Theorem prprspr2 43673

Description: The set of all proper unordered pairs over a given set 𝑉 is the set of all unordered pairs over that set of size two. (Contributed by AV, 29-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
prprspr2	⊢ (Pairsproper‘𝑉) = {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2}

Distinct variable group:   𝑉,𝑝

Proof of Theorem prprspr2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sprval 43634	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) = {𝑝 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
2	1	abeq2d 2947	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
3	2	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2)))
4		r19.41vv 3349	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2))
5		fveqeq2 6674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
6		hashprg 13750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
7	6	el2v 3502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
8	5, 7	syl6bbr 291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ 𝑎 ≠ 𝑏))
9	8	pm5.32i 577	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
10	9	biancomi 465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → ((𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
12	11	2rexbidva 3299	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ V → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
13	4, 12	syl5bbr 287	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
14	3, 13	bitrd 281	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
15	14	abbidv 2885	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V → {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (♯‘𝑝) = 2)} = {𝑝 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})})
16		df-rab 3147	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2} = {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (♯‘𝑝) = 2)}
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V → {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2} = {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (♯‘𝑝) = 2)})
18		prprval 43669	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V → (Pairsproper‘𝑉) = {𝑝 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})})
19	15, 17, 18	3eqtr4rd 2867	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ V → (Pairsproper‘𝑉) = {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
20		rab0 4337	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ ∅ ∣ (♯‘𝑝) = 2} = ∅
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (¬ 𝑉 ∈ V → {𝑝 ∈ ∅ ∣ (♯‘𝑝) = 2} = ∅)
22		fvprc 6658	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) = ∅)
23	22	rabeqdv 3485	. . 3 ⊢ (¬ 𝑉 ∈ V → {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2} = {𝑝 ∈ ∅ ∣ (♯‘𝑝) = 2})
24		fvprc 6658	. . 3 ⊢ (¬ 𝑉 ∈ V → (Pairsproper‘𝑉) = ∅)
25	21, 23, 24	3eqtr4rd 2867	. 2 ⊢ (¬ 𝑉 ∈ V → (Pairsproper‘𝑉) = {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
26	19, 25	pm2.61i 184	1 ⊢ (Pairsproper‘𝑉) = {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {cab 2799   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139  {crab 3142  Vcvv 3495  ∅c0 4291  {cpr 4563  ‘cfv 6350  2c2 11686  ♯chash 13684  Pairscspr 43632  Pairs_propercprpr 43667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-hash 13685  df-spr 43633  df-prpr 43668

This theorem is referenced by:  prprsprreu  43674