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Theorem ramcl 16901
Description: Ramsey's theorem: the Ramsey number is an integer for every finite coloring and set of upper bounds. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ramcl ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem ramcl
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑔 𝑘 𝑚 𝑛 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0ex 12419 . . . 4 0 ∈ V
2 simpr 485 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ Fin)
3 elmapg 8778 . . . 4 ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ (ℕ0m 𝑅) ↔ 𝐹:𝑅⟶ℕ0))
41, 2, 3sylancr 587 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ (ℕ0m 𝑅) ↔ 𝐹:𝑅⟶ℕ0))
5 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥 Ramsey 𝑓) = (0 Ramsey 𝑓))
65eleq1d 2822 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ (0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
76ralbidv 3174 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
87imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
9 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑚 → (𝑥 Ramsey 𝑓) = (𝑚 Ramsey 𝑓))
109eleq1d 2822 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑚 → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
1110ralbidv 3174 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑚 → (∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
1211imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑚 → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
13 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (𝑥 Ramsey 𝑓) = ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓))
1413eleq1d 2822 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
1514ralbidv 3174 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
1615imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
17 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 Ramsey 𝑓) = (𝑀 Ramsey 𝑓))
1817eleq1d 2822 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑀 → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
1918ralbidv 3174 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
2019imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
21 elmapi 8787 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
22 0ramcl 16895 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ0) → (0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
2321, 22sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)) → (0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
2423ralrimiva 3143 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
25 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑔 → (𝑚 Ramsey 𝑓) = (𝑚 Ramsey 𝑔))
2625eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0))
2726cbvralvw 3225 . . . . . . . . 9 (∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)
28 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → 𝑅 ∈ Fin)
2921ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
3029ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘𝑅) → (𝑓𝑘) ∈ ℕ0)
3128, 30fsumnn0cl 15621 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) ∈ ℕ0)
32 eqeq2 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0))
3332anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) ↔ (:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0)))
3433imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 0 → (((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
3534albidv 1923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 0 → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
3635imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 0 → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))))
37 eqeq2 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑛 → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛))
3837anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑛 → ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) ↔ (:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛)))
3938imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑛 → (((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
4039albidv 1923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑛 → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
4140imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑛 → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))))
42 eqeq2 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)))
4342anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) ↔ (:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1))))
4443imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
4544albidv 1923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
4645imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))))
47 eqeq2 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)))
4847anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) → ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) ↔ (:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘))))
4948imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) → (((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
5049albidv 1923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
5150imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))))
52 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → 𝑅 ∈ Fin)
53 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((:𝑅⟶ℕ0𝑘𝑅) → (𝑘) ∈ ℕ0)
5453adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑘𝑅) → (𝑘) ∈ ℕ0)
5554nn0red 12474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑘𝑅) → (𝑘) ∈ ℝ)
5654nn0ge0d 12476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑘𝑅) → 0 ≤ (𝑘))
5752, 55, 56fsum00 15683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0 ↔ ∀𝑘𝑅 (𝑘) = 0))
58 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘) ∈ V
5958rgenw 3068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑘𝑅 (𝑘) ∈ V
60 mpteqb 6967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑘𝑅 (𝑘) ∈ V → ((𝑘𝑅 ↦ (𝑘)) = (𝑘𝑅 ↦ 0) ↔ ∀𝑘𝑅 (𝑘) = 0))
6159, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘𝑅 ↦ (𝑘)) = (𝑘𝑅 ↦ 0) ↔ ∀𝑘𝑅 (𝑘) = 0)
6257, 61bitr4di 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0 ↔ (𝑘𝑅 ↦ (𝑘)) = (𝑘𝑅 ↦ 0)))
63 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → :𝑅⟶ℕ0)
6463feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → = (𝑘𝑅 ↦ (𝑘)))
65 fconstmpt 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑅 × {0}) = (𝑘𝑅 ↦ 0)
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → (𝑅 × {0}) = (𝑘𝑅 ↦ 0))
6764, 66eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → ( = (𝑅 × {0}) ↔ (𝑘𝑅 ↦ (𝑘)) = (𝑘𝑅 ↦ 0)))
6862, 67bitr4d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0 ↔ = (𝑅 × {0})))
69 xpeq1 5647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑅 = ∅ → (𝑅 × {0}) = (∅ × {0}))
70 0xp 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (∅ × {0}) = ∅
7169, 70eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑅 = ∅ → (𝑅 × {0}) = ∅)
7271oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑅 = ∅ → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = ((𝑚 + 1) Ramsey ∅))
73 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
74 peano2nn0 12453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
76 ram0 16894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑚 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) Ramsey ∅) = (𝑚 + 1))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ∅) = (𝑚 + 1))
7872, 77sylan9eqr 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = (𝑚 + 1))
7975adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
8078, 79eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 = ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ0)
8175adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
82 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ Fin)
83 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ≠ ∅)
84 ramz 16897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑚 + 1) ∈ ℕ0𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
8581, 82, 83, 84syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
86 0nn0 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℕ0
8785, 86eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ0)
8880, 87pm2.61dane 3032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ0)
89 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ( = (𝑅 × {0}) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) = ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})))
9089eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( = (𝑅 × {0}) → (((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ0))
9188, 90syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → ( = (𝑅 × {0}) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))
9268, 91sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ :𝑅⟶ℕ0) → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0 → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))
9392expimpd 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))
9493alrimiv 1930 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))
95 ffn 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓:𝑅⟶ℕ0𝑓 Fn 𝑅)
9695ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → 𝑓 Fn 𝑅)
97 ffnfv 7066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓:𝑅⟶ℕ ↔ (𝑓 Fn 𝑅 ∧ ∀𝑥𝑅 (𝑓𝑥) ∈ ℕ))
9897baib 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 Fn 𝑅 → (𝑓:𝑅⟶ℕ ↔ ∀𝑥𝑅 (𝑓𝑥) ∈ ℕ))
9996, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → (𝑓:𝑅⟶ℕ ↔ ∀𝑥𝑅 (𝑓𝑥) ∈ ℕ))
100 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
101100ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
102101, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
103 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑅 ∈ Fin)
104 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑓:𝑅⟶ℕ)
105 nnssnn0 12416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ℕ ⊆ ℕ0
106 fss 6685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ ℕ ⊆ ℕ0) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
107104, 105, 106sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
108101nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑚 ∈ ℂ)
109 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1 ∈ ℂ
110 pncan 11407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
111108, 109, 110sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
112111oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) = (𝑚 Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))))
113 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑔 = (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))))) → (𝑚 Ramsey 𝑔) = (𝑚 Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))))
114113eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑔 = (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))))) → ((𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) ∈ ℕ0))
115 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)
116115ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)
117103adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → 𝑅 ∈ Fin)
118117mptexd 7174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) ∈ V)
119 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))
120104ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → (𝑓𝑥) ∈ ℕ)
121 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑓𝑥) ∈ ℕ → ((𝑓𝑥) − 1) ∈ ℕ0)
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → ((𝑓𝑥) − 1) ∈ ℕ0)
123122adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑦𝑅) → ((𝑓𝑥) − 1) ∈ ℕ0)
124107adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
125124ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑦𝑅) → (𝑓𝑦) ∈ ℕ0)
126123, 125ifcld 4532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑦𝑅) → if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)) ∈ ℕ0)
127126fmpttd 7063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))):𝑅⟶ℕ0)
128 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → 𝑓:𝑅⟶ℕ)
129 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → 𝑥𝑅)
130 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑘𝑅) → (𝑓𝑘) ∈ ℕ)
1311303ad2antl2 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) → (𝑓𝑘) ∈ ℕ)
132131nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) → (𝑓𝑘) ∈ ℂ)
133132subid1d 11501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) → ((𝑓𝑘) − 0) = (𝑓𝑘))
134133ifeq2d 4506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑘) − 1), ((𝑓𝑘) − 0)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑘) − 1), (𝑓𝑘)))
135 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑘 = 𝑥 → (𝑓𝑘) = (𝑓𝑥))
136135adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝑓𝑘) = (𝑓𝑥))
137136oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝑓𝑘) − 1) = ((𝑓𝑥) − 1))
138137ifeq1da 4517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑘) − 1), (𝑓𝑘)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)))
139134, 138eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑘) − 1), ((𝑓𝑘) − 0)))
140 ovif2 7455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑓𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑘) − 1), ((𝑓𝑘) − 0))
141139, 140eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = ((𝑓𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)))
142141sumeq2dv 15588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = Σ𝑘𝑅 ((𝑓𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)))
143 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → 𝑅 ∈ Fin)
144 0cn 11147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 0 ∈ ℂ
145109, 144ifcli 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℂ
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) ∧ 𝑘𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℂ)
147143, 132, 146fsumsub 15673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → Σ𝑘𝑅 ((𝑓𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)) = (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) − Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)))
148 elsng 4600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑘𝑅 → (𝑘 ∈ {𝑥} ↔ 𝑘 = 𝑥))
149148ifbid 4509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑘𝑅 → if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = if(𝑘 = 𝑥, 1, 0))
150149sumeq2i 15584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Σ𝑘𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)
151 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → 𝑥𝑅)
152151snssd 4769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → {𝑥} ⊆ 𝑅)
153 sumhash 16768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑅 ∈ Fin ∧ {𝑥} ⊆ 𝑅) → Σ𝑘𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = (♯‘{𝑥}))
154143, 152, 153syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → Σ𝑘𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = (♯‘{𝑥}))
155 hashsng 14269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥𝑅 → (♯‘{𝑥}) = 1)
156151, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → (♯‘{𝑥}) = 1)
157154, 156eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → Σ𝑘𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = 1)
158150, 157eqtr3id 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0) = 1)
159158oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) − Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)) = (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) − 1))
160142, 147, 1593eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥𝑅) → Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) − 1))
161117, 128, 129, 160syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) − 1))
162 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))
163162oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) − 1) = ((𝑛 + 1) − 1))
164 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
165164ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → 𝑛 ∈ ℕ0)
166165nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → 𝑛 ∈ ℂ)
167 pncan 11407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
168166, 109, 167sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
169161, 163, 1683eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = 𝑛)
170127, 169jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → ((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))):𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = 𝑛))
171 feq1 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ( = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) → (:𝑅⟶ℕ0 ↔ (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))):𝑅⟶ℕ0))
172 fveq1 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ( = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) → (𝑘) = ((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))‘𝑘))
173 equequ1 2028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑦 = 𝑘 → (𝑦 = 𝑥𝑘 = 𝑥))
174 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑦 = 𝑘 → (𝑓𝑦) = (𝑓𝑘))
175173, 174ifbieq2d 4512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑦 = 𝑘 → if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)))
176 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))
177 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑓𝑥) − 1) ∈ V
178 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑓𝑘) ∈ V
179177, 178ifex 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) ∈ V
180175, 176, 179fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑘𝑅 → ((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))‘𝑘) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)))
181172, 180sylan9eq 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (( = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) ∧ 𝑘𝑅) → (𝑘) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)))
182181sumeq2dv 15588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ( = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) → Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)))
183182eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ( = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛 ↔ Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = 𝑛))
184171, 183anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ( = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) → ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) ↔ ((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))):𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = 𝑛)))
185 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ( = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) = ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))
186185eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ( = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) → (((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))) ∈ ℕ0))
187184, 186imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ( = (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) → (((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ (((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))):𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))) ∈ ℕ0)))
188187spcgv 3555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) ∈ V → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) → (((𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))):𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑘)) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))) ∈ ℕ0)))
189118, 119, 170, 188syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥𝑅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))) ∈ ℕ0)
190189fmpttd 7063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))))):𝑅⟶ℕ0)
191 elmapg 8778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Fin) → ((𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))))) ∈ (ℕ0m 𝑅) ↔ (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))))):𝑅⟶ℕ0))
1921, 103, 191sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))))) ∈ (ℕ0m 𝑅) ↔ (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))))):𝑅⟶ℕ0))
193190, 192mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))))) ∈ (ℕ0m 𝑅))
194114, 116, 193rspcdva 3582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑚 Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) ∈ ℕ0)
195112, 194eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) ∈ ℕ0)
196 peano2nn0 12453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) ∈ ℕ0 → ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) + 1) ∈ ℕ0)
197195, 196syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) + 1) ∈ ℕ0)
198 nn0p1nn 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
199100, 198syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
200199ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
201 equequ1 2028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 = 𝑥𝑤 = 𝑥))
202 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑦 = 𝑤 → (𝑓𝑦) = (𝑓𝑤))
203201, 202ifbieq2d 4512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑦 = 𝑤 → if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)) = if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑤)))
204203cbvmptv 5218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) = (𝑤𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑤)))
205 eqeq2 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 = 𝑧 → (𝑤 = 𝑥𝑤 = 𝑧))
206 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 = 𝑧 → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑧))
207206oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑓𝑥) − 1) = ((𝑓𝑧) − 1))
208205, 207ifbieq1d 4510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 = 𝑧 → if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑤)) = if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓𝑧) − 1), (𝑓𝑤)))
209208mpteq2dv 5207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 = 𝑧 → (𝑤𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑤))) = (𝑤𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓𝑧) − 1), (𝑓𝑤))))
210204, 209eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 = 𝑧 → (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))) = (𝑤𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓𝑧) − 1), (𝑓𝑤))))
211210oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))) = ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑤𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓𝑧) − 1), (𝑓𝑤)))))
212211cbvmptv 5218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦))))) = (𝑧𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑤𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓𝑧) − 1), (𝑓𝑤)))))
213200, 103, 104, 212, 190, 195ramub1 16900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ≤ ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) + 1))
214 ramubcl 16890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑚 + 1) ∈ ℕ0𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ0) ∧ (((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ≤ ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓𝑥) − 1), (𝑓𝑦)))))) + 1))) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
215102, 103, 107, 197, 213, 214syl32anc 1378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
216215expr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1)) → (𝑓:𝑅⟶ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
217216adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → (𝑓:𝑅⟶ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
21899, 217sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → (∀𝑥𝑅 (𝑓𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
219 rexnal 3103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∃𝑥𝑅 ¬ (𝑓𝑥) ∈ ℕ ↔ ¬ ∀𝑥𝑅 (𝑓𝑥) ∈ ℕ)
220 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → 𝑓:𝑅⟶ℕ0)
221220ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥𝑅) → (𝑓𝑥) ∈ ℕ0)
222 elnn0 12415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑓𝑥) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑓𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑓𝑥) = 0))
223221, 222sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥𝑅) → ((𝑓𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑓𝑥) = 0))
224223ord 862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥𝑅) → (¬ (𝑓𝑥) ∈ ℕ → (𝑓𝑥) = 0))
225199ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
226 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → 𝑅 ∈ Fin)
227225, 226, 2203jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → ((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ0))
228 ramz2 16896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ0) ∧ (𝑥𝑅 ∧ (𝑓𝑥) = 0)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) = 0)
229227, 228sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ (𝑥𝑅 ∧ (𝑓𝑥) = 0)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) = 0)
230229, 86eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ (𝑥𝑅 ∧ (𝑓𝑥) = 0)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
231230expr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥𝑅) → ((𝑓𝑥) = 0 → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
232224, 231syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥𝑅) → (¬ (𝑓𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
233232rexlimdva 3152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → (∃𝑥𝑅 ¬ (𝑓𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
234219, 233biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → (¬ ∀𝑥𝑅 (𝑓𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
235218, 234pm2.61d 179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
236235exp31 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) → ((𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
237236alrimdv 1932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) → ∀𝑓((𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
238 feq1 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( = 𝑓 → (:𝑅⟶ℕ0𝑓:𝑅⟶ℕ0))
239 fveq1 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ( = 𝑓 → (𝑘) = (𝑓𝑘))
240239sumeq2sdv 15589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ( = 𝑓 → Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘))
241240eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( = 𝑓 → (Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1) ↔ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1)))
242238, 241anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( = 𝑓 → ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) ↔ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1))))
243 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( = 𝑓 → ((𝑚 + 1) Ramsey ) = ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓))
244243eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( = 𝑓 → (((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
245242, 244imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ( = 𝑓 → (((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ((𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
246245cbvalvw 2039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ ∀𝑓((𝑓:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
247237, 246syl6ibr 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
248247anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
249248expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))))
250249a2d 29 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)) → (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))))
25136, 41, 46, 51, 94, 250nn0ind 12598 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝑅 (𝑓𝑘) ∈ ℕ0 → (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
252251com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0) → (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) ∈ ℕ0 → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
253252adantrl 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → (Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘) ∈ ℕ0 → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0)))
25431, 253mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → ∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0))
255240biantrud 532 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = 𝑓 → (:𝑅⟶ℕ0 ↔ (:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘))))
256255, 238bitr3d 280 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = 𝑓 → ((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) ↔ 𝑓:𝑅⟶ℕ0))
257256, 244imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 ( = 𝑓 → (((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) ↔ (𝑓:𝑅⟶ℕ0 → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
258257spvv 2000 . . . . . . . . . . . 12 (∀((:𝑅⟶ℕ0 ∧ Σ𝑘𝑅 (𝑘) = Σ𝑘𝑅 (𝑓𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ) ∈ ℕ0) → (𝑓:𝑅⟶ℕ0 → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
259254, 29, 258sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
260259expr 457 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)) → (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
261260ralrimdva 3151 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∀𝑔 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ0 → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
26227, 261biimtrid 241 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
263262expcom 414 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑅 ∈ Fin → (∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
264263a2d 29 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0) → (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)))
2658, 12, 16, 20, 24, 264nn0ind 12598 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0))
266265imp 407 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ Fin) → ∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0)
267 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (𝑀 Ramsey 𝑓) = (𝑀 Ramsey 𝐹))
268267eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0))
269268rspccv 3578 . . . 4 (∀𝑓 ∈ (ℕ0m 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ (ℕ0m 𝑅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0))
270266, 269syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ (ℕ0m 𝑅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0))
2714, 270sylbird 259 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ Fin) → (𝐹:𝑅⟶ℕ0 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0))
2722713impia 1117 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087  wal 1539   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  wss 3910  c0 4282  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  Fincfn 8883  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  0cn0 12413  chash 14230  Σcsu 15570   Ramsey cram 16871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-ram 16873
This theorem is referenced by:  ramsey  16902
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