Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressprs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressprs 31349
Description: The restriction of a proset is a proset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ressprs.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
ressprs ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾s 𝐴) ∈ Proset )

Proof of Theorem ressprs
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovexd 7348 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾s 𝐴) ∈ V)
2 simp-4l 780 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐾 ∈ Proset )
3 simp-4r 781 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐴𝐵)
4 simpllr 773 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥𝐴)
53, 4sseldd 3931 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥𝐵)
62, 5jca 512 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥𝐵))
7 simplr 766 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦𝐴)
83, 7sseldd 3931 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦𝐵)
9 simpr 485 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
103, 9sseldd 3931 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐵)
11 ressprs.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝐾)
12 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
1311, 12isprs 18082 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ Proset ↔ (𝐾 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
1413simprbi 497 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Proset → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
1514r19.21bi 3231 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥𝐵) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
1615r19.21bi 3231 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ∀𝑧𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
1716r19.21bi 3231 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
186, 8, 10, 17syl21anc 835 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
1918ralrimiva 3140 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ∀𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
2019ralrimiva 3140 . . . 4 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ∀𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
2120ralrimiva 3140 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
22 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝐾s 𝐴) = (𝐾s 𝐴)
2322, 11ressbas2 17016 . . . . . 6 (𝐴𝐵𝐴 = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
2423adantl 482 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
2511fvexi 6823 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ∈ V
2625ssex 5258 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
2722, 12ressle 17157 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾s 𝐴)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾s 𝐴)))
2928adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾s 𝐴)))
3029breqd 5096 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥))
3129breqd 5096 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦))
3229breqd 5096 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))
3331, 32anbi12d 631 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) ↔ (𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧)))
3429breqd 5096 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))
3533, 34imbi12d 344 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧) ↔ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧)))
3630, 35anbi12d 631 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ (𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
3724, 36raleqbidv 3316 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
3824, 37raleqbidv 3316 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
3924, 38raleqbidv 3316 . . . 4 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
4039anbi2d 629 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (((𝐾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) ↔ ((𝐾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧)))))
411, 21, 40mpbi2and 709 . 2 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
42 eqid 2737 . . 3 (Base‘(𝐾s 𝐴)) = (Base‘(𝐾s 𝐴))
43 eqid 2737 . . 3 (le‘(𝐾s 𝐴)) = (le‘(𝐾s 𝐴))
4442, 43isprs 18082 . 2 ((𝐾s 𝐴) ∈ Proset ↔ ((𝐾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
4541, 44sylibr 233 1 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾s 𝐴) ∈ Proset )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3062  Vcvv 3441  wss 3896   class class class wbr 5085  cfv 6463  (class class class)co 7313  Basecbs 16979  s cress 17008  lecple 17036   Proset cproset 18078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-nn 12044  df-2 12106  df-3 12107  df-4 12108  df-5 12109  df-6 12110  df-7 12111  df-8 12112  df-9 12113  df-dec 12508  df-sets 16932  df-slot 16950  df-ndx 16962  df-base 16980  df-ress 17009  df-ple 17049  df-proset 18080
This theorem is referenced by:  prsssdm  31973  ordtrestNEW  31977  ordtrest2NEW  31979
  Copyright terms: Public domain W3C validator