Theorem pfxnd0 14613

Description: The value of a prefix operation for a length argument not in the range of the word length is the empty set. (This is due to our definition of function values for out-of-domain arguments, see ndmfv 6859). (Contributed by AV, 3-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
pfxnd0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∉ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)

Proof of Theorem pfxnd0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3030	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∉ (0...(♯‘𝑊)) ↔ ¬ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝐿 ∉ (0...(♯‘𝑊)) ↔ ¬ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
3		elfz2nn0 13539	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
5	4	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (¬ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ ¬ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
6		3ianor 1106	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) ↔ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (¬ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) ↔ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
8	2, 5, 7	3bitrd 305	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝐿 ∉ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
9		3orrot 1091	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) ↔ (¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0))
10		3orass 1089	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) ↔ (¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ (¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0)))
11		lencl 14458	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
12	11	pm2.24d 151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
13	12	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
14		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ0)
15		pfxnndmnd 14597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑊 ∈ V ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)
16	14, 15	nsyl5 159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)
17	16	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
18		notnotb 315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ ¬ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0)
19	11	nn0red 12464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
20		nn0re 12411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℝ)
21		ltnle 11213	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
22	19, 20, 21	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
23		pfxnd 14612	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)
24	23	3expia 1121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) < 𝐿 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
25	22, 24	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
26	25	expcom 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)))
27	26	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)))
28	18, 27	sylbir 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)))
29	28	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
30	17, 29	jaoi3 1060	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
31	30	orcoms 872	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
32	13, 31	jaoi 857	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ (¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
33	10, 32	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ ((¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊) ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
34	9, 33	sylbi 217	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
35	34	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((¬ 𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
36	8, 35	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝐿 ∉ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅))
37	36	imp 406	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∉ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3029  Vcvv 3438  ∅c0 4286   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028   < clt 11168   ≤ cle 11169  ℕ₀cn0 12402  ...cfz 13428  ♯chash 14255  Word cword 14438   prefix cpfx 14595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-hash 14256  df-word 14439  df-substr 14566  df-pfx 14596

This theorem is referenced by: (None)