Theorem 0prjspn 43868

Description: A zero-dimensional projective space has only 1 point. (Contributed by SN, 9-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
0prjspn.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...0))
0prjspn.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})

Assertion

Ref	Expression
0prjspn	⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (0 ℙrojn 𝐾) = {𝐵})

Proof of Theorem 0prjspn

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑙 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}
2		0prjspn.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...0))
3		0prjspn.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		0nn0 12651	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 0 ∈ ℕ0)
8		id 23	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ DivRing)
9	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8	prjspnval2 43850	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (0 ℙrojn 𝐾) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}))
10		ovex 7479	. . . . . . . 8 ⊢ (0...0) ∈ V
11	2	frlmsca 22092	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...0) ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
12	10, 11	mpan2 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
13	12	fveq2d 6915	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
14	13	rexeqdv 3324	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ↔ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)))
15	14	anbi2d 642	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))))
16	15	opabbidv 5175	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))})
17	16	qseq2d 8812	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}))
18	2	frlmlvec 22100	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...0) ∈ V) → 𝑊 ∈ LVec)
19	10, 18	mpan2 704	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝑊 ∈ LVec)
20	19	lveclmodd 21415	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝑊 ∈ LMod)
21	20	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ LMod)
22	16	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))})
23		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) = ((𝐾 unitVec (0...0))‘0)
24	1, 3, 5, 4, 2, 23	0prjspnrel 43867	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
25	22, 24	breqdi 5121	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
26	25	adantrr 730	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
27	16	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))})
28	1, 3, 5, 4, 2, 23	0prjspnrel 43867	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
29	27, 28	breqdi 5121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
30		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}
31		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
32		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
33	30, 3, 31, 5, 32	prjspersym 43839	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0)) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}𝑏)
34	19, 29, 33	syl2an2r 698	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}𝑏)
35	34	adantrl 729	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}𝑏)
36	30, 3, 31, 5, 32	prjspertr 43837	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∧ ((𝐾 unitVec (0...0))‘0){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}𝑏)) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}𝑏)
37	21, 26, 35, 36	syl12anc 850	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}𝑏)
38	30, 3, 31, 5, 32	prjsper 43840	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} Er 𝐵)
39	19, 38	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} Er 𝐵)
40	3, 2, 23	0prjspnlem 43866	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ 𝐵)
41	37, 39, 40	qsalrel 43496	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}) = {𝐵})
42	9, 17, 41	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (0 ℙrojn 𝐾) = {𝐵})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ∖ cdif 4048  {csn 4588   class class class wbr 5106  {copab 5171  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   Er wer 8745   / cqs 8747  0cc0 11230  ℕ₀cn0 12636  ...cfz 13669  Basecbs 17419  Scalarcsca 17463   ·_𝑠 cvsca 17464  0_gc0g 17642  DivRingcdr 21013  LModclmod 21168  LVecclvec 21410   freeLMod cfrlm 22085   unitVec cuvc 22121   ℙroj_n cprjspn 43846

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-tpos 8274  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-ec 8750  df-qs 8754  df-map 8880  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-sup 9464  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-fz 13670  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-hom 17484  df-cco 17485  df-0g 17644  df-prds 17650  df-pws 17652  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-subg 19365  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-oppr 20600  df-dvdsr 20620  df-unit 20621  df-invr 20651  df-nzr 20796  df-subrg 20855  df-drng 21015  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-lvec 21411  df-sra 21481  df-rgmod 21482  df-dsmm 22071  df-frlm 22086  df-uvc 22122  df-prjsp 43834  df-prjspn 43847

This theorem is used by: (None)