Theorem 2pthd 29703

Description: A path of length 2 from one vertex to another vertex via a third vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 24-Jan-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
2wlkd.n	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
2wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
2wlkd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2wlkd.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2trld.n	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2pthd	⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 2pthd

Dummy variables 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2wlkd.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		s3cli 14838	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V
3	1, 2	eqeltri 2823	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ Word V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
5		2wlkd.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
6	5	fveq2i 6888	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩)
7		s2len 14846	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩) = 2
8	6, 7	eqtri 2754	. . 3 ⊢ (♯‘𝐹) = 2
9		3m1e2 12344	. . 3 ⊢ (3 − 1) = 2
10	1	fveq2i 6888	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝑃) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
11		s3len 14851	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
12	10, 11	eqtr2i 2755	. . . 4 ⊢ 3 = (♯‘𝑃)
13	12	oveq1i 7415	. . 3 ⊢ (3 − 1) = ((♯‘𝑃) − 1)
14	8, 9, 13	3eqtr2i 2760	. 2 ⊢ (♯‘𝐹) = ((♯‘𝑃) − 1)
15		2wlkd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
16		2wlkd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
17	1, 5, 15, 16	2pthdlem1 29693	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘𝑗)))
18		eqid 2726	. 2 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹)
19		2wlkd.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
20		2wlkd.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21		2wlkd.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
22		2trld.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
23	1, 5, 15, 16, 19, 20, 21, 22	2trld 29701	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
24	4, 14, 17, 18, 23	pthd 29535	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  Vcvv 3468   ⊆ wss 3943  {cpr 4625   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  1c1 11113   − cmin 11448  2c2 12271  3c3 12272  ♯chash 14295  Word cword 14470  ⟨“cs2 14798  ⟨“cs3 14799  Vtxcvtx 28764  iEdgciedg 28765  Pathscpths 29478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-s2 14805  df-s3 14806  df-wlks 29365  df-trls 29458  df-pths 29482

This theorem is referenced by:  2cycld  34657