Theorem pfxnd0 14831

Description: The value of a prefix operation for a length argument not in the range of the word length is the empty set. (This is due to our definition of function values for out-of-domain arguments, see ndmfv 6915). (Contributed by AV, 3-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
pfxnd0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∉ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)

Proof of Theorem pfxnd0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3063	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∉ (0...(♯‘𝑊)) ↔ ¬ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝐿 ∉ (0...(♯‘𝑊)) ↔ ¬ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
3		elfz2nn0 13745	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
5	4	notbid 321	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (¬ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ ¬ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
6		3ianor 1124	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) ↔ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (¬ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) ↔ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
8	2, 5, 7	3bitrd 308	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝐿 ∉ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
9		3orrot 1108	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) ↔ (¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0))
10		3orass 1106	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) ↔ (¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ (¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0)))
11		lencl 14671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
12	11	pm2.24d 152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
13	12	com12 33	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
14		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ0)
15		pfxnndmnd 14815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑊 ∈ V ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)
16	14, 15	nsyl5 160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)
17	16	a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
18		notnotb 318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ ¬ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0)
19	11	nn0red 12661	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
20		nn0re 12608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℝ)
21		ltnle 11382	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
22	19, 20, 21	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
23		pfxnd 14830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)
24	23	3expia 1139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) < 𝐿 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
25	22, 24	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
26	25	expcom 419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)))
27	26	com23 87	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)))
28	18, 27	sylbir 238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)))
29	28	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
30	17, 29	jaoi3 1076	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
31	30	orcoms 886	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
32	13, 31	jaoi 871	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ (¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
33	10, 32	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ ((¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
34	9, 33	sylbi 220	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
35	34	com12 33	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
36	8, 35	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝐿 ∉ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
37	36	imp 412	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∉ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3062  Vcvv 3451  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  0cc0 11193   < clt 11336   ≤ cle 11337  ℕ₀cn0 12599  ...cfz 13632  ♯chash 14467  Word cword 14651   prefix cpfx 14813

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-hash 14468  df-word 14652  df-substr 14782  df-pfx 14814

This theorem is used by: (None)