Theorem opprlidlabs 33676

Description: The ideals of the opposite ring's opposite ring are the ideals of the original ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppreqg.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
oppr2idl.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
opprlidlabs	⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘(oppr‘𝑂)))

Proof of Theorem opprlidlabs

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
2		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
3		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (oppr‘𝑂) = (oppr‘𝑂)
4		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑂)) = (.r‘(oppr‘𝑂))
5	1, 2, 3, 4	opprmul 20399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎) = (𝑎(.r‘𝑂)𝑥)
6		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8		oppreqg.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
9	6, 7, 8, 2	opprmul 20399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎(.r‘𝑂)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑎)
10	5, 9	eqtr2i 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) = (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖) ∧ 𝑏 ∈ 𝑖) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) = (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎))
12	11	oveq1d 7411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖) ∧ 𝑏 ∈ 𝑖) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) = ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏))
13	12	eleq1d 2848	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖) ∧ 𝑏 ∈ 𝑖) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖 ↔ ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
14	13	ralbidva 3184	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖) → (∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
15	14	anasss 470	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖)) → (∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
16	15	2ralbidva 3225	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖 ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
17	16	3anbi3d 1464	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖) ↔ (𝑖 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)))
18		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
19		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
20	18, 6, 19, 7	islidl 21292	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ (𝑖 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
21		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑂)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑂))
22	8, 6	opprbas 20402	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
23	3, 22	opprbas 20402	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑂))
24	8, 19	oppradd 20403	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
25	3, 24	oppradd 20403	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(oppr‘𝑂))
26	21, 23, 25, 4	islidl 21292	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑂)) ↔ (𝑖 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
27	17, 20, 26	3bitr4g 316	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ 𝑖 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑂))))
28	27	eqrdv 2761	1 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘(oppr‘𝑂)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3077   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17255  +_gcplusg 17296  ._rcmulr 17297  Ringcrg 20293  opp_rcoppr 20395  LIdealclidl 21283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-sca 17312  df-vsca 17313  df-ip 17314  df-oppr 20396  df-lss 21006  df-sra 21247  df-rgmod 21248  df-lidl 21285

This theorem is referenced by:  oppr2idl  33677  opprmxidlabs  33678