Theorem reuprpr 46191

Description: There is a unique proper unordered pair fulfilling a wff iff there are uniquely two different sets fulfilling a corresponding wff. (Contributed by AV, 30-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
reupr.a	⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (𝜓 ↔ 𝜒))
reupr.x	⊢ (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → (𝜓 ↔ 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
reuprpr	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∃!𝑝 ∈ (Pairsproper‘𝑋)𝜓 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))

Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑏,𝑝,𝑥,𝑦   𝜓,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦   𝜃,𝑝   𝜒,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑝)   𝜒(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem reuprpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prprsprreu 46187	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∃!𝑝 ∈ (Pairsproper‘𝑋)𝜓 ↔ ∃!𝑝 ∈ (Pairs‘𝑋)((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜓)))
2		fveqeq2 6901	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
3		hashprg 14355	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
4	3	el2v 3483	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
5	2, 4	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ 𝑎 ≠ 𝑏))
6		reupr.a	. . . 4 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (𝜓 ↔ 𝜒))
7	5, 6	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜓) ↔ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒)))
8		fveqeq2 6901	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
9		hashprg 14355	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
10	9	el2v 3483	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2)
11	8, 10	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ 𝑥 ≠ 𝑦))
12		reupr.x	. . . 4 ⊢ (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → (𝜓 ↔ 𝜃))
13	11, 12	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → (((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜓) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃)))
14	7, 13	reupr 46190	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∃!𝑝 ∈ (Pairs‘𝑋)((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))
15		df-3an 1090	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})) ↔ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})))
16	15	bicomi 223	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})) ↔ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})))
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})) ↔ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))
18	17	2rexbidv 3220	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))
19	1, 14, 18	3bitrd 305	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∃!𝑝 ∈ (Pairsproper‘𝑋)𝜓 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  ∃!wreu 3375  Vcvv 3475  {cpr 4631  ‘cfv 6544  2c2 12267  ♯chash 14290  Pairscspr 46145  Pairs_propercprpr 46180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-hash 14291  df-spr 46146  df-prpr 46181

This theorem is referenced by: (None)