Theorem ressprs 33407

Description: The restriction of a proset is a proset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressprs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ressprs	⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ Proset )

Proof of Theorem ressprs

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 7449	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ V)
2		simp-4l 795	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Proset )
3		simp-4r 796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5	3, 4	sseldd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
6	2, 5	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
7		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
8	3, 7	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵)
9		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
10	3, 9	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐵)
11		ressprs.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
12		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13	11, 12	isprs 18385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ Proset ↔ (𝐾 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
14	13	simprbi 503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ Proset → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
15	14	r19.21bi 3254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
16	15	r19.21bi 3254	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
17	16	r19.21bi 3254	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
18	6, 8, 10, 17	syl21anc 851	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
19	18	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
20	19	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
21	20	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
22		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ↾s 𝐴) = (𝐾 ↾s 𝐴)
23	22, 11	ressbas2 17331	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
24	23	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
25	11	fvexi 6893	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ V
26	25	ssex 5285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
27	22, 12	ressle 17466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
29	28	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
30	29	breqd 5114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ↔ 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥))
31	29	breqd 5114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦))
32	29	breqd 5114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑦(le‘𝐾)𝑧 ↔ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧))
33	31, 32	anbi12d 644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) ↔ (𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧)))
34	29	breqd 5114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑧 ↔ 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧))
35	33, 34	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧) ↔ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧)))
36	30, 35	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ (𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧))))
37	24, 36	raleqbidv 3334	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧))))
38	24, 37	raleqbidv 3334	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧))))
39	24, 38	raleqbidv 3334	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧))))
40	39	anbi2d 642	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) ↔ ((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧)))))
41	1, 21, 40	mpbi2and 725	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧))))
42		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))
43		eqid 2760	. . 3 ⊢ (le‘(𝐾 ↾s 𝐴)) = (le‘(𝐾 ↾s 𝐴))
44	42, 43	isprs 18385	. 2 ⊢ ((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ Proset ↔ ((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧))))
45	41, 44	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ Proset )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302   ↾_s cress 17323  lecple 17350   Proset cproset 18381

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-ple 17363  df-proset 18383

This theorem is used by:  prsssdm  34428  ordtrestNEW  34432  ordtrest2NEW  34434