Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0prjspn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0prjspn 39601
 Description: A zero-dimensional projective space has only 1 point. (Contributed by Steven Nguyen, 9-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
0prjspn.w 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...0))
0prjspn.b 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})
Assertion
Ref Expression
0prjspn (𝐾 ∈ DivRing → (0ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾) = {𝐵})

Proof of Theorem 0prjspn
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑙 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 11904 . . 3 0 ∈ ℕ0
2 eqid 2801 . . . 4 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))}
3 0prjspn.w . . . 4 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...0))
4 0prjspn.b . . . 4 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})
5 eqid 2801 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 eqid 2801 . . . 4 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
72, 3, 4, 5, 6prjspnval2 39598 . . 3 ((0 ∈ ℕ0𝐾 ∈ DivRing) → (0ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))}))
81, 7mpan 689 . 2 (𝐾 ∈ DivRing → (0ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))}))
9 ovex 7172 . . . . . . . 8 (0...0) ∈ V
103frlmsca 20445 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...0) ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
119, 10mpan2 690 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ DivRing → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
1211fveq2d 6653 . . . . . 6 (𝐾 ∈ DivRing → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
1312rexeqdv 3368 . . . . 5 (𝐾 ∈ DivRing → (∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦) ↔ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦)))
1413anbi2d 631 . . . 4 (𝐾 ∈ DivRing → (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦)) ↔ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))))
1514opabbidv 5099 . . 3 (𝐾 ∈ DivRing → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))})
1615qseq2d 8333 . 2 (𝐾 ∈ DivRing → (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))}) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))}))
173frlmlvec 20453 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...0) ∈ V) → 𝑊 ∈ LVec)
189, 17mpan2 690 . . . . . 6 (𝐾 ∈ DivRing → 𝑊 ∈ LVec)
19 lveclmod 19874 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2018, 19syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ DivRing → 𝑊 ∈ LMod)
2120adantr 484 . . . 4 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑊 ∈ LMod)
2215adantr 484 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝐵) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))})
23 eqid 2801 . . . . . . 7 ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) = ((𝐾 unitVec (0...0))‘0)
242, 4, 6, 5, 3, 230prjspnrel 39600 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝐵) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
2522, 24breqdi 5048 . . . . 5 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑎𝐵) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
2625adantrr 716 . . . 4 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
2715adantr 484 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑏𝐵) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))})
282, 4, 6, 5, 3, 230prjspnrel 39600 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
2927, 28breqdi 5048 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
30 eqid 2801 . . . . . . 7 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))}
31 eqid 2801 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
32 eqid 2801 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3330, 4, 31, 6, 32prjspersym 39588 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0)) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))}𝑏)
3418, 29, 33syl2an2r 684 . . . . 5 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑏𝐵) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))}𝑏)
3534adantrl 715 . . . 4 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))}𝑏)
3630, 4, 31, 6, 32prjspertr 39586 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∧ ((𝐾 unitVec (0...0))‘0){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))}𝑏)) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))}𝑏)
3721, 26, 35, 36syl12anc 835 . . 3 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))}𝑏)
3830, 4, 31, 6, 32prjsper 39589 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))} Er 𝐵)
3918, 38syl 17 . . 3 (𝐾 ∈ DivRing → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))} Er 𝐵)
404, 3, 230prjspnlem 39599 . . 3 (𝐾 ∈ DivRing → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ 𝐵)
4137, 39, 40qsalrel 39407 . 2 (𝐾 ∈ DivRing → (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠𝑊)𝑦))}) = {𝐵})
428, 16, 413eqtrd 2840 1 (𝐾 ∈ DivRing → (0ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾) = {𝐵})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3110  Vcvv 3444   ∖ cdif 3881  {csn 4528   class class class wbr 5033  {copab 5095  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   Er wer 8273   / cqs 8275  0cc0 10530  ℕ0cn0 11889  ...cfz 12889  Basecbs 16478  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  0gc0g 16708  DivRingcdr 19498  LModclmod 19630  LVecclvec 19870   freeLMod cfrlm 20438   unitVec cuvc 20474  ℙ𝕣𝕠𝕛ncprjspn 39595 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-ec 8278  df-qs 8282  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18271  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-drng 19500  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lvec 19871  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-nzr 20027  df-dsmm 20424  df-frlm 20439  df-uvc 20475  df-prjsp 39583  df-prjspn 39596 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator