Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressprs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressprs 32779
Description: The restriction of a proset is a proset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ressprs.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
ressprs ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾s 𝐴) ∈ Proset )

Proof of Theorem ressprs
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovexd 7454 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾s 𝐴) ∈ V)
2 simp-4l 781 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐾 ∈ Proset )
3 simp-4r 782 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐴𝐵)
4 simpllr 774 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥𝐴)
53, 4sseldd 3977 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥𝐵)
62, 5jca 510 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥𝐵))
7 simplr 767 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦𝐴)
83, 7sseldd 3977 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦𝐵)
9 simpr 483 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
103, 9sseldd 3977 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐵)
11 ressprs.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝐾)
12 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
1311, 12isprs 18292 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ Proset ↔ (𝐾 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
1413simprbi 495 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Proset → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
1514r19.21bi 3238 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥𝐵) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
1615r19.21bi 3238 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ∀𝑧𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
1716r19.21bi 3238 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
186, 8, 10, 17syl21anc 836 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
1918ralrimiva 3135 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ∀𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
2019ralrimiva 3135 . . . 4 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ∀𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
2120ralrimiva 3135 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
22 eqid 2725 . . . . . . 7 (𝐾s 𝐴) = (𝐾s 𝐴)
2322, 11ressbas2 17221 . . . . . 6 (𝐴𝐵𝐴 = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
2423adantl 480 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
2511fvexi 6910 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ∈ V
2625ssex 5322 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
2722, 12ressle 17364 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾s 𝐴)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾s 𝐴)))
2928adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾s 𝐴)))
3029breqd 5160 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥))
3129breqd 5160 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦))
3229breqd 5160 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))
3331, 32anbi12d 630 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) ↔ (𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧)))
3429breqd 5160 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))
3533, 34imbi12d 343 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧) ↔ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧)))
3630, 35anbi12d 630 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ (𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
3724, 36raleqbidv 3329 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
3824, 37raleqbidv 3329 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
3924, 38raleqbidv 3329 . . . 4 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
4039anbi2d 628 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (((𝐾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) ↔ ((𝐾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧)))))
411, 21, 40mpbi2and 710 . 2 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
42 eqid 2725 . . 3 (Base‘(𝐾s 𝐴)) = (Base‘(𝐾s 𝐴))
43 eqid 2725 . . 3 (le‘(𝐾s 𝐴)) = (le‘(𝐾s 𝐴))
4442, 43isprs 18292 . 2 ((𝐾s 𝐴) ∈ Proset ↔ ((𝐾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
4541, 44sylibr 233 1 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾s 𝐴) ∈ Proset )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  Vcvv 3461  wss 3944   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  s cress 17212  lecple 17243   Proset cproset 18288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-dec 12711  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-ple 17256  df-proset 18290
This theorem is referenced by:  prsssdm  33649  ordtrestNEW  33653  ordtrest2NEW  33655
  Copyright terms: Public domain W3C validator