Theorem primefld0cl 19705

Description: The prime field contains the neutral element of the division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
primefld0cl.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
primefld0cl	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 0 ∈ ∩ (SubDRing‘𝑅))

Proof of Theorem primefld0cl

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issdrg 19694	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑠) ∈ DivRing))
2	1	simp2bi 1147	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅))
3		subrgsubg 19661	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝑅))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝑅))
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝑅)))
6	5	ssrdv 3884	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅))
7		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	7	sdrgid 19695	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Base‘𝑅) ∈ (SubDRing‘𝑅))
9	8	ne0d 4225	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ≠ ∅)
10		subgint 18422	. . 3 ⊢ (((SubDRing‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅) ∧ (SubDRing‘𝑅) ≠ ∅) → ∩ (SubDRing‘𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑅))
11	6, 9, 10	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ∩ (SubDRing‘𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑅))
12		primefld0cl.1	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	12	subg0cl 18406	. 2 ⊢ (∩ (SubDRing‘𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑅) → 0 ∈ ∩ (SubDRing‘𝑅))
14	11, 13	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 0 ∈ ∩ (SubDRing‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2934   ⊆ wss 3844  ∅c0 4212  ∩ cint 4837  ‘cfv 6340  (class class class)co 7171  Basecbs 16587   ↾_s cress 16588  0_gc0g 16817  SubGrpcsubg 18392  DivRingcdr 19622  SubRingcsubrg 19651  SubDRingcsdrg 19692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-om 7601  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-er 8321  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-nn 11718  df-2 11780  df-ndx 16590  df-slot 16591  df-base 16593  df-sets 16594  df-ress 16595  df-plusg 16682  df-0g 16819  df-mgm 17969  df-sgrp 18018  df-mnd 18029  df-grp 18223  df-minusg 18224  df-subg 18395  df-mgp 19360  df-ur 19372  df-ring 19419  df-drng 19624  df-subrg 19653  df-sdrg 19693

This theorem is referenced by: (None)