Theorem 2pthd 30538

Description: A path of length 2 from one vertex to another vertex via a third vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 24-Jan-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
2wlkd.n	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
2wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
2wlkd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2wlkd.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2trld.n	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2pthd	⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 2pthd

Dummy variables 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2wlkd.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		s3cli 15040	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V
3	1, 2	eqeltri 2856	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ Word V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
5		2wlkd.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
6	5	fveq2i 6893	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩)
7		s2len 15048	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩) = 2
8	6, 7	eqtri 2783	. . 3 ⊢ (♯‘𝐹) = 2
9		3m1e2 12477	. . 3 ⊢ (3 − 1) = 2
10	1	fveq2i 6893	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝑃) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
11		s3len 15054	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
12	10, 11	eqtr2i 2784	. . . 4 ⊢ 3 = (♯‘𝑃)
13	12	oveq1i 7434	. . 3 ⊢ (3 − 1) = ((♯‘𝑃) − 1)
14	8, 9, 13	3eqtr2i 2789	. 2 ⊢ (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1)
15		2wlkd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
16		2wlkd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
17	1, 5, 15, 16	2pthdlem1 30528	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘𝑗)))
18		eqid 2760	. 2 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹)
19		2wlkd.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
20		2wlkd.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21		2wlkd.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
22		2trld.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
23	1, 5, 15, 16, 19, 20, 21, 22	2trld 30536	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
24	4, 14, 17, 18, 23	pthd 30364	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896  {cpr 4586   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  1c1 11208   − cmin 11548  2c2 12404  3c3 12405  ♯chash 14481  Word cword 14665  ⟨“cs2 15000  ⟨“cs3 15001  Vtxcvtx 29583  iEdgciedg 29584  Pathscpths 30304

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-map 8856  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-hash 14482  df-word 14666  df-concat 14723  df-s1 14750  df-s2 15007  df-s3 15008  df-wlks 30189  df-trls 30284  df-pths 30308

This theorem is used by:  2cycld  30754