Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressprs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressprs 32711
Description: The restriction of a proset is a proset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ressprs.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
ressprs ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ Proset )

Proof of Theorem ressprs
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovexd 7461 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ V)
2 simp-4l 781 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Proset )
3 simp-4r 782 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
4 simpllr 774 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
53, 4sseldd 3983 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
62, 5jca 510 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝐾 ∈ Proset ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
7 simplr 767 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
83, 7sseldd 3983 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
9 simpr 483 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
103, 9sseldd 3983 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
11 ressprs.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
12 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
1311, 12isprs 18296 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ Proset ↔ (𝐾 ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧))))
1413simprbi 495 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Proset β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)))
1514r19.21bi 3246 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)))
1615r19.21bi 3246 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Proset ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)))
1716r19.21bi 3246 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)))
186, 8, 10, 17syl21anc 836 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)))
1918ralrimiva 3143 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)))
2019ralrimiva 3143 . . . 4 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)))
2120ralrimiva 3143 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)))
22 eqid 2728 . . . . . . 7 (𝐾 β†Ύs 𝐴) = (𝐾 β†Ύs 𝐴)
2322, 11ressbas2 17225 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
2423adantl 480 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
2511fvexi 6916 . . . . . . . . . . . 12 𝐡 ∈ V
2625ssex 5325 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ 𝐴 ∈ V)
2722, 12ressle 17368 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ V β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
2928adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
3029breqd 5163 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ↔ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))π‘₯))
3129breqd 5163 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦))
3229breqd 5163 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧 ↔ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧))
3331, 32anbi12d 630 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) ↔ (π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧)))
3429breqd 5163 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧 ↔ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧))
3533, 34imbi12d 343 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧) ↔ ((π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧)))
3630, 35anbi12d 630 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)) ↔ (π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
3724, 36raleqbidv 3340 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
3824, 37raleqbidv 3340 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
3924, 38raleqbidv 3340 . . . 4 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
4039anbi2d 628 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (((𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧))) ↔ ((𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧)))))
411, 21, 40mpbi2and 710 . 2 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ((𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
42 eqid 2728 . . 3 (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))
43 eqid 2728 . . 3 (leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) = (leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))
4442, 43isprs 18296 . 2 ((𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ Proset ↔ ((𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
4541, 44sylibr 233 1 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ Proset )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187   β†Ύs cress 17216  lecple 17247   Proset cproset 18292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-dec 12716  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-ple 17260  df-proset 18294
This theorem is referenced by:  prsssdm  33551  ordtrestNEW  33555  ordtrest2NEW  33557
  Copyright terms: Public domain W3C validator