Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0prjspn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0prjspn 38788
 Description: A zero-dimensional projective space has only 1 point. (Contributed by Steven Nguyen, 9-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
0prjspn.w 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...0))
0prjspn.b 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})
Assertion
Ref Expression
0prjspn (𝐾 ∈ DivRing → (0ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾) = {𝐵})

Proof of Theorem 0prjspn
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑙 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 11766 . . 3 0 ∈ ℕ0
2 eqid 2797 . . . 4 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))}
3 0prjspn.w . . . 4 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...0))
4 0prjspn.b . . . 4 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})
5 eqid 2797 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 eqid 2797 . . . 4 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
72, 3, 4, 5, 6prjspnval2 38785 . . 3 ((0 ∈ ℕ0𝐾 ∈ DivRing) → (0ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))}))
81, 7mpan 686 . 2 (𝐾 ∈ DivRing → (0ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))}))
9 ovex 7055 . . . . . . . 8 (0...0) ∈ V
103frlmsca 20583 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...0) ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
119, 10mpan2 687 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ DivRing → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
1211fveq2d 6549 . . . . . 6 (𝐾 ∈ DivRing → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
1312rexeqdv 3378 . . . . 5 (𝐾 ∈ DivRing → (∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦) ↔ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦)))
1413anbi2d 628 . . . 4 (𝐾 ∈ DivRing → (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦)) ↔ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))))
1514opabbidv 5034 . . 3 (𝐾 ∈ DivRing → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))})
1615qseq2d 8203 . 2 (𝐾 ∈ DivRing → (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))}) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))}))
173frlmlvec 20591 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...0) ∈ V) → 𝑊 ∈ LVec)
189, 17mpan2 687 . . . . . 6 (𝐾 ∈ DivRing → 𝑊 ∈ LVec)
19 lveclmod 19572 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2018, 19syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ DivRing → 𝑊 ∈ LMod)
2120adantr 481 . . . 4 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑊 ∈ LMod)
2215adantr 481 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝐵) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))})
23 eqid 2797 . . . . . . 7 ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) = ((𝐾 unitVec (0...0))‘0)
242, 4, 6, 5, 3, 230prjspnrel 38787 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝐵) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
2522, 24breqdi 4983 . . . . 5 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝐵) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
2625adantrr 713 . . . 4 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
2715adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑏𝐵) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))})
282, 4, 6, 5, 3, 230prjspnrel 38787 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
2927, 28breqdi 4983 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
30 eqid 2797 . . . . . . 7 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))}
31 eqid 2797 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
32 eqid 2797 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3330, 4, 31, 6, 32prjspersym 38775 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0)) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))}𝑏)
3418, 29, 33syl2an2r 681 . . . . 5 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑏𝐵) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))}𝑏)
3534adantrl 712 . . . 4 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))}𝑏)
3630, 4, 31, 6, 32prjspertr 38773 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∧ ((𝐾 unitVec (0...0))‘0){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))}𝑏)) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))}𝑏)
3721, 26, 35, 36syl12anc 833 . . 3 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))}𝑏)
3830, 4, 31, 6, 32prjsper 38776 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))} Er 𝐵)
3918, 38syl 17 . . 3 (𝐾 ∈ DivRing → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))} Er 𝐵)
404, 3, 230prjspnlem 38786 . . 3 (𝐾 ∈ DivRing → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ 𝐵)
41 fvex 6558 . . . . . 6 (Base‘𝑊) ∈ V
4241difexi 5130 . . . . 5 ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)}) ∈ V
434, 42eqeltri 2881 . . . 4 𝐵 ∈ V
4443a1i 11 . . 3 (𝐾 ∈ DivRing → 𝐵 ∈ V)
4537, 39, 40, 44qsalrel 38676 . 2 (𝐾 ∈ DivRing → (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))}) = {𝐵})
468, 16, 453eqtrd 2837 1 (𝐾 ∈ DivRing → (0ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾) = {𝐵})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ∃wrex 3108  Vcvv 3440   ∖ cdif 3862  {csn 4478   class class class wbr 4968  {copab 5030  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023   Er wer 8143   / cqs 8145  0cc0 10390  ℕ0cn0 11751  ...cfz 12746  Basecbs 16316  Scalarcsca 16401   ·𝑠 cvsca 16402  0gc0g 16546  DivRingcdr 19196  LModclmod 19328  LVecclvec 19568   freeLMod cfrlm 20576   unitVec cuvc 20612  ℙ𝕣𝕠𝕛ncprjspn 38782 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-tpos 7750  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-ec 8148  df-qs 8152  df-map 8265  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-sup 8759  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-fz 12747  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-ip 16416  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-hom 16422  df-cco 16423  df-0g 16548  df-prds 16554  df-pws 16556  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-grp 17868  df-minusg 17869  df-sbg 17870  df-subg 18034  df-mgp 18934  df-ur 18946  df-ring 18993  df-oppr 19067  df-dvdsr 19085  df-unit 19086  df-invr 19116  df-drng 19198  df-subrg 19227  df-lmod 19330  df-lss 19398  df-lvec 19569  df-sra 19638  df-rgmod 19639  df-nzr 19724  df-dsmm 20562  df-frlm 20577  df-uvc 20613  df-prjsp 38770  df-prjspn 38783 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator