Theorem opprlidlabs 33776

Description: The ideals of the opposite ring's opposite ring are the ideals of the original ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppreqg.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
oppr2idl.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
opprlidlabs	⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘(oppr‘𝑂)))

Proof of Theorem opprlidlabs

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
2		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
3		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (oppr‘𝑂) = (oppr‘𝑂)
4		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑂)) = (.r‘(oppr‘𝑂))
5	1, 2, 3, 4	opprmul 20429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎) = (𝑎(.r‘𝑂)𝑥)
6		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8		oppreqg.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
9	6, 7, 8, 2	opprmul 20429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎(.r‘𝑂)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑎)
10	5, 9	eqtr2i 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) = (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖) ∧ 𝑏 ∈ 𝑖) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) = (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎))
12	11	oveq1d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖) ∧ 𝑏 ∈ 𝑖) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) = ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏))
13	12	eleq1d 2847	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖) ∧ 𝑏 ∈ 𝑖) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖 ↔ ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
14	13	ralbidva 3185	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖) → (∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
15	14	anasss 471	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖)) → (∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
16	15	2ralbidva 3226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖 ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
17	16	3anbi3d 1469	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖) ↔ (𝑖 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)))
18		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
19		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
20	18, 6, 19, 7	islidl 21351	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ (𝑖 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
21		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑂)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑂))
22	8, 6	opprbas 20432	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
23	3, 22	opprbas 20432	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑂))
24	8, 19	oppradd 20433	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
25	3, 24	oppradd 20433	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(oppr‘𝑂))
26	21, 23, 25, 4	islidl 21351	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑂)) ↔ (𝑖 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
27	17, 20, 26	3bitr4g 317	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ 𝑖 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑂))))
28	27	eqrdv 2760	1 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘(oppr‘𝑂)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3078   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316  ._rcmulr 17317  Ringcrg 20321  opp_rcoppr 20425  LIdealclidl 21341

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-oppr 20426  df-lss 21064  df-sra 21305  df-rgmod 21306  df-lidl 21343

This theorem is used by:  oppr2idl  33777  opprmxidlabs  33778