Theorem opprlidlabs 33547

Description: The ideals of the opposite ring's opposite ring are the ideals of the original ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppreqg.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
oppr2idl.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
opprlidlabs	⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘(oppr‘𝑂)))

Proof of Theorem opprlidlabs

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
2		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
3		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (oppr‘𝑂) = (oppr‘𝑂)
4		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑂)) = (.r‘(oppr‘𝑂))
5	1, 2, 3, 4	opprmul 20280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎) = (𝑎(.r‘𝑂)𝑥)
6		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8		oppreqg.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
9	6, 7, 8, 2	opprmul 20280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎(.r‘𝑂)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑎)
10	5, 9	eqtr2i 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) = (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖) ∧ 𝑏 ∈ 𝑖) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) = (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎))
12	11	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖) ∧ 𝑏 ∈ 𝑖) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) = ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏))
13	12	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖) ∧ 𝑏 ∈ 𝑖) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖 ↔ ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
14	13	ralbidva 3158	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖) → (∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
15	14	anasss 466	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖)) → (∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
16	15	2ralbidva 3199	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖 ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
17	16	3anbi3d 1445	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖) ↔ (𝑖 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)))
18		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
19		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
20	18, 6, 19, 7	islidl 21174	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ (𝑖 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
21		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑂)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑂))
22	8, 6	opprbas 20283	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
23	3, 22	opprbas 20283	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑂))
24	8, 19	oppradd 20284	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
25	3, 24	oppradd 20284	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(oppr‘𝑂))
26	21, 23, 25, 4	islidl 21174	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑂)) ↔ (𝑖 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
27	17, 20, 26	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ 𝑖 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑂))))
28	27	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘(oppr‘𝑂)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140  +_gcplusg 17181  ._rcmulr 17182  Ringcrg 20172  opp_rcoppr 20276  LIdealclidl 21165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-oppr 20277  df-lss 20887  df-sra 21129  df-rgmod 21130  df-lidl 21167

This theorem is referenced by:  oppr2idl  33548  opprmxidlabs  33549