Theorem opprlidlabs 33244

Description: The ideals of the opposite ring's opposite ring are the ideals of the original ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppreqg.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
oppr2idl.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
opprlidlabs	⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘(oppr‘𝑂)))

Proof of Theorem opprlidlabs

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
2		eqid 2725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
3		eqid 2725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (oppr‘𝑂) = (oppr‘𝑂)
4		eqid 2725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑂)) = (.r‘(oppr‘𝑂))
5	1, 2, 3, 4	opprmul 20278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎) = (𝑎(.r‘𝑂)𝑥)
6		eqid 2725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8		oppreqg.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
9	6, 7, 8, 2	opprmul 20278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎(.r‘𝑂)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑎)
10	5, 9	eqtr2i 2754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) = (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖) ∧ 𝑏 ∈ 𝑖) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) = (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎))
12	11	oveq1d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖) ∧ 𝑏 ∈ 𝑖) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) = ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏))
13	12	eleq1d 2810	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖) ∧ 𝑏 ∈ 𝑖) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖 ↔ ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
14	13	ralbidva 3166	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖) → (∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
15	14	anasss 465	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖)) → (∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
16	15	2ralbidva 3207	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖 ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
17	16	3anbi3d 1438	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖) ↔ (𝑖 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)))
18		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
19		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
20	18, 6, 19, 7	islidl 21113	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ (𝑖 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
21		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑂)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑂))
22	8, 6	opprbas 20282	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
23	3, 22	opprbas 20282	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑂))
24	8, 19	oppradd 20284	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
25	3, 24	oppradd 20284	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(oppr‘𝑂))
26	21, 23, 25, 4	islidl 21113	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑂)) ↔ (𝑖 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
27	17, 20, 26	3bitr4g 313	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ 𝑖 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑂))))
28	27	eqrdv 2723	1 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘(oppr‘𝑂)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∀wral 3051   ⊆ wss 3940  ∅c0 4318  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  +_gcplusg 17230  ._rcmulr 17231  Ringcrg 20175  opp_rcoppr 20274  LIdealclidl 21104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-oppr 20275  df-lss 20818  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-lidl 21106

This theorem is referenced by:  oppr2idl  33245  opprmxidlabs  33246