Theorem prstchom2 50417

Description: Hom-sets of the constructed category are dependent on the preorder.

Note that prstchom.x and prstchom.y are redundant here due to our definition of ProsetToCat ( see prstchom2ALT 50418). However, this should not be assumed as it is definition-dependent. Therefore, the two hypotheses are added for explicitness. (Contributed by Zhi Wang, 21-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
prstchom.l	⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))
prstchom.e	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐶))
prstchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
prstchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
prstchom2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑓)   ≤ (𝑓)

Proof of Theorem prstchom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prstcnid.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
2		prstcnid.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
3		prstchom.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))
4		prstchom.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐶))
5		prstchom.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
6		prstchom.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	prstchom 50416	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅))
8	1, 2	prstcthin 50415	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
9		eqidd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶))
10	8, 5, 6, 9, 4	thincn0eu 50285	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)))
11	7, 10	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃!weu 2598   ≠ wne 2960  ∅c0 4286   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17295  lecple 17343  Hom chom 17347   Proset cproset 18374  ProsetToCatcprstc 50403

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12732  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-ple 17356  df-hom 17360  df-cco 17361  df-cat 17750  df-cid 17751  df-proset 18376  df-thinc 50272  df-prstc 50404

This theorem is used by: (None)