Theorem pfxnd0 14634

Description: The value of a prefix operation for a length argument not in the range of the word length is the empty set. (This is due to our definition of function values for out-of-domain arguments, see ndmfv 6923). (Contributed by AV, 3-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
pfxnd0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∉ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)

Proof of Theorem pfxnd0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3048	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∉ (0...(♯‘𝑊)) ↔ ¬ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝐿 ∉ (0...(♯‘𝑊)) ↔ ¬ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
3		elfz2nn0 13588	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
5	4	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (¬ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ ¬ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
6		3ianor 1108	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) ↔ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (¬ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) ↔ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
8	2, 5, 7	3bitrd 305	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝐿 ∉ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
9		3orrot 1093	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) ↔ (¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0))
10		3orass 1091	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) ↔ (¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ (¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0)))
11		lencl 14479	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
12	11	pm2.24d 151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
13	12	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
14		simpr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ0)
15		pfxnndmnd 14618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑊 ∈ V ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)
16	14, 15	nsyl5 159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)
17	16	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
18		notnotb 315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ ¬ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0)
19	11	nn0red 12529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
20		nn0re 12477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℝ)
21		ltnle 11289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
22	19, 20, 21	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
23		pfxnd 14633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)
24	23	3expia 1122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) < 𝐿 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
25	22, 24	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
26	25	expcom 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)))
27	26	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)))
28	18, 27	sylbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)))
29	28	imp 408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
30	17, 29	jaoi3 1060	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
31	30	orcoms 871	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
32	13, 31	jaoi 856	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ (¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
33	10, 32	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ ((¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
34	9, 33	sylbi 216	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
35	34	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
36	8, 35	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝐿 ∉ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
37	36	imp 408	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∉ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∨ w3o 1087   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∉ wnel 3047  Vcvv 3475  ∅c0 4321   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  ℝcr 11105  0cc0 11106   < clt 11244   ≤ cle 11245  ℕ₀cn0 12468  ...cfz 13480  ♯chash 14286  Word cword 14460   prefix cpfx 14616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-substr 14587  df-pfx 14617

This theorem is referenced by: (None)