Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressprs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressprs 31823
Description: The restriction of a proset is a proset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ressprs.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
ressprs ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾s 𝐴) ∈ Proset )

Proof of Theorem ressprs
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovexd 7392 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾s 𝐴) ∈ V)
2 simp-4l 781 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐾 ∈ Proset )
3 simp-4r 782 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐴𝐵)
4 simpllr 774 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥𝐴)
53, 4sseldd 3945 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥𝐵)
62, 5jca 512 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥𝐵))
7 simplr 767 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦𝐴)
83, 7sseldd 3945 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦𝐵)
9 simpr 485 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
103, 9sseldd 3945 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐵)
11 ressprs.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝐾)
12 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
1311, 12isprs 18186 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ Proset ↔ (𝐾 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
1413simprbi 497 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Proset → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
1514r19.21bi 3234 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥𝐵) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
1615r19.21bi 3234 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ∀𝑧𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
1716r19.21bi 3234 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
186, 8, 10, 17syl21anc 836 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
1918ralrimiva 3143 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ∀𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
2019ralrimiva 3143 . . . 4 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ∀𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
2120ralrimiva 3143 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
22 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝐾s 𝐴) = (𝐾s 𝐴)
2322, 11ressbas2 17120 . . . . . 6 (𝐴𝐵𝐴 = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
2423adantl 482 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
2511fvexi 6856 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ∈ V
2625ssex 5278 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
2722, 12ressle 17261 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾s 𝐴)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾s 𝐴)))
2928adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾s 𝐴)))
3029breqd 5116 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥))
3129breqd 5116 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦))
3229breqd 5116 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))
3331, 32anbi12d 631 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) ↔ (𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧)))
3429breqd 5116 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))
3533, 34imbi12d 344 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧) ↔ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧)))
3630, 35anbi12d 631 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ (𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
3724, 36raleqbidv 3319 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
3824, 37raleqbidv 3319 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
3924, 38raleqbidv 3319 . . . 4 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
4039anbi2d 629 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (((𝐾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) ↔ ((𝐾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧)))))
411, 21, 40mpbi2and 710 . 2 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
42 eqid 2736 . . 3 (Base‘(𝐾s 𝐴)) = (Base‘(𝐾s 𝐴))
43 eqid 2736 . . 3 (le‘(𝐾s 𝐴)) = (le‘(𝐾s 𝐴))
4442, 43isprs 18186 . 2 ((𝐾s 𝐴) ∈ Proset ↔ ((𝐾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
4541, 44sylibr 233 1 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾s 𝐴) ∈ Proset )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  wss 3910   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  s cress 17112  lecple 17140   Proset cproset 18182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-dec 12619  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-ple 17153  df-proset 18184
This theorem is referenced by:  prsssdm  32498  ordtrestNEW  32502  ordtrest2NEW  32504
  Copyright terms: Public domain W3C validator