Theorem fprodcl2lem 15871

Description: Finite product closure lemma. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcllem.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
fprodcllem.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
fprodcllem.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodcllem.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
fprodcl2lem.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
fprodcl2lem	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodcl2lem

Dummy variables 𝑓 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodcl2lem.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
2	1	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆 → 𝐴 ≠ ∅))
3	2	necon4bd 2950	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆))
4		prodfc 15866	. . . . . . 7 ⊢ ∏𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
5		fveq2 6832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑓‘𝑥) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑥)))
6		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
7		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
8		fprodcllem.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑆 ⊆ ℂ)
10		fprodcllem.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
11	9, 10	sseldd 3932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
12	11	fmpttd 7058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
13	12	ffvelcdmda 7027	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) ∈ ℂ)
14	13	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) ∈ ℂ)
15		f1of 6772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
16	15	ad2antll 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
17		fvco3 6931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑥) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑥)))
18	16, 17	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑥) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑥)))
19	5, 6, 7, 14, 18	fprod 15862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∏𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = (seq1( · , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
20	4, 19	eqtr3id 2783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (seq1( · , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
21		nnuz 12788	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
22	6, 21	eleqtrdi 2844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘1))
23	10	fmpttd 7058	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑆)
24		fco 6684	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑆 ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐴))⟶𝑆)
25	23, 16, 24	syl2an2r 685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐴))⟶𝑆)
26	25	ffvelcdmda 7027	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑥) ∈ 𝑆)
27		fprodcllem.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
28	27	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
29	22, 26, 28	seqcl 13943	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (seq1( · , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)) ∈ 𝑆)
30	20, 29	eqeltrd 2834	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
31	30	expr 456	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆))
32	31	exlimdv 1934	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆))
33	32	expimpd 453	. 2 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆))
34		fprodcllem.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
35		fz1f1o 15631	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
36	34, 35	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
37	3, 33, 36	mpjaod 860	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283   ↦ cmpt 5177   ∘ ccom 5626  ⟶wf 6486  –1-1-onto→wf1o 6489  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Fincfn 8881  ℂcc 11022  1c1 11025   · cmul 11029  ℕcn 12143  ℤ_≥cuz 12749  ...cfz 13421  seqcseq 13922  ♯chash 14251  ∏cprod 15824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-prod 15825

This theorem is referenced by:  fprodcllem  15872