Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3pthd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3pthd 27955
 Description: A path of length 3 from one vertex to another vertex via a third vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 10-Feb-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
3wlkd.n (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
3wlkd.e (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
3wlkd.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3wlkd.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3trld.n (𝜑 → (𝐽𝐾𝐽𝐿𝐾𝐿))
Assertion
Ref Expression
3pthd (𝜑𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 3pthd
Dummy variables 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3wlkd.p . . . 4 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2 s4cli 14240 . . . 4 ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V
31, 2eqeltri 2912 . . 3 𝑃 ∈ Word V
43a1i 11 . 2 (𝜑𝑃 ∈ Word V)
5 3wlkd.f . . . . 5 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
65fveq2i 6661 . . . 4 (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩)
7 s3len 14252 . . . 4 (♯‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩) = 3
86, 7eqtri 2847 . . 3 (♯‘𝐹) = 3
9 4m1e3 11759 . . 3 (4 − 1) = 3
101fveq2i 6661 . . . . 5 (♯‘𝑃) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
11 s4len 14257 . . . . 5 (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = 4
1210, 11eqtr2i 2848 . . . 4 4 = (♯‘𝑃)
1312oveq1i 7155 . . 3 (4 − 1) = ((♯‘𝑃) − 1)
148, 9, 133eqtr2i 2853 . 2 (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1)
15 3wlkd.s . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
16 3wlkd.n . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
171, 5, 15, 163pthdlem1 27945 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)))
18 eqid 2824 . 2 (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹)
19 3wlkd.e . . 3 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
20 3wlkd.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21 3wlkd.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
22 3trld.n . . 3 (𝜑 → (𝐽𝐾𝐽𝐿𝐾𝐿))
231, 5, 15, 16, 19, 20, 21, 223trld 27953 . 2 (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
244, 14, 17, 18, 23pthd 27554 1 (𝜑𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  Vcvv 3480   ⊆ wss 3919  {cpr 4551   class class class wbr 5052  ‘cfv 6343  (class class class)co 7145  1c1 10530   − cmin 10862  3c3 11686  4c4 11687  ♯chash 13691  Word cword 13862  ⟨“cs3 14200  ⟨“cs4 14201  Vtxcvtx 26785  iEdgciedg 26786  Pathscpths 27497 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-card 9359  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-4 11695  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-fz 12891  df-fzo 13034  df-hash 13692  df-word 13863  df-concat 13919  df-s1 13946  df-s2 14206  df-s3 14207  df-s4 14208  df-wlks 27385  df-trls 27478  df-pths 27501 This theorem is referenced by:  3pthond  27956  3cycld  27959
 Copyright terms: Public domain W3C validator