	topgrptset 17452	. . 3 ⊢ ((𝐽 ↑ko II) ∈ V → (𝐽 ↑ko II) = (TopSet‘{⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝‘𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↑ko II)⟩}))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐽 ↑ko II) = (TopSet‘{⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝‘𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↑ko II)⟩})
5		om1bas.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
6		om1bas.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7		om1bas.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
8		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂))
9	5, 6, 7, 8	om1bas 25262	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑂) = {𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∣ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)})
10		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (*𝑝‘𝐽) = (*𝑝‘𝐽))
11		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↑ko II) = (𝐽 ↑ko II))
12	5, 9, 10, 11, 6, 7	om1val 25261	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = {⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝‘𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↑ko II)⟩})
13	12	fveq2d 6883	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑂) = (TopSet‘{⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑂)⟩, ⟨(+g‘ndx), (*𝑝‘𝐽)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↑ko II)⟩}))
14	4, 13	eqtr4id 2814	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↑ko II) = (TopSet‘𝑂))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  {ctp 4588  ⟨cop 4590  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ndxcnx 17288  Basecbs 17304  +_gcplusg 17345  TopSetcts 17351  TopOnctopon 23138   ↑_ko cxko 23790  IIcii 25106  *_𝑝cpco 25231   Ω₁ comi 25232

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-struct 17242  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-plusg 17358  df-tset 17364  df-topon 23139  df-om1 25237

This theorem is used by:  om1opn  25267