Theorem ltrabdioph 42819

Description: Diophantine set builder for the strict less than relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ltrabdioph	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 < 𝐵} ∈ (Dioph‘𝑁))

Distinct variable group:   𝑡,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡)   𝐵(𝑡)

Proof of Theorem ltrabdioph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabdiophlem1 42812	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ)
2		rabdiophlem1 42812	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐵 ∈ ℤ)
3		znnsub 12663	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ))
4	3	ralimi 3083	. . . . 5 ⊢ (∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))(𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))(𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ))
5		r19.26 3111	. . . . 5 ⊢ (∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))(𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ↔ (∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ ∧ ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐵 ∈ ℤ))
6		rabbi 3467	. . . . 5 ⊢ (∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))(𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ) ↔ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 < 𝐵} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ})
7	4, 5, 6	3imtr3i 291	. . . 4 ⊢ ((∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ ∧ ∀𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁))𝐵 ∈ ℤ) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 < 𝐵} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ})
8	1, 2, 7	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 < 𝐵} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ})
9	8	3adant1 1131	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 < 𝐵} = {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ})
10		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
11		mzpsubmpt 42754	. . . . 5 ⊢ (((𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝐵 − 𝐴)) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)))
12	11	ancoms 458	. . . 4 ⊢ (((𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝐵 − 𝐴)) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)))
13	12	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝐵 − 𝐴)) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)))
14		elnnrabdioph 42818	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝐵 − 𝐴)) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘𝑁))
15	10, 13, 14	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘𝑁))
16	9, 15	eqeltrd 2841	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑m (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ 𝐴 < 𝐵} ∈ (Dioph‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  {crab 3436   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8866  1c1 11156   < clt 11295   − cmin 11492  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ...cfz 13547  mzPolycmzp 42733  Diophcdioph 42766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-mzpcl 42734  df-mzp 42735  df-dioph 42767

This theorem is referenced by:  nerabdioph  42820  expdiophlem2  43034