Theorem 0prjspn 42046

Description: A zero-dimensional projective space has only 1 point. (Contributed by Steven Nguyen, 9-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
0prjspn.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...0))
0prjspn.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})

Assertion

Ref	Expression
0prjspn	⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (0ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾) = {𝐵})

Proof of Theorem 0prjspn

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑙 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12511	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		eqid 2728	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}
3		0prjspn.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...0))
4		0prjspn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
5		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	prjspnval2 42036	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ DivRing) → (0ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}))
8	1, 7	mpan 689	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (0ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}))
9		ovex 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (0...0) ∈ V
10	3	frlmsca 21680	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...0) ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
11	9, 10	mpan2 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
12	11	fveq2d 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
13	12	rexeqdv 3322	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ↔ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)))
14	13	anbi2d 629	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))))
15	14	opabbidv 5208	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))})
16	15	qseq2d 8777	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}) = (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}))
17	3	frlmlvec 21688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...0) ∈ V) → 𝑊 ∈ LVec)
18	9, 17	mpan2 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝑊 ∈ LVec)
19		lveclmod 20984	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝑊 ∈ LMod)
21	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ LMod)
22	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))})
23		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) = ((𝐾 unitVec (0...0))‘0)
24	2, 4, 6, 5, 3, 23	0prjspnrel 42045	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
25	22, 24	breqdi 5157	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
26	25	adantrr 716	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
27	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))})
28	2, 4, 6, 5, 3, 23	0prjspnrel 42045	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘𝐾)𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
29	27, 28	breqdi 5157	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
30		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}
31		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
32		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
33	30, 4, 31, 6, 32	prjspersym 42025	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑏{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0)) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}𝑏)
34	18, 29, 33	syl2an2r 684	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}𝑏)
35	34	adantrl 715	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}𝑏)
36	30, 4, 31, 6, 32	prjspertr 42023	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∧ ((𝐾 unitVec (0...0))‘0){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}𝑏)) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}𝑏)
37	21, 26, 35, 36	syl12anc 836	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}𝑏)
38	30, 4, 31, 6, 32	prjsper 42026	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} Er 𝐵)
39	18, 38	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))} Er 𝐵)
40	4, 3, 23	0prjspnlem 42041	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → ((𝐾 unitVec (0...0))‘0) ∈ 𝐵)
41	37, 39, 40	qsalrel 41725	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (𝐵 / {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦))}) = {𝐵})
42	8, 16, 41	3eqtrd 2772	1 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (0ℙ𝕣𝕠𝕛n𝐾) = {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3066  Vcvv 3470   ∖ cdif 3942  {csn 4624   class class class wbr 5142  {copab 5204  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   Er wer 8715   / cqs 8717  0cc0 11132  ℕ₀cn0 12496  ...cfz 13510  Basecbs 17173  Scalarcsca 17229   ·_𝑠 cvsca 17230  0_gc0g 17414  DivRingcdr 20617  LModclmod 20736  LVecclvec 20980   freeLMod cfrlm 21673   unitVec cuvc 21709  ℙ𝕣𝕠𝕛_ncprjspn 42032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-sup 9459  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-hom 17250  df-cco 17251  df-0g 17416  df-prds 17422  df-pws 17424  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-subg 19071  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20266  df-dvdsr 20289  df-unit 20290  df-invr 20320  df-nzr 20445  df-subrg 20501  df-drng 20619  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-lvec 20981  df-sra 21051  df-rgmod 21052  df-dsmm 21659  df-frlm 21674  df-uvc 21710  df-prjsp 42020  df-prjspn 42033

This theorem is referenced by: (None)