Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2pthd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2pthd 27724
 Description: A path of length 2 from one vertex to another vertex via a third vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 24-Jan-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
2wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
2wlkd.n (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
2wlkd.e (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾)))
2wlkd.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2wlkd.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2trld.n (𝜑𝐽𝐾)
Assertion
Ref Expression
2pthd (𝜑𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 2pthd
Dummy variables 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2wlkd.p . . . 4 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2 s3cli 14234 . . . 4 ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V
31, 2eqeltri 2910 . . 3 𝑃 ∈ Word V
43a1i 11 . 2 (𝜑𝑃 ∈ Word V)
5 2wlkd.f . . . . 5 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
65fveq2i 6655 . . . 4 (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩)
7 s2len 14242 . . . 4 (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩) = 2
86, 7eqtri 2845 . . 3 (♯‘𝐹) = 2
9 3m1e2 11753 . . 3 (3 − 1) = 2
101fveq2i 6655 . . . . 5 (♯‘𝑃) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
11 s3len 14247 . . . . 5 (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
1210, 11eqtr2i 2846 . . . 4 3 = (♯‘𝑃)
1312oveq1i 7150 . . 3 (3 − 1) = ((♯‘𝑃) − 1)
148, 9, 133eqtr2i 2851 . 2 (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1)
15 2wlkd.s . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
16 2wlkd.n . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
171, 5, 15, 162pthdlem1 27714 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)))
18 eqid 2822 . 2 (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹)
19 2wlkd.e . . 3 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾)))
20 2wlkd.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21 2wlkd.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
22 2trld.n . . 3 (𝜑𝐽𝐾)
231, 5, 15, 16, 19, 20, 21, 222trld 27722 . 2 (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
244, 14, 17, 18, 23pthd 27556 1 (𝜑𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011  Vcvv 3469   ⊆ wss 3908  {cpr 4541   class class class wbr 5042  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  1c1 10527   − cmin 10859  2c2 11680  3c3 11681  ♯chash 13686  Word cword 13857  ⟨“cs2 14194  ⟨“cs3 14195  Vtxcvtx 26787  iEdgciedg 26788  Pathscpths 27499 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-s1 13941  df-s2 14201  df-s3 14202  df-wlks 27387  df-trls 27480  df-pths 27503 This theorem is referenced by:  2cycld  32459
 Copyright terms: Public domain W3C validator