Theorem prprspr2 48267

Description: The set of all proper unordered pairs over a given set 𝑉 is the set of all unordered pairs over that set of size two. (Contributed by AV, 29-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
prprspr2	⊢ (Pairsproper‘𝑉) = {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2}

Distinct variable group:   𝑉,𝑝

Proof of Theorem prprspr2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sprval 48228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) = {𝑝 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}})
2	1	eqabrd 2904	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
3	2	anbi1d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2)))
4		r19.41vv 3235	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2))
5		fveqeq2 6890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
6		hashprg 14427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
7	6	el2v 3462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
8	5, 7	bitr4di 292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ 𝑎 ≠ 𝑏))
9	8	pm5.32i 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
10	9	biancomi 467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏}))
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → ((𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
12	11	2rexbidva 3228	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ V → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
13	4, 12	bitr3id 288	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑝 = {𝑎, 𝑏} ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
14	3, 13	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (♯‘𝑝) = 2) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})))
15	14	abbidv 2829	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V → {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (♯‘𝑝) = 2)} = {𝑝 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})})
16		df-rab 3417	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2} = {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (♯‘𝑝) = 2)}
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V → {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2} = {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (♯‘𝑝) = 2)})
18		prprval 48263	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V → (Pairsproper‘𝑉) = {𝑝 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑝 = {𝑎, 𝑏})})
19	15, 17, 18	3eqtr4rd 2809	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ V → (Pairsproper‘𝑉) = {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
20		rab0 4342	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ ∅ ∣ (♯‘𝑝) = 2} = ∅
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (¬ 𝑉 ∈ V → {𝑝 ∈ ∅ ∣ (♯‘𝑝) = 2} = ∅)
22		fvprc 6873	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑉 ∈ V → (Pairs‘𝑉) = ∅)
23	22	rabeqdv 3431	. . 3 ⊢ (¬ 𝑉 ∈ V → {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2} = {𝑝 ∈ ∅ ∣ (♯‘𝑝) = 2})
24		fvprc 6873	. . 3 ⊢ (¬ 𝑉 ∈ V → (Pairsproper‘𝑉) = ∅)
25	21, 23, 24	3eqtr4rd 2809	. 2 ⊢ (¬ 𝑉 ∈ V → (Pairsproper‘𝑉) = {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
26	19, 25	pm2.61i 184	1 ⊢ (Pairsproper‘𝑉) = {𝑝 ∈ (Pairs‘𝑉) ∣ (♯‘𝑝) = 2}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {cab 2741   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089  {crab 3416  Vcvv 3455  ∅c0 4286  {cpr 4591  ‘cfv 6536  2c2 12290  ♯chash 14362  Pairscspr 48226  Pairs_propercprpr 48261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-hash 14363  df-spr 48227  df-prpr 48262

This theorem is referenced by:  prprsprreu  48268