Theorem prprspr2 48121

Description: The set of all proper unordered pairs over a given set 𝑉 is the set of all unordered pairs over that set of size two. (Contributed by AV, 29-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
prprspr2	⊢ (Pairsproper‘𝑉) = {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2}

Distinct variable group:   𝑉,𝑝

Proof of Theorem prprspr2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sprval 48082	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) = {𝑝 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
2	1	eqabrd 2903	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
3	2	anbi1d 640	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2)))
4		r19.41vv 3232	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2))
5		fveqeq2 6876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
6		hashprg 14408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
7	6	el2v 3461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
8	5, 7	bitr4di 291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ 𝑎 ≠ 𝑏))
9	8	pm5.32i 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
10	9	biancomi 466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → ((𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
12	11	2rexbidva 3225	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ V → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
13	4, 12	bitr3id 287	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
14	3, 13	bitrd 281	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
15	14	abbidv 2828	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V → {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (♯‘𝑝) = 2)} = {𝑝 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})})
16		df-rab 3415	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2} = {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (♯‘𝑝) = 2)}
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V → {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2} = {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (♯‘𝑝) = 2)})
18		prprval 48117	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V → (Pairsproper‘𝑉) = {𝑝 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})})
19	15, 17, 18	3eqtr4rd 2808	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ V → (Pairsproper‘𝑉) = {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
20		rab0 4339	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ ∅ ∣ (♯‘𝑝) = 2} = ∅
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (¬ 𝑉 ∈ V → {𝑝 ∈ ∅ ∣ (♯‘𝑝) = 2} = ∅)
22		fvprc 6859	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) = ∅)
23	22	rabeqdv 3429	. . 3 ⊢ (¬ 𝑉 ∈ V → {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2} = {𝑝 ∈ ∅ ∣ (♯‘𝑝) = 2})
24		fvprc 6859	. . 3 ⊢ (¬ 𝑉 ∈ V → (Pairsproper‘𝑉) = ∅)
25	21, 23, 24	3eqtr4rd 2808	. 2 ⊢ (¬ 𝑉 ∈ V → (Pairsproper‘𝑉) = {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
26	19, 25	pm2.61i 183	1 ⊢ (Pairsproper‘𝑉) = {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  {cab 2740   ≠ wne 2957  ∃wrex 3086  {crab 3414  Vcvv 3454  ∅c0 4285  {cpr 4584  ‘cfv 6521  2c2 12272  ♯chash 14343  Pairscspr 48080  Pairs_propercprpr 48115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-hash 14344  df-spr 48081  df-prpr 48116

This theorem is referenced by:  prprsprreu  48122