Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressprs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressprs 32954
Description: The restriction of a proset is a proset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ressprs.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
ressprs ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾s 𝐴) ∈ Proset )

Proof of Theorem ressprs
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovexd 7466 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾s 𝐴) ∈ V)
2 simp-4l 783 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐾 ∈ Proset )
3 simp-4r 784 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐴𝐵)
4 simpllr 776 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥𝐴)
53, 4sseldd 3984 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥𝐵)
62, 5jca 511 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥𝐵))
7 simplr 769 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦𝐴)
83, 7sseldd 3984 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦𝐵)
9 simpr 484 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
103, 9sseldd 3984 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐵)
11 ressprs.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝐾)
12 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
1311, 12isprs 18342 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ Proset ↔ (𝐾 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
1413simprbi 496 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Proset → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
1514r19.21bi 3251 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥𝐵) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
1615r19.21bi 3251 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ∀𝑧𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
1716r19.21bi 3251 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
186, 8, 10, 17syl21anc 838 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
1918ralrimiva 3146 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ∀𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
2019ralrimiva 3146 . . . 4 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ∀𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
2120ralrimiva 3146 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
22 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝐾s 𝐴) = (𝐾s 𝐴)
2322, 11ressbas2 17283 . . . . . 6 (𝐴𝐵𝐴 = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
2423adantl 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
2511fvexi 6920 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ∈ V
2625ssex 5321 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
2722, 12ressle 17424 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾s 𝐴)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾s 𝐴)))
2928adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾s 𝐴)))
3029breqd 5154 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥))
3129breqd 5154 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦))
3229breqd 5154 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))
3331, 32anbi12d 632 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) ↔ (𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧)))
3429breqd 5154 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))
3533, 34imbi12d 344 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧) ↔ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧)))
3630, 35anbi12d 632 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ (𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
3724, 36raleqbidv 3346 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
3824, 37raleqbidv 3346 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
3924, 38raleqbidv 3346 . . . 4 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
4039anbi2d 630 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (((𝐾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) ↔ ((𝐾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧)))))
411, 21, 40mpbi2and 712 . 2 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
42 eqid 2737 . . 3 (Base‘(𝐾s 𝐴)) = (Base‘(𝐾s 𝐴))
43 eqid 2737 . . 3 (le‘(𝐾s 𝐴)) = (le‘(𝐾s 𝐴))
4442, 43isprs 18342 . 2 ((𝐾s 𝐴) ∈ Proset ↔ ((𝐾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
4541, 44sylibr 234 1 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾s 𝐴) ∈ Proset )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  wss 3951   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  s cress 17274  lecple 17304   Proset cproset 18338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-dec 12734  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-ple 17317  df-proset 18340
This theorem is referenced by:  prsssdm  33916  ordtrestNEW  33920  ordtrest2NEW  33922
  Copyright terms: Public domain W3C validator