Theorem reuprpr 47912

Description: There is a unique proper unordered pair fulfilling a wff iff there are uniquely two different sets fulfilling a corresponding wff. (Contributed by AV, 30-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
reupr.a	⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (𝜓 ↔ 𝜒))
reupr.x	⊢ (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → (𝜓 ↔ 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
reuprpr	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∃!𝑝 ∈ (Pairsproper‘𝑋)𝜓 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))

Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑏,𝑝,𝑥,𝑦   𝜓,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦   𝜃,𝑝   𝜒,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑝)   𝜒(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem reuprpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prprsprreu 47908	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∃!𝑝 ∈ (Pairsproper‘𝑋)𝜓 ↔ ∃!𝑝 ∈ (Pairs‘𝑋)((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜓)))
2		fveqeq2 6853	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
3		hashprg 14332	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
4	3	el2v 3449	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
5	2, 4	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ 𝑎 ≠ 𝑏))
6		reupr.a	. . . 4 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (𝜓 ↔ 𝜒))
7	5, 6	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜓) ↔ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒)))
8		fveqeq2 6853	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
9		hashprg 14332	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
10	9	el2v 3449	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2)
11	8, 10	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ 𝑥 ≠ 𝑦))
12		reupr.x	. . . 4 ⊢ (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → (𝜓 ↔ 𝜃))
13	11, 12	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → (((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜓) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃)))
14	7, 13	reupr 47911	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∃!𝑝 ∈ (Pairs‘𝑋)((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))
15		df-3an 1089	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})) ↔ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})))
16	15	bicomi 224	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})) ↔ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})))
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})) ↔ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))
18	17	2rexbidv 3203	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))
19	1, 14, 18	3bitrd 305	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∃!𝑝 ∈ (Pairsproper‘𝑋)𝜓 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ∃!wreu 3350  Vcvv 3442  {cpr 4584  ‘cfv 6502  2c2 12214  ♯chash 14267  Pairscspr 47866  Pairs_propercprpr 47901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-oadd 8413  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-dju 9827  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-hash 14268  df-spr 47867  df-prpr 47902

This theorem is referenced by: (None)