Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prprspr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prprspr2 45784
Description: The set of all proper unordered pairs over a given set 𝑉 is the set of all unordered pairs over that set of size two. (Contributed by AV, 29-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
prprspr2 (Pairsproper𝑉) = {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2}
Distinct variable group:   𝑉,𝑝

Proof of Theorem prprspr2
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sprval 45745 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) = {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
21eqabd 2881 . . . . . 6 (𝑉 ∈ V → (𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
32anbi1d 631 . . . . 5 (𝑉 ∈ V → ((𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2)))
4 r19.41vv 3218 . . . . . 6 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2))
5 fveqeq2 6856 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
6 hashprg 14302 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (𝑎𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
76el2v 3456 . . . . . . . . . . 11 (𝑎𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
85, 7bitr4di 289 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ 𝑎𝑏))
98pm5.32i 576 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
109biancomi 464 . . . . . . . 8 ((𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
1110a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ V ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
12112rexbidva 3212 . . . . . 6 (𝑉 ∈ V → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
134, 12bitr3id 285 . . . . 5 (𝑉 ∈ V → ((∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
143, 13bitrd 279 . . . 4 (𝑉 ∈ V → ((𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
1514abbidv 2806 . . 3 (𝑉 ∈ V → {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (♯‘𝑝) = 2)} = {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})})
16 df-rab 3411 . . . 4 {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2} = {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (♯‘𝑝) = 2)}
1716a1i 11 . . 3 (𝑉 ∈ V → {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2} = {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (♯‘𝑝) = 2)})
18 prprval 45780 . . 3 (𝑉 ∈ V → (Pairsproper𝑉) = {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})})
1915, 17, 183eqtr4rd 2788 . 2 (𝑉 ∈ V → (Pairsproper𝑉) = {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
20 rab0 4347 . . . 4 {𝑝 ∈ ∅ ∣ (♯‘𝑝) = 2} = ∅
2120a1i 11 . . 3 𝑉 ∈ V → {𝑝 ∈ ∅ ∣ (♯‘𝑝) = 2} = ∅)
22 fvprc 6839 . . . 4 𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) = ∅)
2322rabeqdv 3425 . . 3 𝑉 ∈ V → {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2} = {𝑝 ∈ ∅ ∣ (♯‘𝑝) = 2})
24 fvprc 6839 . . 3 𝑉 ∈ V → (Pairsproper𝑉) = ∅)
2521, 23, 243eqtr4rd 2788 . 2 𝑉 ∈ V → (Pairsproper𝑉) = {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
2619, 25pm2.61i 182 1 (Pairsproper𝑉) = {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {cab 2714  wne 2944  wrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448  c0 4287  {cpr 4593  cfv 6501  2c2 12215  chash 14237  Pairscspr 45743  Pairspropercprpr 45778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-hash 14238  df-spr 45744  df-prpr 45779
This theorem is referenced by:  prprsprreu  45785
  Copyright terms: Public domain W3C validator