Theorem 0prjspn 38788

Description: A zero-dimensional projective space has only 1 point. (Contributed by Steven Nguyen, 9-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
0prjspn.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...0))
0prjspn.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})

Assertion

Ref	Expression
0prjspn	⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (0ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾) = {𝐵})

Proof of Theorem 0prjspn

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑙 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 11766	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		eqid 2797	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}
3		0prjspn.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...0))
4		0prjspn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
5		eqid 2797	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		eqid 2797	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	prjspnval2 38785	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ DivRing) → (0ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}))
8	1, 7	mpan 686	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (0ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}))
9		ovex 7055	. . . . . . . 8 ⊢ (0...0) ∈ V
10	3	frlmsca 20583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...0) ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
11	9, 10	mpan2 687	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
12	11	fveq2d 6549	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
13	12	rexeqdv 3378	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ↔ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)))
14	13	anbi2d 628	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))))
15	14	opabbidv 5034	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))})
16	15	qseq2d 8203	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}))
17	3	frlmlvec 20591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...0) ∈ V) → 𝑊 ∈ LVec)
18	9, 17	mpan2 687	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝑊 ∈ LVec)
19		lveclmod 19572	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝑊 ∈ LMod)
21	20	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ LMod)
22	15	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))})
23		eqid 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) = ((𝐾 unitVec (0...0))‘0)
24	2, 4, 6, 5, 3, 23	0prjspnrel 38787	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
25	22, 24	breqdi 4983	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
26	25	adantrr 713	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
27	15	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))})
28	2, 4, 6, 5, 3, 23	0prjspnrel 38787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
29	27, 28	breqdi 4983	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
30		eqid 2797	. . . . . . 7 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}
31		eqid 2797	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
32		eqid 2797	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
33	30, 4, 31, 6, 32	prjspersym 38775	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0)) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}𝑏)
34	18, 29, 33	syl2an2r 681	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}𝑏)
35	34	adantrl 712	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}𝑏)
36	30, 4, 31, 6, 32	prjspertr 38773	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∧ ((𝐾 unitVec (0...0))‘0){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}𝑏)) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}𝑏)
37	21, 26, 35, 36	syl12anc 833	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}𝑏)
38	30, 4, 31, 6, 32	prjsper 38776	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} Er 𝐵)
39	18, 38	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} Er 𝐵)
40	4, 3, 23	0prjspnlem 38786	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ 𝐵)
41		fvex 6558	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) ∈ V
42	41	difexi 5130	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ∈ V
43	4, 42	eqeltri 2881	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
44	43	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝐵 ∈ V)
45	37, 39, 40, 44	qsalrel 38676	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}) = {𝐵})
46	8, 16, 45	3eqtrd 2837	1 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (0ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾) = {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ∃wrex 3108  Vcvv 3440   ∖ cdif 3862  {csn 4478   class class class wbr 4968  {copab 5030  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023   Er wer 8143   / cqs 8145  0cc0 10390  ℕ₀cn0 11751  ...cfz 12746  Basecbs 16316  Scalarcsca 16401   ·_𝑠 cvsca 16402  0_gc0g 16546  DivRingcdr 19196  LModclmod 19328  LVecclvec 19568   freeLMod cfrlm 20576   unitVec cuvc 20612  ℙ𝕣𝕠𝕛_ncprjspn 38782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-tpos 7750  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-ec 8148  df-qs 8152  df-map 8265  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-sup 8759  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-fz 12747  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-ip 16416  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-hom 16422  df-cco 16423  df-0g 16548  df-prds 16554  df-pws 16556  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-grp 17868  df-minusg 17869  df-sbg 17870  df-subg 18034  df-mgp 18934  df-ur 18946  df-ring 18993  df-oppr 19067  df-dvdsr 19085  df-unit 19086  df-invr 19116  df-drng 19198  df-subrg 19227  df-lmod 19330  df-lss 19398  df-lvec 19569  df-sra 19638  df-rgmod 19639  df-nzr 19724  df-dsmm 20562  df-frlm 20577  df-uvc 20613  df-prjsp 38770  df-prjspn 38783

This theorem is referenced by: (None)