Theorem opprlidlabs 33478

Description: The ideals of the opposite ring's opposite ring are the ideals of the original ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppreqg.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
oppr2idl.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
opprlidlabs	⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘(oppr‘𝑂)))

Proof of Theorem opprlidlabs

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
2		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
3		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (oppr‘𝑂) = (oppr‘𝑂)
4		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑂)) = (.r‘(oppr‘𝑂))
5	1, 2, 3, 4	opprmul 20363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎) = (𝑎(.r‘𝑂)𝑥)
6		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8		oppreqg.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
9	6, 7, 8, 2	opprmul 20363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎(.r‘𝑂)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑎)
10	5, 9	eqtr2i 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) = (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖) ∧ 𝑏 ∈ 𝑖) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) = (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎))
12	11	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖) ∧ 𝑏 ∈ 𝑖) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) = ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏))
13	12	eleq1d 2829	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖) ∧ 𝑏 ∈ 𝑖) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖 ↔ ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
14	13	ralbidva 3182	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖) → (∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
15	14	anasss 466	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖)) → (∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
16	15	2ralbidva 3225	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖 ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
17	16	3anbi3d 1442	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖) ↔ (𝑖 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)))
18		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
19		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
20	18, 6, 19, 7	islidl 21248	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ (𝑖 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
21		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑂)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑂))
22	8, 6	opprbas 20367	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
23	3, 22	opprbas 20367	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑂))
24	8, 19	oppradd 20369	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
25	3, 24	oppradd 20369	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(oppr‘𝑂))
26	21, 23, 25, 4	islidl 21248	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑂)) ↔ (𝑖 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ 𝑖 ∀𝑏 ∈ 𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
27	17, 20, 26	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ 𝑖 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑂))))
28	27	eqrdv 2738	1 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘(oppr‘𝑂)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  Ringcrg 20260  opp_rcoppr 20359  LIdealclidl 21239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-oppr 20360  df-lss 20953  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-lidl 21241

This theorem is referenced by:  oppr2idl  33479  opprmxidlabs  33480