Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reuprpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reuprpr 47448
Description: There is a unique proper unordered pair fulfilling a wff iff there are uniquely two different sets fulfilling a corresponding wff. (Contributed by AV, 30-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
reupr.a (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (𝜓𝜒))
reupr.x (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → (𝜓𝜃))
Assertion
Ref Expression
reuprpr (𝑋𝑉 → (∃!𝑝 ∈ (Pairsproper𝑋)𝜓 ↔ ∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑎𝑏𝜒 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))
Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑏,𝑝,𝑥,𝑦   𝜓,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦   𝜃,𝑝   𝜒,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑝)   𝜒(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem reuprpr
StepHypRef Expression
1 prprsprreu 47444 . 2 (𝑋𝑉 → (∃!𝑝 ∈ (Pairsproper𝑋)𝜓 ↔ ∃!𝑝 ∈ (Pairs‘𝑋)((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜓)))
2 fveqeq2 6916 . . . . 5 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
3 hashprg 14431 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (𝑎𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
43el2v 3485 . . . . 5 (𝑎𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
52, 4bitr4di 289 . . . 4 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ 𝑎𝑏))
6 reupr.a . . . 4 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (𝜓𝜒))
75, 6anbi12d 632 . . 3 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜓) ↔ (𝑎𝑏𝜒)))
8 fveqeq2 6916 . . . . 5 (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
9 hashprg 14431 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑥𝑦 ↔ (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
109el2v 3485 . . . . 5 (𝑥𝑦 ↔ (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2)
118, 10bitr4di 289 . . . 4 (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ 𝑥𝑦))
12 reupr.x . . . 4 (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → (𝜓𝜃))
1311, 12anbi12d 632 . . 3 (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → (((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜓) ↔ (𝑥𝑦𝜃)))
147, 13reupr 47447 . 2 (𝑋𝑉 → (∃!𝑝 ∈ (Pairs‘𝑋)((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑎𝑋𝑏𝑋 ((𝑎𝑏𝜒) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))
15 df-3an 1088 . . . . 5 ((𝑎𝑏𝜒 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})) ↔ ((𝑎𝑏𝜒) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})))
1615bicomi 224 . . . 4 (((𝑎𝑏𝜒) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})) ↔ (𝑎𝑏𝜒 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})))
1716a1i 11 . . 3 (𝑋𝑉 → (((𝑎𝑏𝜒) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})) ↔ (𝑎𝑏𝜒 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))
18172rexbidv 3220 . 2 (𝑋𝑉 → (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 ((𝑎𝑏𝜒) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})) ↔ ∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑎𝑏𝜒 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))
191, 14, 183bitrd 305 1 (𝑋𝑉 → (∃!𝑝 ∈ (Pairsproper𝑋)𝜓 ↔ ∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑎𝑏𝜒 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  ∃!wreu 3376  Vcvv 3478  {cpr 4633  cfv 6563  2c2 12319  chash 14366  Pairscspr 47402  Pairspropercprpr 47437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-spr 47403  df-prpr 47438
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator