Theorem ltrabdioph 42795

Description: Diophantine set builder for the strict less than relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ltrabdioph	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 < 𝐵} ∈ (Dioph‘𝑁))

Distinct variable group:   𝑡,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡)   𝐵(𝑡)

Proof of Theorem ltrabdioph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabdiophlem1 42788	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ)
2		rabdiophlem1 42788	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐵 ∈ ℤ)
3		znnsub 12660	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ))
4	3	ralimi 3080	. . . . 5 ⊢ (∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))(𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))(𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ))
5		r19.26 3108	. . . . 5 ⊢ (∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))(𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ↔ (∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ ∧ ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐵 ∈ ℤ))
6		rabbi 3464	. . . . 5 ⊢ (∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))(𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ) ↔ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 < 𝐵} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ})
7	4, 5, 6	3imtr3i 291	. . . 4 ⊢ ((∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ ∧ ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐵 ∈ ℤ) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 < 𝐵} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ})
8	1, 2, 7	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 < 𝐵} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ})
9	8	3adant1 1129	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 < 𝐵} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ})
10		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
11		mzpsubmpt 42730	. . . . 5 ⊢ (((𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝐵 − 𝐴)) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)))
12	11	ancoms 458	. . . 4 ⊢ (((𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝐵 − 𝐴)) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)))
13	12	3adant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝐵 − 𝐴)) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)))
14		elnnrabdioph 42794	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝐵 − 𝐴)) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘𝑁))
15	10, 13, 14	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘𝑁))
16	9, 15	eqeltrd 2838	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 < 𝐵} ∈ (Dioph‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  {crab 3432   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   ↑_m cmap 8864  1c1 11153   < clt 11292   − cmin 11489  ℕcn 12263  ℕ₀cn0 12523  ℤcz 12610  ...cfz 13543  mzPolycmzp 42709  Diophcdioph 42742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-hash 14366  df-mzpcl 42710  df-mzp 42711  df-dioph 42743

This theorem is referenced by:  nerabdioph  42796  expdiophlem2  43010