Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressprs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressprs 30569
Description: The restriction of a proset is a proset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ressprs.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
ressprs ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾s 𝐴) ∈ Proset )

Proof of Theorem ressprs
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovexd 7180 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾s 𝐴) ∈ V)
2 simp-4l 779 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐾 ∈ Proset )
3 simp-4r 780 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐴𝐵)
4 simpllr 772 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥𝐴)
53, 4sseldd 3965 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥𝐵)
62, 5jca 512 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥𝐵))
7 simplr 765 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦𝐴)
83, 7sseldd 3965 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦𝐵)
9 simpr 485 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
103, 9sseldd 3965 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐵)
11 ressprs.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝐾)
12 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
1311, 12isprs 17528 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ Proset ↔ (𝐾 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
1413simprbi 497 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Proset → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
1514r19.21bi 3205 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥𝐵) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
1615r19.21bi 3205 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ∀𝑧𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
1716r19.21bi 3205 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
186, 8, 10, 17syl21anc 833 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
1918ralrimiva 3179 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ∀𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
2019ralrimiva 3179 . . . 4 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ∀𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
2120ralrimiva 3179 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
22 eqid 2818 . . . . . . 7 (𝐾s 𝐴) = (𝐾s 𝐴)
2322, 11ressbas2 16543 . . . . . 6 (𝐴𝐵𝐴 = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
2423adantl 482 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
2511fvexi 6677 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ∈ V
2625ssex 5216 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
2722, 12ressle 16660 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾s 𝐴)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾s 𝐴)))
2928adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (le‘𝐾) = (le‘(𝐾s 𝐴)))
3029breqd 5068 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥))
3129breqd 5068 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦))
3229breqd 5068 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))
3331, 32anbi12d 630 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) ↔ (𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧)))
3429breqd 5068 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))
3533, 34imbi12d 346 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧) ↔ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧)))
3630, 35anbi12d 630 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ (𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
3724, 36raleqbidv 3399 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
3824, 37raleqbidv 3399 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
3924, 38raleqbidv 3399 . . . 4 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
4039anbi2d 628 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (((𝐾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) ↔ ((𝐾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧)))))
411, 21, 40mpbi2and 708 . 2 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
42 eqid 2818 . . 3 (Base‘(𝐾s 𝐴)) = (Base‘(𝐾s 𝐴))
43 eqid 2818 . . 3 (le‘(𝐾s 𝐴)) = (le‘(𝐾s 𝐴))
4442, 43isprs 17528 . 2 ((𝐾s 𝐴) ∈ Proset ↔ ((𝐾s 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))∀𝑧 ∈ (Base‘(𝐾s 𝐴))(𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑥 ∧ ((𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑦𝑦(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧) → 𝑥(le‘(𝐾s 𝐴))𝑧))))
4541, 44sylibr 235 1 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾s 𝐴) ∈ Proset )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  Vcvv 3492  wss 3933   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  s cress 16472  lecple 16560   Proset cproset 17524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-dec 12087  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-ple 16573  df-proset 17526
This theorem is referenced by:  prsssdm  31059  ordtrestNEW  31063  ordtrest2NEW  31065
  Copyright terms: Public domain W3C validator