Theorem ressprs 32947

Description: The restriction of a proset is a proset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressprs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ressprs	⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ Proset )

Proof of Theorem ressprs

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 7381	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ V)
2		simp-4l 782	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Proset )
3		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5	3, 4	sseldd 3930	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
6	2, 5	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
7		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
8	3, 7	sseldd 3930	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵)
9		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
10	3, 9	sseldd 3930	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐵)
11		ressprs.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
12		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13	11, 12	isprs 18202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ Proset ↔ (𝐾 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
14	13	simprbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ Proset → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
15	14	r19.21bi 3224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
16	15	r19.21bi 3224	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
17	16	r19.21bi 3224	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
18	6, 8, 10, 17	syl21anc 837	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
19	18	ralrimiva 3124	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
20	19	ralrimiva 3124	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
21	20	ralrimiva 3124	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
22		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ↾s 𝐴) = (𝐾 ↾s 𝐴)
23	22, 11	ressbas2 17149	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
24	23	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
25	11	fvexi 6836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ V
26	25	ssex 5257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
27	22, 12	ressle 17284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
29	28	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
30	29	breqd 5100	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ↔ 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥))
31	29	breqd 5100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦))
32	29	breqd 5100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑦(le‘𝐾)𝑧 ↔ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧))
33	31, 32	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) ↔ (𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧)))
34	29	breqd 5100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑧 ↔ 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧))
35	33, 34	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧) ↔ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧)))
36	30, 35	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ (𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧))))
37	24, 36	raleqbidv 3312	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧))))
38	24, 37	raleqbidv 3312	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧))))
39	24, 38	raleqbidv 3312	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧))))
40	39	anbi2d 630	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) ↔ ((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧)))))
41	1, 21, 40	mpbi2and 712	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧))))
42		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))
43		eqid 2731	. . 3 ⊢ (le‘(𝐾 ↾s 𝐴)) = (le‘(𝐾 ↾s 𝐴))
44	42, 43	isprs 18202	. 2 ⊢ ((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ Proset ↔ ((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧))))
45	41, 44	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ Proset )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  lecple 17168   Proset cproset 18198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-dec 12589  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-ple 17181  df-proset 18200

This theorem is referenced by:  prsssdm  33930  ordtrestNEW  33934  ordtrest2NEW  33936