Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressprs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressprs 32638
Description: The restriction of a proset is a proset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ressprs.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
ressprs ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ Proset )

Proof of Theorem ressprs
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovexd 7440 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ V)
2 simp-4l 780 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Proset )
3 simp-4r 781 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
4 simpllr 773 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
53, 4sseldd 3978 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
62, 5jca 511 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝐾 ∈ Proset ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
7 simplr 766 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
83, 7sseldd 3978 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
9 simpr 484 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
103, 9sseldd 3978 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
11 ressprs.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
12 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
1311, 12isprs 18262 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ Proset ↔ (𝐾 ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧))))
1413simprbi 496 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Proset β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)))
1514r19.21bi 3242 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)))
1615r19.21bi 3242 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Proset ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)))
1716r19.21bi 3242 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)))
186, 8, 10, 17syl21anc 835 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)))
1918ralrimiva 3140 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)))
2019ralrimiva 3140 . . . 4 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)))
2120ralrimiva 3140 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)))
22 eqid 2726 . . . . . . 7 (𝐾 β†Ύs 𝐴) = (𝐾 β†Ύs 𝐴)
2322, 11ressbas2 17191 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
2423adantl 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
2511fvexi 6899 . . . . . . . . . . . 12 𝐡 ∈ V
2625ssex 5314 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ 𝐴 ∈ V)
2722, 12ressle 17334 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ V β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
2928adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
3029breqd 5152 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ↔ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))π‘₯))
3129breqd 5152 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ↔ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦))
3229breqd 5152 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧 ↔ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧))
3331, 32anbi12d 630 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) ↔ (π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧)))
3429breqd 5152 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧 ↔ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧))
3533, 34imbi12d 344 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧) ↔ ((π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧)))
3630, 35anbi12d 630 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)) ↔ (π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
3724, 36raleqbidv 3336 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
3824, 37raleqbidv 3336 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
3924, 38raleqbidv 3336 . . . 4 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
4039anbi2d 628 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (((𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (π‘₯(leβ€˜πΎ)π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜πΎ)𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜πΎ)𝑧))) ↔ ((𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧)))))
411, 21, 40mpbi2and 709 . 2 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ((𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
42 eqid 2726 . . 3 (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))
43 eqid 2726 . . 3 (leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) = (leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))
4442, 43isprs 18262 . 2 ((𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ Proset ↔ ((𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))(π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))π‘₯ ∧ ((π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑦 ∧ 𝑦(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧) β†’ π‘₯(leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))𝑧))))
4541, 44sylibr 233 1 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ Proset )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  lecple 17213   Proset cproset 18258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-dec 12682  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-ple 17226  df-proset 18260
This theorem is referenced by:  prsssdm  33427  ordtrestNEW  33431  ordtrest2NEW  33433
  Copyright terms: Public domain W3C validator