Theorem ramcl 16941

Description: Ramsey's theorem: the Ramsey number is an integer for every finite coloring and set of upper bounds. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ramcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem ramcl

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑔 ℎ 𝑘 𝑚 𝑛 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ex 12390	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ Fin)
3		elmapg 8766	. . . 4 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅) ↔ 𝐹:𝑅⟶ℕ0))
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅) ↔ 𝐹:𝑅⟶ℕ0))
5		oveq1 7356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 Ramsey 𝑓) = (0 Ramsey 𝑓))
6	5	eleq1d 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ (0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
7	6	ralbidv 3152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
8	7	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
9		oveq1 7356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (𝑥 Ramsey 𝑓) = (𝑚 Ramsey 𝑓))
10	9	eleq1d 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
11	10	ralbidv 3152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
12	11	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
13		oveq1 7356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → (𝑥 Ramsey 𝑓) = ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓))
14	13	eleq1d 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
15	14	ralbidv 3152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → (∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
16	15	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
17		oveq1 7356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 Ramsey 𝑓) = (𝑀 Ramsey 𝑓))
18	17	eleq1d 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
19	18	ralbidv 3152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
20	19	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
21		elmapi 8776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
22		0ramcl 16935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
23	21, 22	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)) → (0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
24	23	ralrimiva 3121	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
25		oveq2 7357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑚 Ramsey 𝑓) = (𝑚 Ramsey 𝑔))
26	25	eleq1d 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0))
27	26	cbvralvw 3207	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)
28		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → 𝑅 ∈ Fin)
29	21	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
30	29	ffvelcdmda 7018	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ0)
31	28, 30	fsumnn0cl 15643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ0)
32		eqeq2 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 0 → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0))
33	32	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 0 → ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) ↔ (ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0)))
34	33	imbi1d 341	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 0 → (((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) ↔ ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)))
35	34	albidv 1920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) ↔ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)))
36	35	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0))))
37		eqeq2 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛))
38	37	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) ↔ (ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛)))
39	38	imbi1d 341	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) ↔ ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)))
40	39	albidv 1920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) ↔ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)))
41	40	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0))))
42		eqeq2 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)))
43	42	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) ↔ (ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1))))
44	43	imbi1d 341	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) ↔ ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)))
45	44	albidv 1920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) ↔ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)))
46	45	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0))))
47		eqeq2 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)))
48	47	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) → ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) ↔ (ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘))))
49	48	imbi1d 341	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) → (((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) ↔ ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)))
50	49	albidv 1920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) ↔ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)))
51	50	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0))))
52		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) → 𝑅 ∈ Fin)
53		ffvelcdm 7015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (ℎ‘𝑘) ∈ ℕ0)
54	53	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (ℎ‘𝑘) ∈ ℕ0)
55	54	nn0red 12446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (ℎ‘𝑘) ∈ ℝ)
56	54	nn0ge0d 12448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → 0 ≤ (ℎ‘𝑘))
57	52, 55, 56	fsum00 15705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0))
58		fvex 6835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℎ‘𝑘) ∈ V
59	58	rgenw 3048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) ∈ V
60		mpteqb 6949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) ∈ V → ((𝑘 ∈ 𝑅 ↦ (ℎ‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0))
61	59, 60	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑅 ↦ (ℎ‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0)
62	57, 61	bitr4di 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0 ↔ (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ (ℎ‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0)))
63		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) → ℎ:𝑅⟶ℕ0)
64	63	feqmptd 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) → ℎ = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ (ℎ‘𝑘)))
65		fconstmpt 5681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 × {0}) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0)
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) → (𝑅 × {0}) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0))
67	64, 66	eqeq12d 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) → (ℎ = (𝑅 × {0}) ↔ (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ (ℎ‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0)))
68	62, 67	bitr4d 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0 ↔ ℎ = (𝑅 × {0})))
69		xpeq1 5633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑅 = ∅ → (𝑅 × {0}) = (∅ × {0}))
70		0xp 5718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (∅ × {0}) = ∅
71	69, 70	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑅 = ∅ → (𝑅 × {0}) = ∅)
72	71	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 = ∅ → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = ((𝑚 + 1) Ramsey ∅))
73		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
74		peano2nn0 12424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
76		ram0 16934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) Ramsey ∅) = (𝑚 + 1))
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ∅) = (𝑚 + 1))
78	72, 77	sylan9eqr 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = (𝑚 + 1))
79	75	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
80	78, 79	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ0)
81	75	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
82		simp-4l 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ Fin)
83		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ≠ ∅)
84		ramz 16937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
85	81, 82, 83, 84	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
86		0nn0 12399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℕ0
87	85, 86	eqeltrdi 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ0)
88	80, 87	pm2.61dane 3012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ0)
89		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = (𝑅 × {0}) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) = ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})))
90	89	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = (𝑅 × {0}) → (((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ0))
91	88, 90	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) → (ℎ = (𝑅 × {0}) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0))
92	68, 91	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0 → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0))
93	92	expimpd 453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0))
94	93	alrimiv 1927	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0))
95		ffn 6652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 → 𝑓 Fn 𝑅)
96	95	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → 𝑓 Fn 𝑅)
97		ffnfv 7053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓:𝑅⟶ℕ ↔ (𝑓 Fn 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ))
98	97	baib 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 Fn 𝑅 → (𝑓:𝑅⟶ℕ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ))
99	96, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (𝑓:𝑅⟶ℕ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ))
100		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
101	100	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
102	101, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
103		simp-4l 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑅 ∈ Fin)
104		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑓:𝑅⟶ℕ)
105		nnssnn0 12387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
106		fss 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ ℕ ⊆ ℕ0) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
107	104, 105, 106	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
108	101	nn0cnd 12447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑚 ∈ ℂ)
109		ax-1cn 11067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 1 ∈ ℂ
110		pncan 11369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
111	108, 109, 110	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
112	111	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) = (𝑚 Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))))
113		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) → (𝑚 Ramsey 𝑔) = (𝑚 Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))))
114	113	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) → ((𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) ∈ ℕ0))
115		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)
116	115	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)
117	103	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑅 ∈ Fin)
118	117	mptexd 7160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) ∈ V)
119		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0))
120	104	ffvelcdmda 7018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)
121		nnm1nn0 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → ((𝑓‘𝑥) − 1) ∈ ℕ0)
122	120, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑓‘𝑥) − 1) ∈ ℕ0)
123	122	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → ((𝑓‘𝑥) − 1) ∈ ℕ0)
124	107	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
125	124	ffvelcdmda 7018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℕ0)
126	123, 125	ifcld 4523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)) ∈ ℕ0)
127	126	fmpttd 7049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ0)
128		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑓:𝑅⟶ℕ)
129		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝑅)
130		ffvelcdm 7015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ)
131	130	3ad2antl2 1187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ)
132	131	nncnd 12144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℂ)
133	132	subid1d 11464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → ((𝑓‘𝑘) − 0) = (𝑓‘𝑘))
134	133	ifeq2d 4497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑘) − 1), ((𝑓‘𝑘) − 0)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑘) − 1), (𝑓‘𝑘)))
135		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑓‘𝑘) = (𝑓‘𝑥))
136	135	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝑓‘𝑘) = (𝑓‘𝑥))
137	136	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝑓‘𝑘) − 1) = ((𝑓‘𝑥) − 1))
138	137	ifeq1da 4508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑘) − 1), (𝑓‘𝑘)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)))
139	134, 138	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑘) − 1), ((𝑓‘𝑘) − 0)))
140		ovif2 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑓‘𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑘) − 1), ((𝑓‘𝑘) − 0))
141	139, 140	eqtr4di 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = ((𝑓‘𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)))
142	141	sumeq2dv 15609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 ((𝑓‘𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)))
143		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑅 ∈ Fin)
144		0cn 11107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ 0 ∈ ℂ
145	109, 144	ifcli 4524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ if(𝑘 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℂ
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℂ)
147	143, 132, 146	fsumsub 15695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 ((𝑓‘𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)))
148		elsng 4591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑅 → (𝑘 ∈ {𝑥} ↔ 𝑘 = 𝑥))
149	148	ifbid 4500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑅 → if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = if(𝑘 = 𝑥, 1, 0))
150	149	sumeq2i 15605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)
151		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝑅)
152	151	snssd 4760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → {𝑥} ⊆ 𝑅)
153		sumhash 16808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ {𝑥} ⊆ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = (♯‘{𝑥}))
154	143, 152, 153	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = (♯‘{𝑥}))
155		hashsng 14276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅 → (♯‘{𝑥}) = 1)
156	151, 155	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (♯‘{𝑥}) = 1)
157	154, 156	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = 1)
158	150, 157	eqtr3id 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0) = 1)
159	158	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − 1))
160	142, 147, 159	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − 1))
161	117, 128, 129, 160	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − 1))
162		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))
163	162	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − 1) = ((𝑛 + 1) − 1))
164		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
165	164	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑛 ∈ ℕ0)
166	165	nn0cnd 12447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑛 ∈ ℂ)
167		pncan 11369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
168	166, 109, 167	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
169	161, 163, 168	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛)
170	127, 169	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛))
171		feq1 6630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → (ℎ:𝑅⟶ℕ0 ↔ (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ0))
172		fveq1 6821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → (ℎ‘𝑘) = ((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))‘𝑘))
173		equequ1 2025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑘 = 𝑥))
174		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝑘))
175	173, 174	ifbieq2d 4503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)))
176		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))
177		ovex 7382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑓‘𝑥) − 1) ∈ V
178		fvex 6835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑓‘𝑘) ∈ V
179	177, 178	ifex 4527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) ∈ V
180	175, 176, 179	fvmpt 6930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑅 → ((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))‘𝑘) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)))
181	172, 180	sylan9eq 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (ℎ‘𝑘) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)))
182	181	sumeq2dv 15609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)))
183	182	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛))
184	171, 183	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) ↔ ((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛)))
185		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) = ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))
186	185	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → (((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))) ∈ ℕ0))
187	184, 186	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → (((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) ↔ (((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))) ∈ ℕ0)))
188	187	spcgv 3551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) ∈ V → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) → (((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))) ∈ ℕ0)))
189	118, 119, 170, 188	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))) ∈ ℕ0)
190	189	fmpttd 7049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))):𝑅⟶ℕ0)
191		elmapg 8766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))):𝑅⟶ℕ0))
192	1, 103, 191	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))):𝑅⟶ℕ0))
193	190, 192	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅))
194	114, 116, 193	rspcdva 3578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑚 Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) ∈ ℕ0)
195	112, 194	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) ∈ ℕ0)
196		peano2nn0 12424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) ∈ ℕ0 → ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) + 1) ∈ ℕ0)
197	195, 196	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) + 1) ∈ ℕ0)
198		nn0p1nn 12423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
199	100, 198	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
200	199	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
201		equequ1 2025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑤 = 𝑥))
202		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝑤))
203	201, 202	ifbieq2d 4503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)) = if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑤)))
204	203	cbvmptv 5196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) = (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑤)))
205		eqeq2 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑤 = 𝑥 ↔ 𝑤 = 𝑧))
206		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑧))
207	206	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑓‘𝑥) − 1) = ((𝑓‘𝑧) − 1))
208	205, 207	ifbieq1d 4501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑤)) = if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓‘𝑧) − 1), (𝑓‘𝑤)))
209	208	mpteq2dv 5186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑤))) = (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓‘𝑧) − 1), (𝑓‘𝑤))))
210	204, 209	eqtrid 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) = (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓‘𝑧) − 1), (𝑓‘𝑤))))
211	210	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))) = ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓‘𝑧) − 1), (𝑓‘𝑤)))))
212	211	cbvmptv 5196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) = (𝑧 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓‘𝑧) − 1), (𝑓‘𝑤)))))
213	200, 103, 104, 212, 190, 195	ramub1 16940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ≤ ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) + 1))
214		ramubcl 16930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑚 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ0) ∧ (((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ≤ ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) + 1))) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
215	102, 103, 107, 197, 213, 214	syl32anc 1380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
216	215	expr 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → (𝑓:𝑅⟶ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
217	216	adantrl 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (𝑓:𝑅⟶ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
218	99, 217	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
219		rexnal 3081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑅 ¬ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)
220		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
221	220	ffvelcdmda 7018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ0)
222		elnn0 12386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑓‘𝑥) = 0))
223	221, 222	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑓‘𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑓‘𝑥) = 0))
224	223	ord 864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (¬ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → (𝑓‘𝑥) = 0))
225	199	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
226		simp-4l 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → 𝑅 ∈ Fin)
227	225, 226, 220	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → ((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ0))
228		ramz2 16936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ (𝑓‘𝑥) = 0)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) = 0)
229	227, 228	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ (𝑓‘𝑥) = 0)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) = 0)
230	229, 86	eqeltrdi 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ (𝑓‘𝑥) = 0)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
231	230	expr 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑓‘𝑥) = 0 → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
232	224, 231	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (¬ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
233	232	rexlimdva 3130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (∃𝑥 ∈ 𝑅 ¬ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
234	219, 233	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
235	218, 234	pm2.61d 179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
236	235	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) → ((𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
237	236	alrimdv 1929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) → ∀𝑓((𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
238		feq1 6630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ:𝑅⟶ℕ0 ↔ 𝑓:𝑅⟶ℕ0))
239		fveq1 6821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ‘𝑘) = (𝑓‘𝑘))
240	239	sumeq2sdv 15610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ℎ = 𝑓 → Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘))
241	240	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1) ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)))
242	238, 241	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℎ = 𝑓 → ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) ↔ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))))
243		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℎ = 𝑓 → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) = ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓))
244	243	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
245	242, 244	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) ↔ ((𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
246	245	cbvalvw 2036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) ↔ ∀𝑓((𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
247	237, 246	imbitrrdi 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)))
248	247	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)))
249	248	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0))))
250	249	a2d 29	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) → (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0))))
251	36, 41, 46, 51, 94, 250	nn0ind 12571	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ0 → (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)))
252	251	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ0 → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)))
253	252	adantrl 716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ0 → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)))
254	31, 253	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0))
255	240	biantrud 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ:𝑅⟶ℕ0 ↔ (ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘))))
256	255, 238	bitr3d 281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ = 𝑓 → ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) ↔ 𝑓:𝑅⟶ℕ0))
257	256, 244	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) ↔ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
258	257	spvv 1988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) → (𝑓:𝑅⟶ℕ0 → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
259	254, 29, 258	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
260	259	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)) → (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
261	260	ralrimdva 3129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
262	27, 261	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
263	262	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑅 ∈ Fin → (∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
264	263	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0) → (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
265	8, 12, 16, 20, 24, 264	nn0ind 12571	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
266	265	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ Fin) → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
267		oveq2 7357	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑀 Ramsey 𝑓) = (𝑀 Ramsey 𝐹))
268	267	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0))
269	268	rspccv 3574	. . . 4 ⊢ (∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0))
270	266, 269	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0))
271	4, 270	sylbird 260	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ Fin) → (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0))
272	271	3impia 1117	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  ifcif 4476  {csn 4577   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173   × cxp 5617   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ↑_m cmap 8753  Fincfn 8872  ℂcc 11007  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   ≤ cle 11150   − cmin 11347  ℕcn 12128  ℕ₀cn0 12384  ♯chash 14237  Σcsu 15593   Ramsey cram 16911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-oadd 8392  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-ico 13254  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-ram 16913

This theorem is referenced by:  ramsey  16942