| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | ovexd 7466 |
. . 3
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ V) |
| 2 | | simp-4l 783 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝐾 ∈ Proset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Proset ) |
| 3 | | simp-4r 784 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝐾 ∈ Proset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝐵) |
| 4 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝐾 ∈ Proset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴) |
| 5 | 3, 4 | sseldd 3984 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝐾 ∈ Proset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵) |
| 6 | 2, 5 | jca 511 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝐾 ∈ Proset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) |
| 7 | | simplr 769 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝐾 ∈ Proset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴) |
| 8 | 3, 7 | sseldd 3984 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝐾 ∈ Proset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵) |
| 9 | | simpr 484 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝐾 ∈ Proset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴) |
| 10 | 3, 9 | sseldd 3984 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝐾 ∈ Proset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐵) |
| 11 | | ressprs.b |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾) |
| 12 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(le‘𝐾) =
(le‘𝐾) |
| 13 | 11, 12 | isprs 18342 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ Proset ↔ (𝐾 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))) |
| 14 | 13 | simprbi 496 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ Proset →
∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) |
| 15 | 14 | r19.21bi 3251 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) |
| 16 | 15 | r19.21bi 3251 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) |
| 17 | 16 | r19.21bi 3251 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) |
| 18 | 6, 8, 10, 17 | syl21anc 838 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝐾 ∈ Proset
∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) |
| 19 | 18 | ralrimiva 3146 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) |
| 20 | 19 | ralrimiva 3146 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) |
| 21 | 20 | ralrimiva 3146 |
. . 3
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) |
| 22 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ↾s 𝐴) = (𝐾 ↾s 𝐴) |
| 23 | 22, 11 | ressbas2 17283 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))) |
| 24 | 23 | adantl 481 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))) |
| 25 | 11 | fvexi 6920 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝐵 ∈ V |
| 26 | 25 | ssex 5321 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V) |
| 27 | 22, 12 | ressle 17424 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾 ↾s 𝐴))) |
| 28 | 26, 27 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾 ↾s 𝐴))) |
| 29 | 28 | adantl 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾 ↾s 𝐴))) |
| 30 | 29 | breqd 5154 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ↔ 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥)) |
| 31 | 29 | breqd 5154 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦)) |
| 32 | 29 | breqd 5154 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑦(le‘𝐾)𝑧 ↔ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧)) |
| 33 | 31, 32 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) ↔ (𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧))) |
| 34 | 29 | breqd 5154 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑧 ↔ 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧)) |
| 35 | 33, 34 | imbi12d 344 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧) ↔ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧))) |
| 36 | 30, 35 | anbi12d 632 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ (𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧)))) |
| 37 | 24, 36 | raleqbidv 3346 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧)))) |
| 38 | 24, 37 | raleqbidv 3346 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧)))) |
| 39 | 24, 38 | raleqbidv 3346 |
. . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧)))) |
| 40 | 39 | anbi2d 630 |
. . 3
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) ↔ ((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧))))) |
| 41 | 1, 21, 40 | mpbi2and 712 |
. 2
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧)))) |
| 42 | | eqid 2737 |
. . 3
⊢
(Base‘(𝐾
↾s 𝐴)) =
(Base‘(𝐾
↾s 𝐴)) |
| 43 | | eqid 2737 |
. . 3
⊢
(le‘(𝐾
↾s 𝐴)) =
(le‘(𝐾
↾s 𝐴)) |
| 44 | 42, 43 | isprs 18342 |
. 2
⊢ ((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ Proset ↔ ((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧)))) |
| 45 | 41, 44 | sylibr 234 |
1
⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ Proset ) |