Theorem 0prjspn 40681

Description: A zero-dimensional projective space has only 1 point. (Contributed by Steven Nguyen, 9-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
0prjspn.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...0))
0prjspn.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})

Assertion

Ref	Expression
0prjspn	⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (0ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾) = {𝐵})

Proof of Theorem 0prjspn

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑙 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12328	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}
3		0prjspn.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...0))
4		0prjspn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	prjspnval2 40673	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ DivRing) → (0ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}))
8	1, 7	mpan 687	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (0ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}))
9		ovex 7350	. . . . . . . 8 ⊢ (0...0) ∈ V
10	3	frlmsca 21043	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...0) ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
11	9, 10	mpan2 688	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
12	11	fveq2d 6816	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
13	12	rexeqdv 3311	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ↔ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)))
14	13	anbi2d 629	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))))
15	14	opabbidv 5153	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))})
16	15	qseq2d 8605	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}))
17	3	frlmlvec 21051	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...0) ∈ V) → 𝑊 ∈ LVec)
18	9, 17	mpan2 688	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝑊 ∈ LVec)
19		lveclmod 20451	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝑊 ∈ LMod)
21	20	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ LMod)
22	15	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))})
23		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) = ((𝐾 unitVec (0...0))‘0)
24	2, 4, 6, 5, 3, 23	0prjspnrel 40680	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
25	22, 24	breqdi 5102	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
26	25	adantrr 714	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
27	15	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))})
28	2, 4, 6, 5, 3, 23	0prjspnrel 40680	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
29	27, 28	breqdi 5102	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
30		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}
31		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
32		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
33	30, 4, 31, 6, 32	prjspersym 40662	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0)) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}𝑏)
34	18, 29, 33	syl2an2r 682	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}𝑏)
35	34	adantrl 713	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}𝑏)
36	30, 4, 31, 6, 32	prjspertr 40660	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∧ ((𝐾 unitVec (0...0))‘0){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}𝑏)) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}𝑏)
37	21, 26, 35, 36	syl12anc 834	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}𝑏)
38	30, 4, 31, 6, 32	prjsper 40663	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} Er 𝐵)
39	18, 38	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} Er 𝐵)
40	4, 3, 23	0prjspnlem 40676	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ 𝐵)
41	37, 39, 40	qsalrel 40434	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}) = {𝐵})
42	8, 16, 41	3eqtrd 2781	1 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (0ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾) = {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3071  Vcvv 3441   ∖ cdif 3894  {csn 4571   class class class wbr 5087  {copab 5149  ‘cfv 6466  (class class class)co 7317   Er wer 8545   / cqs 8547  0cc0 10951  ℕ₀cn0 12313  ...cfz 13319  Basecbs 16989  Scalarcsca 17042   ·_𝑠 cvsca 17043  0_gc0g 17227  DivRingcdr 20070  LModclmod 20206  LVecclvec 20447   freeLMod cfrlm 21036   unitVec cuvc 21072  ℙ𝕣𝕠𝕛_ncprjspn 40669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-of 7575  df-om 7760  df-1st 7878  df-2nd 7879  df-supp 8027  df-tpos 8091  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-1o 8346  df-er 8548  df-ec 8550  df-qs 8554  df-map 8667  df-ixp 8736  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-fin 8787  df-fsupp 9206  df-sup 9278  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-nn 12054  df-2 12116  df-3 12117  df-4 12118  df-5 12119  df-6 12120  df-7 12121  df-8 12122  df-9 12123  df-n0 12314  df-z 12400  df-dec 12518  df-uz 12663  df-fz 13320  df-struct 16925  df-sets 16942  df-slot 16960  df-ndx 16972  df-base 16990  df-ress 17019  df-plusg 17052  df-mulr 17053  df-sca 17055  df-vsca 17056  df-ip 17057  df-tset 17058  df-ple 17059  df-ds 17061  df-hom 17063  df-cco 17064  df-0g 17229  df-prds 17235  df-pws 17237  df-mgm 18403  df-sgrp 18452  df-mnd 18463  df-grp 18656  df-minusg 18657  df-sbg 18658  df-subg 18828  df-mgp 19796  df-ur 19813  df-ring 19860  df-oppr 19937  df-dvdsr 19958  df-unit 19959  df-invr 19989  df-drng 20072  df-subrg 20104  df-lmod 20208  df-lss 20277  df-lvec 20448  df-sra 20517  df-rgmod 20518  df-nzr 20612  df-dsmm 21022  df-frlm 21037  df-uvc 21073  df-prjsp 40657  df-prjspn 40670

This theorem is referenced by: (None)