Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opprlidlabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprlidlabs 33513
Description: The ideals of the opposite ring's opposite ring are the ideals of the original ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
oppreqg.o 𝑂 = (oppr𝑅)
oppr2idl.2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
opprlidlabs (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘(oppr𝑂)))

Proof of Theorem opprlidlabs
Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
2 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑂) = (.r𝑂)
3 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (oppr𝑂) = (oppr𝑂)
4 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (.r‘(oppr𝑂)) = (.r‘(oppr𝑂))
51, 2, 3, 4opprmul 20337 . . . . . . . . . . 11 (𝑥(.r‘(oppr𝑂))𝑎) = (𝑎(.r𝑂)𝑥)
6 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑅) = (.r𝑅)
8 oppreqg.o . . . . . . . . . . . 12 𝑂 = (oppr𝑅)
96, 7, 8, 2opprmul 20337 . . . . . . . . . . 11 (𝑎(.r𝑂)𝑥) = (𝑥(.r𝑅)𝑎)
105, 9eqtr2i 2766 . . . . . . . . . 10 (𝑥(.r𝑅)𝑎) = (𝑥(.r‘(oppr𝑂))𝑎)
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎𝑖) ∧ 𝑏𝑖) → (𝑥(.r𝑅)𝑎) = (𝑥(.r‘(oppr𝑂))𝑎))
1211oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎𝑖) ∧ 𝑏𝑖) → ((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) = ((𝑥(.r‘(oppr𝑂))𝑎)(+g𝑅)𝑏))
1312eleq1d 2826 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎𝑖) ∧ 𝑏𝑖) → (((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝑖 ↔ ((𝑥(.r‘(oppr𝑂))𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
1413ralbidva 3176 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎𝑖) → (∀𝑏𝑖 ((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝑖 ↔ ∀𝑏𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr𝑂))𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
1514anasss 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎𝑖)) → (∀𝑏𝑖 ((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝑖 ↔ ∀𝑏𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr𝑂))𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
16152ralbidva 3219 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎𝑖𝑏𝑖 ((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝑖 ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎𝑖𝑏𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr𝑂))𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
17163anbi3d 1444 . . 3 (𝜑 → ((𝑖 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎𝑖𝑏𝑖 ((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝑖) ↔ (𝑖 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎𝑖𝑏𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr𝑂))𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)))
18 eqid 2737 . . . 4 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
19 eqid 2737 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
2018, 6, 19, 7islidl 21225 . . 3 (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ (𝑖 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎𝑖𝑏𝑖 ((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
21 eqid 2737 . . . 4 (LIdeal‘(oppr𝑂)) = (LIdeal‘(oppr𝑂))
228, 6opprbas 20341 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
233, 22opprbas 20341 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr𝑂))
248, 19oppradd 20343 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑂)
253, 24oppradd 20343 . . . 4 (+g𝑅) = (+g‘(oppr𝑂))
2621, 23, 25, 4islidl 21225 . . 3 (𝑖 ∈ (LIdeal‘(oppr𝑂)) ↔ (𝑖 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝑖 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎𝑖𝑏𝑖 ((𝑥(.r‘(oppr𝑂))𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝑖))
2717, 20, 263bitr4g 314 . 2 (𝜑 → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ 𝑖 ∈ (LIdeal‘(oppr𝑂))))
2827eqrdv 2735 1 (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘(oppr𝑂)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wss 3951  c0 4333  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  Ringcrg 20230  opprcoppr 20333  LIdealclidl 21216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-oppr 20334  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218
This theorem is referenced by:  oppr2idl  33514  opprmxidlabs  33515
  Copyright terms: Public domain W3C validator