Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prprspr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prprspr2 46905
Description: The set of all proper unordered pairs over a given set 𝑉 is the set of all unordered pairs over that set of size two. (Contributed by AV, 29-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
prprspr2 (Pairsproper𝑉) = {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2}
Distinct variable group:   𝑉,𝑝

Proof of Theorem prprspr2
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sprval 46866 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) = {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
21eqabrd 2872 . . . . . 6 (𝑉 ∈ V → (𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
32anbi1d 629 . . . . 5 (𝑉 ∈ V → ((𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2)))
4 r19.41vv 3222 . . . . . 6 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2))
5 fveqeq2 6911 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
6 hashprg 14396 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (𝑎𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
76el2v 3481 . . . . . . . . . . 11 (𝑎𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
85, 7bitr4di 288 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ 𝑎𝑏))
98pm5.32i 573 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
109biancomi 461 . . . . . . . 8 ((𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
1110a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ V ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
12112rexbidva 3215 . . . . . 6 (𝑉 ∈ V → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
134, 12bitr3id 284 . . . . 5 (𝑉 ∈ V → ((∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
143, 13bitrd 278 . . . 4 (𝑉 ∈ V → ((𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
1514abbidv 2797 . . 3 (𝑉 ∈ V → {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (♯‘𝑝) = 2)} = {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})})
16 df-rab 3431 . . . 4 {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2} = {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (♯‘𝑝) = 2)}
1716a1i 11 . . 3 (𝑉 ∈ V → {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2} = {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (♯‘𝑝) = 2)})
18 prprval 46901 . . 3 (𝑉 ∈ V → (Pairsproper𝑉) = {𝑝 ∣ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑎𝑏𝑝 = {𝑎, 𝑏})})
1915, 17, 183eqtr4rd 2779 . 2 (𝑉 ∈ V → (Pairsproper𝑉) = {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
20 rab0 4386 . . . 4 {𝑝 ∈ ∅ ∣ (♯‘𝑝) = 2} = ∅
2120a1i 11 . . 3 𝑉 ∈ V → {𝑝 ∈ ∅ ∣ (♯‘𝑝) = 2} = ∅)
22 fvprc 6894 . . . 4 𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) = ∅)
2322rabeqdv 3446 . . 3 𝑉 ∈ V → {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2} = {𝑝 ∈ ∅ ∣ (♯‘𝑝) = 2})
24 fvprc 6894 . . 3 𝑉 ∈ V → (Pairsproper𝑉) = ∅)
2521, 23, 243eqtr4rd 2779 . 2 𝑉 ∈ V → (Pairsproper𝑉) = {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
2619, 25pm2.61i 182 1 (Pairsproper𝑉) = {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2705  wne 2937  wrex 3067  {crab 3430  Vcvv 3473  c0 4326  {cpr 4634  cfv 6553  2c2 12307  chash 14331  Pairscspr 46864  Pairspropercprpr 46899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-oadd 8499  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-dju 9934  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-hash 14332  df-spr 46865  df-prpr 46900
This theorem is referenced by:  prprsprreu  46906
  Copyright terms: Public domain W3C validator