Theorem ramcl 17111

Description: Ramsey's theorem: the Ramsey number is an integer for every finite coloring and set of upper bounds. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ramcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem ramcl

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑔 ℎ 𝑘 𝑚 𝑛 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ex 12525	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
2		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ Fin)
3		elmapg 8842	. . . 4 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅) ↔ 𝐹:𝑅⟶ℕ0))
4	1, 2, 3	sylancr 599	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅) ↔ 𝐹:𝑅⟶ℕ0))
5		oveq1 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 Ramsey 𝑓) = (0 Ramsey 𝑓))
6	5	eleq1d 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ (0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
7	6	ralbidv 3190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
8	7	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
9		oveq1 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (𝑥 Ramsey 𝑓) = (𝑚 Ramsey 𝑓))
10	9	eleq1d 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
11	10	ralbidv 3190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
12	11	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
13		oveq1 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → (𝑥 Ramsey 𝑓) = ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓))
14	13	eleq1d 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
15	14	ralbidv 3190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → (∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
16	15	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
17		oveq1 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 Ramsey 𝑓) = (𝑀 Ramsey 𝑓))
18	17	eleq1d 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
19	18	ralbidv 3190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
20	19	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
21		elmapi 8852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
22		0ramcl 17105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
23	21, 22	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)) → (0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
24	23	ralrimiva 3159	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
25		oveq2 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑚 Ramsey 𝑓) = (𝑚 Ramsey 𝑔))
26	25	eleq1d 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0))
27	26	cbvralvw 3245	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)
28		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → 𝑅 ∈ Fin)
29	21	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
30	29	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ0)
31	28, 30	fsumnn0cl 15810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ0)
32		eqeq2 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 0 → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0))
33	32	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 0 → ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) ↔ (ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0)))
34	33	imbi1d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 0 → (((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) ↔ ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)))
35	34	albidv 1953	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) ↔ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)))
36	35	imbi2d 343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0))))
37		eqeq2 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛))
38	37	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) ↔ (ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛)))
39	38	imbi1d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) ↔ ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)))
40	39	albidv 1953	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) ↔ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)))
41	40	imbi2d 343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0))))
42		eqeq2 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)))
43	42	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) ↔ (ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1))))
44	43	imbi1d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) ↔ ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)))
45	44	albidv 1953	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) ↔ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)))
46	45	imbi2d 343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0))))
47		eqeq2 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)))
48	47	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) → ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) ↔ (ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘))))
49	48	imbi1d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) → (((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) ↔ ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)))
50	49	albidv 1953	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) ↔ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)))
51	50	imbi2d 343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0))))
52		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) → 𝑅 ∈ Fin)
53		ffvelcdm 7080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (ℎ‘𝑘) ∈ ℕ0)
54	53	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (ℎ‘𝑘) ∈ ℕ0)
55	54	nn0red 12581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (ℎ‘𝑘) ∈ ℝ)
56	54	nn0ge0d 12583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → 0 ≤ (ℎ‘𝑘))
57	52, 55, 56	fsum00 15873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0))
58		fvex 6898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℎ‘𝑘) ∈ V
59	58	rgenw 3085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) ∈ V
60		mpteqb 7013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) ∈ V → ((𝑘 ∈ 𝑅 ↦ (ℎ‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0))
61	59, 60	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑅 ↦ (ℎ‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0)
62	57, 61	bitr4di 292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0 ↔ (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ (ℎ‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0)))
63		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) → ℎ:𝑅⟶ℕ0)
64	63	feqmptd 6953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) → ℎ = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ (ℎ‘𝑘)))
65		fconstmpt 5725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 × {0}) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0)
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) → (𝑅 × {0}) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0))
67	64, 66	eqeq12d 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) → (ℎ = (𝑅 × {0}) ↔ (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ (ℎ‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0)))
68	62, 67	bitr4d 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0 ↔ ℎ = (𝑅 × {0})))
69		xpeq1 5677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑅 = ∅ → (𝑅 × {0}) = (∅ × {0}))
70		0xp 5762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (∅ × {0}) = ∅
71	69, 70	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑅 = ∅ → (𝑅 × {0}) = ∅)
72	71	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 = ∅ → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = ((𝑚 + 1) Ramsey ∅))
73		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
74		peano2nn0 12559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
75	73, 74	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
76		ram0 17104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) Ramsey ∅) = (𝑚 + 1))
77	75, 76	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ∅) = (𝑚 + 1))
78	72, 77	sylan9eqr 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = (𝑚 + 1))
79	75	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
80	78, 79	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ0)
81	75	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
82		simp-4l 795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ Fin)
83		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ≠ ∅)
84		ramz 17107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
85	81, 82, 83, 84	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
86		0nn0 12534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℕ0
87	85, 86	eqeltrdi 2873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ0)
88	80, 87	pm2.61dane 3047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ0)
89		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = (𝑅 × {0}) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) = ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})))
90	89	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = (𝑅 × {0}) → (((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ0))
91	88, 90	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) → (ℎ = (𝑅 × {0}) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0))
92	68, 91	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0 → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0))
93	92	expimpd 459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0))
94	93	alrimiv 1960	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0))
95		ffn 6709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 → 𝑓 Fn 𝑅)
96	95	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → 𝑓 Fn 𝑅)
97		ffnfv 7118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓:𝑅⟶ℕ ↔ (𝑓 Fn 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ))
98	97	baib 545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 Fn 𝑅 → (𝑓:𝑅⟶ℕ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ))
99	96, 98	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (𝑓:𝑅⟶ℕ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ))
100		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
101	100	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
102	101, 74	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
103		simp-4l 795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑅 ∈ Fin)
104		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑓:𝑅⟶ℕ)
105		nnssnn0 12522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
106		fss 6726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ ℕ ⊆ ℕ0) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
107	104, 105, 106	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
108	101	nn0cnd 12582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑚 ∈ ℂ)
109		ax-1cn 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 1 ∈ ℂ
110		pncan 11478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
111	108, 109, 110	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
112	111	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) = (𝑚 Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))))
113		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) → (𝑚 Ramsey 𝑔) = (𝑚 Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))))
114	113	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) → ((𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) ∈ ℕ0))
115		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)
116	115	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)
117	103	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑅 ∈ Fin)
118	117	mptexd 7229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) ∈ V)
119		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0))
120	104	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)
121		nnm1nn0 12560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → ((𝑓‘𝑥) − 1) ∈ ℕ0)
122	120, 121	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑓‘𝑥) − 1) ∈ ℕ0)
123	122	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → ((𝑓‘𝑥) − 1) ∈ ℕ0)
124	107	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
125	124	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℕ0)
126	123, 125	ifcld 4536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)) ∈ ℕ0)
127	126	fmpttd 7114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ0)
128		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑓:𝑅⟶ℕ)
129		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝑅)
130		ffvelcdm 7080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ)
131	130	3ad2antl2 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ)
132	131	nncnd 12264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℂ)
133	132	subid1d 11573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → ((𝑓‘𝑘) − 0) = (𝑓‘𝑘))
134	133	ifeq2d 4510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑘) − 1), ((𝑓‘𝑘) − 0)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑘) − 1), (𝑓‘𝑘)))
135		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑓‘𝑘) = (𝑓‘𝑥))
136	135	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝑓‘𝑘) = (𝑓‘𝑥))
137	136	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝑓‘𝑘) − 1) = ((𝑓‘𝑥) − 1))
138	137	ifeq1da 4521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑘) − 1), (𝑓‘𝑘)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)))
139	134, 138	eqtr2d 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑘) − 1), ((𝑓‘𝑘) − 0)))
140		ovif2 7518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑓‘𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑘) − 1), ((𝑓‘𝑘) − 0))
141	139, 140	eqtr4di 2818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = ((𝑓‘𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)))
142	141	sumeq2dv 15777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 ((𝑓‘𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)))
143		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑅 ∈ Fin)
144		0cn 11213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ 0 ∈ ℂ
145	109, 144	ifcli 4537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ if(𝑘 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℂ
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℂ)
147	143, 132, 146	fsumsub 15862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 ((𝑓‘𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)))
148		elsng 4605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑅 → (𝑘 ∈ {𝑥} ↔ 𝑘 = 𝑥))
149	148	ifbid 4513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑅 → if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = if(𝑘 = 𝑥, 1, 0))
150	149	sumeq2i 15773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)
151		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝑅)
152	151	snssd 4754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → {𝑥} ⊆ 𝑅)
153		sumhash 16978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ {𝑥} ⊆ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = (♯‘{𝑥}))
154	143, 152, 153	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = (♯‘{𝑥}))
155		hashsng 14423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅 → (♯‘{𝑥}) = 1)
156	151, 155	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (♯‘{𝑥}) = 1)
157	154, 156	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = 1)
158	150, 157	eqtr3id 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0) = 1)
159	158	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − 1))
160	142, 147, 159	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − 1))
161	117, 128, 129, 160	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − 1))
162		simplrl 789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))
163	162	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − 1) = ((𝑛 + 1) − 1))
164		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
165	164	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑛 ∈ ℕ0)
166	165	nn0cnd 12582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑛 ∈ ℂ)
167		pncan 11478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
168	166, 109, 167	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
169	161, 163, 168	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛)
170	127, 169	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛))
171		feq1 6687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → (ℎ:𝑅⟶ℕ0 ↔ (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ0))
172		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → (ℎ‘𝑘) = ((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))‘𝑘))
173		equequ1 2058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑘 = 𝑥))
174		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝑘))
175	173, 174	ifbieq2d 4516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)))
176		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))
177		ovex 7452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑓‘𝑥) − 1) ∈ V
178		fvex 6898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑓‘𝑘) ∈ V
179	177, 178	ifex 4540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) ∈ V
180	175, 176, 179	fvmpt 6993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑅 → ((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))‘𝑘) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)))
181	172, 180	sylan9eq 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (ℎ‘𝑘) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)))
182	181	sumeq2dv 15777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)))
183	182	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛))
184	171, 183	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) ↔ ((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛)))
185		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) = ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))
186	185	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → (((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))) ∈ ℕ0))
187	184, 186	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → (((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) ↔ (((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))) ∈ ℕ0)))
188	187	spcgv 3557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) ∈ V → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) → (((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))) ∈ ℕ0)))
189	118, 119, 170, 188	syl3c 67	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))) ∈ ℕ0)
190	189	fmpttd 7114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))):𝑅⟶ℕ0)
191		elmapg 8842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))):𝑅⟶ℕ0))
192	1, 103, 191	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))):𝑅⟶ℕ0))
193	190, 192	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅))
194	114, 116, 193	rspcdva 3584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑚 Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) ∈ ℕ0)
195	112, 194	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) ∈ ℕ0)
196		peano2nn0 12559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) ∈ ℕ0 → ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) + 1) ∈ ℕ0)
197	195, 196	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) + 1) ∈ ℕ0)
198		nn0p1nn 12558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
199	100, 198	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
200	199	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
201		equequ1 2058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑤 = 𝑥))
202		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝑤))
203	201, 202	ifbieq2d 4516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)) = if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑤)))
204	203	cbvmptv 5217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) = (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑤)))
205		eqeq2 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑤 = 𝑥 ↔ 𝑤 = 𝑧))
206		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑧))
207	206	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑓‘𝑥) − 1) = ((𝑓‘𝑧) − 1))
208	205, 207	ifbieq1d 4514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑤)) = if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓‘𝑧) − 1), (𝑓‘𝑤)))
209	208	mpteq2dv 5207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑤))) = (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓‘𝑧) − 1), (𝑓‘𝑤))))
210	204, 209	eqtrid 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) = (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓‘𝑧) − 1), (𝑓‘𝑤))))
211	210	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))) = ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓‘𝑧) − 1), (𝑓‘𝑤)))))
212	211	cbvmptv 5217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) = (𝑧 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓‘𝑧) − 1), (𝑓‘𝑤)))))
213	200, 103, 104, 212, 190, 195	ramub1 17110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ≤ ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) + 1))
214		ramubcl 17100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑚 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ0) ∧ (((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ≤ ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) + 1))) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
215	102, 103, 107, 197, 213, 214	syl32anc 1405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
216	215	expr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → (𝑓:𝑅⟶ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
217	216	adantrl 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (𝑓:𝑅⟶ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
218	99, 217	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
219		rexnal 3119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑅 ¬ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)
220		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
221	220	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ0)
222		elnn0 12521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑓‘𝑥) = 0))
223	221, 222	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑓‘𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑓‘𝑥) = 0))
224	223	ord 878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (¬ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → (𝑓‘𝑥) = 0))
225	199	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
226		simp-4l 795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → 𝑅 ∈ Fin)
227	225, 226, 220	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → ((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ0))
228		ramz2 17106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ (𝑓‘𝑥) = 0)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) = 0)
229	227, 228	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ (𝑓‘𝑥) = 0)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) = 0)
230	229, 86	eqeltrdi 2873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ (𝑓‘𝑥) = 0)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
231	230	expr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑓‘𝑥) = 0 → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
232	224, 231	syld 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (¬ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
233	232	rexlimdva 3168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (∃𝑥 ∈ 𝑅 ¬ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
234	219, 233	biimtrrid 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
235	218, 234	pm2.61d 181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
236	235	exp31 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) → ((𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
237	236	alrimdv 1962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) → ∀𝑓((𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
238		feq1 6687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ:𝑅⟶ℕ0 ↔ 𝑓:𝑅⟶ℕ0))
239		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ‘𝑘) = (𝑓‘𝑘))
240	239	sumeq2sdv 15778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ℎ = 𝑓 → Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘))
241	240	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1) ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)))
242	238, 241	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℎ = 𝑓 → ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) ↔ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))))
243		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℎ = 𝑓 → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) = ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓))
244	243	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
245	242, 244	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) ↔ ((𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
246	245	cbvalvw 2069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) ↔ ∀𝑓((𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
247	237, 246	imbitrrdi 255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)))
248	247	anassrs 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)))
249	248	expcom 419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0))))
250	249	a2d 30	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)) → (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0))))
251	36, 41, 46, 51, 94, 250	nn0ind 12707	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ0 → (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)))
252	251	com12 33	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ0 → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)))
253	252	adantrl 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ0 → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0)))
254	31, 253	mpd 16	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0))
255	240	biantrud 541	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ:𝑅⟶ℕ0 ↔ (ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘))))
256	255, 238	bitr3d 284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ = 𝑓 → ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) ↔ 𝑓:𝑅⟶ℕ0))
257	256, 244	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) ↔ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
258	257	spvv 2021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ0) → (𝑓:𝑅⟶ℕ0 → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
259	254, 29, 258	sylc 66	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
260	259	expr 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)) → (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
261	260	ralrimdva 3167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∀𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
262	27, 261	biimtrid 245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
263	262	expcom 419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑅 ∈ Fin → (∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
264	263	a2d 30	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0) → (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
265	8, 12, 16, 20, 24, 264	nn0ind 12707	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
266	265	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ Fin) → ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
267		oveq2 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑀 Ramsey 𝑓) = (𝑀 Ramsey 𝐹))
268	267	eleq1d 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0))
269	268	rspccv 3580	. . . 4 ⊢ (∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0))
270	266, 269	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0))
271	4, 270	sylbird 263	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ Fin) → (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0))
272	271	3impia 1135	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  ifcif 4489  {csn 4591   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8830  Fincfn 8949  ℂcc 11113  0cc0 11115  1c1 11116   + caddc 11118   ≤ cle 11259   − cmin 11456  ℕcn 12248  ℕ₀cn0 12519  ♯chash 14384  Σcsu 15761   Ramsey cram 17081

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12520  df-xnn0 12593  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-ico 13394  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-seq 14056  df-exp 14116  df-fac 14328  df-bc 14357  df-hash 14385  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-clim 15563  df-sum 15762  df-ram 17083

This theorem is used by:  ramsey  17112