Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reuprpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reuprpr 46745
Description: There is a unique proper unordered pair fulfilling a wff iff there are uniquely two different sets fulfilling a corresponding wff. (Contributed by AV, 30-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
reupr.a (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (𝜓𝜒))
reupr.x (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → (𝜓𝜃))
Assertion
Ref Expression
reuprpr (𝑋𝑉 → (∃!𝑝 ∈ (Pairsproper𝑋)𝜓 ↔ ∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑎𝑏𝜒 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))
Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑏,𝑝,𝑥,𝑦   𝜓,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦   𝜃,𝑝   𝜒,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑝)   𝜒(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem reuprpr
StepHypRef Expression
1 prprsprreu 46741 . 2 (𝑋𝑉 → (∃!𝑝 ∈ (Pairsproper𝑋)𝜓 ↔ ∃!𝑝 ∈ (Pairs‘𝑋)((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜓)))
2 fveqeq2 6893 . . . . 5 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
3 hashprg 14357 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (𝑎𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
43el2v 3476 . . . . 5 (𝑎𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
52, 4bitr4di 289 . . . 4 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ 𝑎𝑏))
6 reupr.a . . . 4 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (𝜓𝜒))
75, 6anbi12d 630 . . 3 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜓) ↔ (𝑎𝑏𝜒)))
8 fveqeq2 6893 . . . . 5 (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
9 hashprg 14357 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑥𝑦 ↔ (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
109el2v 3476 . . . . 5 (𝑥𝑦 ↔ (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2)
118, 10bitr4di 289 . . . 4 (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ 𝑥𝑦))
12 reupr.x . . . 4 (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → (𝜓𝜃))
1311, 12anbi12d 630 . . 3 (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → (((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜓) ↔ (𝑥𝑦𝜃)))
147, 13reupr 46744 . 2 (𝑋𝑉 → (∃!𝑝 ∈ (Pairs‘𝑋)((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑎𝑋𝑏𝑋 ((𝑎𝑏𝜒) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))
15 df-3an 1086 . . . . 5 ((𝑎𝑏𝜒 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})) ↔ ((𝑎𝑏𝜒) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})))
1615bicomi 223 . . . 4 (((𝑎𝑏𝜒) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})) ↔ (𝑎𝑏𝜒 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})))
1716a1i 11 . . 3 (𝑋𝑉 → (((𝑎𝑏𝜒) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})) ↔ (𝑎𝑏𝜒 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))
18172rexbidv 3213 . 2 (𝑋𝑉 → (∃𝑎𝑋𝑏𝑋 ((𝑎𝑏𝜒) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})) ↔ ∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑎𝑏𝜒 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))
191, 14, 183bitrd 305 1 (𝑋𝑉 → (∃!𝑝 ∈ (Pairsproper𝑋)𝜓 ↔ ∃𝑎𝑋𝑏𝑋 (𝑎𝑏𝜒 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑥𝑦𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wral 3055  wrex 3064  ∃!wreu 3368  Vcvv 3468  {cpr 4625  cfv 6536  2c2 12268  chash 14292  Pairscspr 46699  Pairspropercprpr 46734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-hash 14293  df-spr 46700  df-prpr 46735
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator