Theorem ressprs 30960

Description: The restriction of a proset is a proset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressprs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ressprs	⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ Proset )

Proof of Theorem ressprs

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 7248	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ V)
2		simp-4l 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Proset )
3		simp-4r 784	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4		simpllr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5	3, 4	sseldd 3902	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
6	2, 5	jca 515	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
7		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
8	3, 7	sseldd 3902	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵)
9		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
10	3, 9	sseldd 3902	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐵)
11		ressprs.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
12		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13	11, 12	isprs 17804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ Proset ↔ (𝐾 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
14	13	simprbi 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ Proset → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
15	14	r19.21bi 3130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
16	15	r19.21bi 3130	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
17	16	r19.21bi 3130	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
18	6, 8, 10, 17	syl21anc 838	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
19	18	ralrimiva 3105	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
20	19	ralrimiva 3105	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
21	20	ralrimiva 3105	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
22		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ↾s 𝐴) = (𝐾 ↾s 𝐴)
23	22, 11	ressbas2 16791	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
24	23	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
25	11	fvexi 6731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ V
26	25	ssex 5214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
27	22, 12	ressle 16900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
29	28	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
30	29	breqd 5064	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ↔ 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥))
31	29	breqd 5064	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦))
32	29	breqd 5064	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑦(le‘𝐾)𝑧 ↔ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧))
33	31, 32	anbi12d 634	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) ↔ (𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧)))
34	29	breqd 5064	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑧 ↔ 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧))
35	33, 34	imbi12d 348	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧) ↔ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧)))
36	30, 35	anbi12d 634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ (𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧))))
37	24, 36	raleqbidv 3313	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧))))
38	24, 37	raleqbidv 3313	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧))))
39	24, 38	raleqbidv 3313	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧))))
40	39	anbi2d 632	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) ↔ ((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧)))))
41	1, 21, 40	mpbi2and 712	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧))))
42		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))
43		eqid 2737	. . 3 ⊢ (le‘(𝐾 ↾s 𝐴)) = (le‘(𝐾 ↾s 𝐴))
44	42, 43	isprs 17804	. 2 ⊢ ((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ Proset ↔ ((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾 ↾s 𝐴))𝑧))))
45	41, 44	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ Proset )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  Vcvv 3408   ⊆ wss 3866   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760   ↾_s cress 16784  lecple 16809   Proset cproset 17800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-dec 12294  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-ple 16822  df-proset 17802

This theorem is referenced by:  prsssdm  31581  ordtrestNEW  31585  ordtrest2NEW  31587