Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reuprpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reuprpr 46892
Description: There is a unique proper unordered pair fulfilling a wff iff there are uniquely two different sets fulfilling a corresponding wff. (Contributed by AV, 30-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
reupr.a (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (𝜓𝜒))
reupr.x (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → (𝜓𝜃))
Assertion
Ref Expression
reuprpr (𝑋𝑉 → (∃!𝑝 ∈ (Pairsproper𝑋)𝜓 ↔ ∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑎𝑏𝜒 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))
Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑏,𝑝,𝑥,𝑦   𝜓,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦   𝜃,𝑝   𝜒,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑝)   𝜒(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem reuprpr
StepHypRef Expression
1 prprsprreu 46888 . 2 (𝑋𝑉 → (∃!𝑝 ∈ (Pairsproper𝑋)𝜓 ↔ ∃!𝑝 ∈ (Pairs‘𝑋)((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜓)))
2 fveqeq2 6911 . . . . 5 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
3 hashprg 14394 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (𝑎𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
43el2v 3481 . . . . 5 (𝑎𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
52, 4bitr4di 288 . . . 4 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ 𝑎𝑏))
6 reupr.a . . . 4 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (𝜓𝜒))
75, 6anbi12d 630 . . 3 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜓) ↔ (𝑎𝑏𝜒)))
8 fveqeq2 6911 . . . . 5 (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
9 hashprg 14394 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑥𝑦 ↔ (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
109el2v 3481 . . . . 5 (𝑥𝑦 ↔ (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2)
118, 10bitr4di 288 . . . 4 (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ 𝑥𝑦))
12 reupr.x . . . 4 (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → (𝜓𝜃))
1311, 12anbi12d 630 . . 3 (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → (((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜓) ↔ (𝑥𝑦𝜃)))
147, 13reupr 46891 . 2 (𝑋𝑉 → (∃!𝑝 ∈ (Pairs‘𝑋)((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑎𝑋𝑏𝑋 ((𝑎𝑏𝜒) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))
15 df-3an 1086 . . . . 5 ((𝑎𝑏𝜒 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})) ↔ ((𝑎𝑏𝜒) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})))
1615bicomi 223 . . . 4 (((𝑎𝑏𝜒) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})) ↔ (𝑎𝑏𝜒 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})))
1716a1i 11 . . 3 (𝑋𝑉 → (((𝑎𝑏𝜒) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})) ↔ (𝑎𝑏𝜒 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))
18172rexbidv 3217 . 2 (𝑋𝑉 → (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 ((𝑎𝑏𝜒) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})) ↔ ∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑎𝑏𝜒 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))
191, 14, 183bitrd 304 1 (𝑋𝑉 → (∃!𝑝 ∈ (Pairsproper𝑋)𝜓 ↔ ∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑎𝑏𝜒 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  ∃!wreu 3372  Vcvv 3473  {cpr 4634  cfv 6553  2c2 12305  chash 14329  Pairscspr 46846  Pairspropercprpr 46881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-oadd 8497  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-hash 14330  df-spr 46847  df-prpr 46882
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator