Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressprs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressprs 31872
Description: The restriction of a proset is a proset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ressprs.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
ressprs ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ Proset )

Proof of Theorem ressprs
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovexd 7393 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ V)
2 simp-4l 782 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Proset )
3 simp-4r 783 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
4 simpllr 775 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
53, 4sseldd 3946 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
62, 5jca 513 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝐾 ∈ Proset ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
7 simplr 768 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
83, 7sseldd 3946 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
9 simpr 486 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
103, 9sseldd 3946 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
11 ressprs.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
12 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
1311, 12isprs 18191 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ Proset ↔ (𝐾 ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧))))
1413simprbi 498 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Proset β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)))
1514r19.21bi 3233 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)))
1615r19.21bi 3233 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Proset ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)))
1716r19.21bi 3233 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)))
186, 8, 10, 17syl21anc 837 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)))
1918ralrimiva 3140 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)))
2019ralrimiva 3140 . . . 4 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)))
2120ralrimiva 3140 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)))
22 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝐾 β†Ύs 𝐴) = (𝐾 β†Ύs 𝐴)
2322, 11ressbas2 17125 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
2423adantl 483 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
2511fvexi 6857 . . . . . . . . . . . 12 𝐡 ∈ V
2625ssex 5279 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ 𝐴 ∈ V)
2722, 12ressle 17266 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ V β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
2928adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
3029breqd 5117 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ↔ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))π‘₯))
3129breqd 5117 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦))
3229breqd 5117 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧 ↔ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧))
3331, 32anbi12d 632 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) ↔ (π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧)))
3429breqd 5117 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧 ↔ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧))
3533, 34imbi12d 345 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧) ↔ ((π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧)))
3630, 35anbi12d 632 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)) ↔ (π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
3724, 36raleqbidv 3318 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
3824, 37raleqbidv 3318 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
3924, 38raleqbidv 3318 . . . 4 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
4039anbi2d 630 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (((𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧))) ↔ ((𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧)))))
411, 21, 40mpbi2and 711 . 2 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ((𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
42 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))
43 eqid 2733 . . 3 (leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) = (leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))
4442, 43isprs 18191 . 2 ((𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ Proset ↔ ((𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
4541, 44sylibr 233 1 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ Proset )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088   β†Ύs cress 17117  lecple 17145   Proset cproset 18187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-dec 12624  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-ple 17158  df-proset 18189
This theorem is referenced by:  prsssdm  32555  ordtrestNEW  32559  ordtrest2NEW  32561
  Copyright terms: Public domain W3C validator