Theorem primefld0cl 20887

Description: The prime field contains the zero element of the division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
primefld0cl.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
primefld0cl	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 0 ∈ ∩ (SubDRing‘𝑅))

Proof of Theorem primefld0cl

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issdrg 20869	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑠) ∈ DivRing))
2	1	simp2bi 1162	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅))
3		subrgsubg 20662	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝑅))
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝑅))
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝑅)))
6	5	ssrdv 3949	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅))
7		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	7	sdrgid 20873	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑅) ∈ (SubDRing‘𝑅))
9	8	ne0d 4301	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ≠ ∅)
10		subgint 19217	. . 3 ⊢ (((SubDRing‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅) ∧ (SubDRing‘𝑅) ≠ ∅) → ∩ (SubDRing‘𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑅))
11	6, 9, 10	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∩ (SubDRing‘𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑅))
12		primefld0cl.1	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	12	subg0cl 19200	. 2 ⊢ (∩ (SubDRing‘𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑅) → 0 ∈ ∩ (SubDRing‘𝑅))
14	11, 13	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 0 ∈ ∩ (SubDRing‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  ∩ cint 4914  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269   ↾_s cress 17290  0_gc0g 17492  SubGrpcsubg 19186  SubRingcsubrg 20654  DivRingcdr 20813  SubDRingcsdrg 20867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-subg 19189  df-mgp 20217  df-ur 20264  df-ring 20317  df-subrg 20655  df-drng 20815  df-sdrg 20868

This theorem is referenced by: (None)