Theorem reuprpr 47711

Description: There is a unique proper unordered pair fulfilling a wff iff there are uniquely two different sets fulfilling a corresponding wff. (Contributed by AV, 30-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
reupr.a	⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (𝜓 ↔ 𝜒))
reupr.x	⊢ (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → (𝜓 ↔ 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
reuprpr	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∃!𝑝 ∈ (Pairsproper‘𝑋)𝜓 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))

Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑏,𝑝,𝑥,𝑦   𝜓,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦   𝜃,𝑝   𝜒,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑝)   𝜒(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem reuprpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prprsprreu 47707	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∃!𝑝 ∈ (Pairsproper‘𝑋)𝜓 ↔ ∃!𝑝 ∈ (Pairs‘𝑋)((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜓)))
2		fveqeq2 6841	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
3		hashprg 14316	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
4	3	el2v 3445	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
5	2, 4	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ 𝑎 ≠ 𝑏))
6		reupr.a	. . . 4 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (𝜓 ↔ 𝜒))
7	5, 6	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜓) ↔ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒)))
8		fveqeq2 6841	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
9		hashprg 14316	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
10	9	el2v 3445	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2)
11	8, 10	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ 𝑥 ≠ 𝑦))
12		reupr.x	. . . 4 ⊢ (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → (𝜓 ↔ 𝜃))
13	11, 12	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → (((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜓) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃)))
14	7, 13	reupr 47710	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∃!𝑝 ∈ (Pairs‘𝑋)((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))
15		df-3an 1088	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})) ↔ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})))
16	15	bicomi 224	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})) ↔ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})))
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})) ↔ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))
18	17	2rexbidv 3199	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))
19	1, 14, 18	3bitrd 305	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∃!𝑝 ∈ (Pairsproper‘𝑋)𝜓 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  ∃!wreu 3346  Vcvv 3438  {cpr 4580  ‘cfv 6490  2c2 12198  ♯chash 14251  Pairscspr 47665  Pairs_propercprpr 47700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-hash 14252  df-spr 47666  df-prpr 47701

This theorem is referenced by: (None)