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Theorem ramcl 16221

Description: Ramsey's theorem: the Ramsey number is an integer for every finite coloring and set of upper bounds. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
ramcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ₀) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ₀)

Proof of Theorem ramcl Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑔 ℎ 𝑘 𝑚 𝑛 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ex 11714	. . . 4 ⊢ ℕ₀ ∈ V
2		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑅 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ Fin)
3		elmapg 8219	. . . 4 ⊢ ((ℕ₀ ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ↔ 𝐹:𝑅⟶ℕ₀))
4	1, 2, 3	sylancr 578	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑅 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ↔ 𝐹:𝑅⟶ℕ₀))
5		oveq1 6983	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 Ramsey 𝑓) = (0 Ramsey 𝑓))
6	5	eleq1d 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ (0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
7	6	ralbidv 3147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
8	7	imbi2d 333	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
9		oveq1 6983	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (𝑥 Ramsey 𝑓) = (𝑚 Ramsey 𝑓))
10	9	eleq1d 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ (𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
11	10	ralbidv 3147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
12	11	imbi2d 333	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
13		oveq1 6983	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → (𝑥 Ramsey 𝑓) = ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓))
14	13	eleq1d 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
15	14	ralbidv 3147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → (∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
16	15	imbi2d 333	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
17		oveq1 6983	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 Ramsey 𝑓) = (𝑀 Ramsey 𝑓))
18	17	eleq1d 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ (𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
19	18	ralbidv 3147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
20	19	imbi2d 333	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑥 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀) ↔ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
21		elmapi 8228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) → 𝑓:𝑅⟶ℕ₀)
22		0ramcl 16215	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ₀) → (0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)
23	21, 22	sylan2 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)) → (0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)
24	23	ralrimiva 3132	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(0 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)
25		oveq2 6984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑚 Ramsey 𝑓) = (𝑚 Ramsey 𝑔))
26	25	eleq1d 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ (𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀))
27	26	cbvralv 3383	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)
28		simpll 754	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)) → 𝑅 ∈ Fin)
29	21	ad2antrl 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)) → 𝑓:𝑅⟶ℕ₀)
30	29	ffvelrnda 6676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ₀)
31	28, 30	fsumnn0cl 14953	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ₀)
32		eqeq2 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 0 → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0))
33	32	anbi2d 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 0 → ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) ↔ (ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0)))
34	33	imbi1d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 0 → (((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
35	34	albidv 1879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
36	35	imbi2d 333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))))
37		eqeq2 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛))
38	37	anbi2d 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) ↔ (ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛)))
39	38	imbi1d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
40	39	albidv 1879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
41	40	imbi2d 333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))))
42		eqeq2 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)))
43	42	anbi2d 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) ↔ (ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1))))
44	43	imbi1d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
45	44	albidv 1879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
46	45	imbi2d 333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))))
47		eqeq2 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)))
48	47	anbi2d 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) → ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) ↔ (ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘))))
49	48	imbi1d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) → (((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
50	49	albidv 1879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
51	50	imbi2d 333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑥) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ↔ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))))
52		simplll 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → 𝑅 ∈ Fin)
53		ffvelrn 6674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (ℎ‘𝑘) ∈ ℕ₀)
54	53	adantll 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (ℎ‘𝑘) ∈ ℕ₀)
55	54	nn0red 11768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (ℎ‘𝑘) ∈ ℝ)
56	54	nn0ge0d 11770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → 0 ≤ (ℎ‘𝑘))
57	52, 55, 56	fsum00 15013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0))
58		fvex 6512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℎ‘𝑘) ∈ V
59	58	rgenw 3100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) ∈ V
60		mpteqb 6613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) ∈ V → ((𝑘 ∈ 𝑅 ↦ (ℎ‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0))
61	59, 60	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑅 ↦ (ℎ‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0)
62	57, 61	syl6bbr 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0 ↔ (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ (ℎ‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0)))
63		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → ℎ:𝑅⟶ℕ₀)
64	63	feqmptd 6562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → ℎ = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ (ℎ‘𝑘)))
65		fconstmpt 5464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 × {0}) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0)
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → (𝑅 × {0}) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0))
67	64, 66	eqeq12d 2793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → (ℎ = (𝑅 × {0}) ↔ (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ (ℎ‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑅 ↦ 0)))
68	62, 67	bitr4d 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0 ↔ ℎ = (𝑅 × {0})))
69		xpeq1 5421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑅 = ∅ → (𝑅 × {0}) = (∅ × {0}))
70		0xp 5499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (∅ × {0}) = ∅
71	69, 70	syl6eq 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑅 = ∅ → (𝑅 × {0}) = ∅)
72	71	oveq2d 6992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 = ∅ → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = ((𝑚 + 1) Ramsey ∅))
73		simpllr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → 𝑚 ∈ ℕ₀)
74		peano2nn0 11749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ₀)
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ₀)
76		ram0 16214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ ℕ₀ → ((𝑚 + 1) Ramsey ∅) = (𝑚 + 1))
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → ((𝑚 + 1) Ramsey ∅) = (𝑚 + 1))
78	72, 77	sylan9eqr 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑅 = ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = (𝑚 + 1))
79	75	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑅 = ∅) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ₀)
80	78, 79	eqeltrd 2866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑅 = ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ₀)
81	75	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ₀)
82		simp-4l 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ Fin)
83		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → 𝑅 ≠ ∅)
84		ramz 16217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑚 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
85	81, 82, 83, 84	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) = 0)
86		0nn0 11724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℕ₀
87	85, 86	syl6eqel 2874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) ∧ 𝑅 ≠ ∅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ₀)
88	80, 87	pm2.61dane 3055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ₀)
89		oveq2 6984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = (𝑅 × {0}) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) = ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})))
90	89	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = (𝑅 × {0}) → (((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑅 × {0})) ∈ ℕ₀))
91	88, 90	syl5ibrcom 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → (ℎ = (𝑅 × {0}) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))
92	68, 91	sylbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ ℎ:𝑅⟶ℕ₀) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0 → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))
93	92	expimpd 446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))
94	93	alrimiv 1886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 0) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))
95		ffn 6344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ → 𝑓 Fn 𝑅)
96	95	ad2antrl 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → 𝑓 Fn 𝑅)
97		ffnfv 6705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓:𝑅⟶ℕ ↔ (𝑓 Fn 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ))
98	97	baib 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 Fn 𝑅 → (𝑓:𝑅⟶ℕ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ))
99	96, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (𝑓:𝑅⟶ℕ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ))
100		simplr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → 𝑚 ∈ ℕ₀)
101	100	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑚 ∈ ℕ₀)
102	101, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ₀)
103		simp-4l 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑅 ∈ Fin)
104		simprr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑓:𝑅⟶ℕ)
105		nnssnn0 11710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ℕ ⊆ ℕ₀
106		fss 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ ℕ ⊆ ℕ₀) → 𝑓:𝑅⟶ℕ₀)
107	104, 105, 106	sylancl 577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑓:𝑅⟶ℕ₀)
108	101	nn0cnd 11769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → 𝑚 ∈ ℂ)
109		ax-1cn 10393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 1 ∈ ℂ
110		pncan 10692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
111	108, 109, 110	sylancl 577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
112	111	oveq1d 6991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) = (𝑚 Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))))
113		oveq2 6984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) → (𝑚 Ramsey 𝑔) = (𝑚 Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))))
114	113	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑔 = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) → ((𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ↔ (𝑚 Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) ∈ ℕ₀))
115		simprl 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)
116	115	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)
117	103	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑅 ∈ Fin)
118	117	mptexd 6813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) ∈ V)
119		simpllr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))
120	104	ffvelrnda 6676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)
121		nnm1nn0 11750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → ((𝑓‘𝑥) − 1) ∈ ℕ₀)
122	120, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑓‘𝑥) − 1) ∈ ℕ₀)
123	122	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → ((𝑓‘𝑥) − 1) ∈ ℕ₀)
124	107	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑓:𝑅⟶ℕ₀)
125	124	ffvelrnda 6676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑦) ∈ ℕ₀)
126	123, 125	ifcld 4395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)) ∈ ℕ₀)
127	126	fmpttd 6702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ₀)
128		simplrr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑓:𝑅⟶ℕ)
129		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝑅)
130		ffvelrn 6674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ)
131	130	3ad2antl2 1166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ)
132	131	nncnd 11457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℂ)
133	132	subid1d 10787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → ((𝑓‘𝑘) − 0) = (𝑓‘𝑘))
134	133	ifeq2d 4369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑘) − 1), ((𝑓‘𝑘) − 0)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑘) − 1), (𝑓‘𝑘)))
135		fveq2 6499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑓‘𝑘) = (𝑓‘𝑥))
136	135	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝑓‘𝑘) = (𝑓‘𝑥))
137	136	oveq1d 6991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝑓‘𝑘) − 1) = ((𝑓‘𝑥) − 1))
138	137	ifeq1da 4380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑘) − 1), (𝑓‘𝑘)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)))
139	134, 138	eqtr2d 2815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑘) − 1), ((𝑓‘𝑘) − 0)))
140		ovif2 7068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑓‘𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑘) − 1), ((𝑓‘𝑘) − 0))
141	139, 140	syl6eqr 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = ((𝑓‘𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)))
142	141	sumeq2dv 14920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 ((𝑓‘𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)))
143		simp1 1116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑅 ∈ Fin)
144		0cn 10431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ 0 ∈ ℂ
145	109, 144	ifcli 4396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ if(𝑘 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℂ
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → if(𝑘 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℂ)
147	143, 132, 146	fsumsub 15003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 ((𝑓‘𝑘) − if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)))
148		elsng 4455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑅 → (𝑘 ∈ {𝑥} ↔ 𝑘 = 𝑥))
149	148	ifbid 4372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑅 → if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = if(𝑘 = 𝑥, 1, 0))
150	149	sumeq2i 14916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)
151		simp3 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝑅)
152	151	snssd 4616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → {𝑥} ⊆ 𝑅)
153		sumhash 16088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ {𝑥} ⊆ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = (♯‘{𝑥}))
154	143, 152, 153	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = (♯‘{𝑥}))
155		hashsng 13544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅 → (♯‘{𝑥}) = 1)
156	151, 155	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (♯‘{𝑥}) = 1)
157	154, 156	eqtrd 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 ∈ {𝑥}, 1, 0) = 1)
158	150, 157	syl5eqr 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0) = 1)
159	158	oveq2d 6992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, 1, 0)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − 1))
160	142, 147, 159	3eqtrd 2818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − 1))
161	117, 128, 129, 160	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − 1))
162		simplrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))
163	162	oveq1d 6991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) − 1) = ((𝑛 + 1) − 1))
164		simplrr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
165	164	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
166	165	nn0cnd 11769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑛 ∈ ℂ)
167		pncan 10692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
168	166, 109, 167	sylancl 577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
169	161, 163, 168	3eqtrd 2818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛)
170	127, 169	jca 504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛))
171		feq1 6325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → (ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ↔ (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ₀))
172		fveq1 6498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → (ℎ‘𝑘) = ((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))‘𝑘))
173		equequ1 1982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑘 = 𝑥))
174		fveq2 6499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝑘))
175	173, 174	ifbieq2d 4375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)))
176		eqid 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))
177		ovex 7008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑓‘𝑥) − 1) ∈ V
178		fvex 6512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑓‘𝑘) ∈ V
179	177, 178	ifex 4398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) ∈ V
180	175, 176, 179	fvmpt 6595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑅 → ((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))‘𝑘) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)))
181	172, 180	sylan9eq 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑅) → (ℎ‘𝑘) = if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)))
182	181	sumeq2dv 14920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)))
183	182	eqeq1d 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛))
184	171, 183	anbi12d 621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) ↔ ((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛)))
185		oveq2 6984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) = ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))
186	185	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → (((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))) ∈ ℕ₀))
187	184, 186	imbi12d 337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (ℎ = (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) → (((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ (((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))) ∈ ℕ₀)))
188	187	spcgv 3514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) ∈ V → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) → (((𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))):𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 if(𝑘 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑘)) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))) ∈ ℕ₀)))
189	118, 119, 170, 188	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))) ∈ ℕ₀)
190	189	fmpttd 6702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))):𝑅⟶ℕ₀)
191		elmapg 8219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((ℕ₀ ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))):𝑅⟶ℕ₀))
192	1, 103, 191	sylancr 578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))):𝑅⟶ℕ₀))
193	190, 192	mpbird 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅))
194	114, 116, 193	rspcdva 3541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑚 Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) ∈ ℕ₀)
195	112, 194	eqeltrd 2866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) ∈ ℕ₀)
196		peano2nn0 11749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) ∈ ℕ₀ → ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) + 1) ∈ ℕ₀)
197	195, 196	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) + 1) ∈ ℕ₀)
198		nn0p1nn 11748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
199	100, 198	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
200	199	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
201		equequ1 1982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑤 = 𝑥))
202		fveq2 6499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝑤))
203	201, 202	ifbieq2d 4375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)) = if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑤)))
204	203	cbvmptv 5028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) = (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑤)))
205		eqeq2 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑤 = 𝑥 ↔ 𝑤 = 𝑧))
206		fveq2 6499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑧))
207	206	oveq1d 6991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑓‘𝑥) − 1) = ((𝑓‘𝑧) − 1))
208	205, 207	ifbieq1d 4373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑤)) = if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓‘𝑧) − 1), (𝑓‘𝑤)))
209	208	mpteq2dv 5023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑤))) = (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓‘𝑧) − 1), (𝑓‘𝑤))))
210	204, 209	syl5eq 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))) = (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓‘𝑧) − 1), (𝑓‘𝑤))))
211	210	oveq2d 6992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))) = ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓‘𝑧) − 1), (𝑓‘𝑤)))))
212	211	cbvmptv 5028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦))))) = (𝑧 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑤 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑤 = 𝑧, ((𝑓‘𝑧) − 1), (𝑓‘𝑤)))))
213	200, 103, 104, 212, 190, 195	ramub1 16220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ≤ ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) + 1))
214		ramubcl 16210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑚 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ₀) ∧ (((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) + 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ≤ ((((𝑚 + 1) − 1) Ramsey (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝑚 + 1) Ramsey (𝑦 ∈ 𝑅 ↦ if(𝑦 = 𝑥, ((𝑓‘𝑥) − 1), (𝑓‘𝑦)))))) + 1))) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)
215	102, 103, 107, 197, 213, 214	syl32anc 1358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1) ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)
216	215	expr 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → (𝑓:𝑅⟶ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
217	216	adantrl 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (𝑓:𝑅⟶ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
218	99, 217	sylbird 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
219		rexnal 3185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑅 ¬ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ)
220		simprl 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → 𝑓:𝑅⟶ℕ₀)
221	220	ffvelrnda 6676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ₀)
222		elnn0 11709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑓‘𝑥) = 0))
223	221, 222	sylib 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑓‘𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑓‘𝑥) = 0))
224	223	ord 850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (¬ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → (𝑓‘𝑥) = 0))
225	199	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
226		simp-4l 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → 𝑅 ∈ Fin)
227	225, 226, 220	3jca 1108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → ((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ₀))
228		ramz2 16216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑅⟶ℕ₀) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ (𝑓‘𝑥) = 0)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) = 0)
229	227, 228	sylan 572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ (𝑓‘𝑥) = 0)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) = 0)
230	229, 86	syl6eqel 2874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ (𝑓‘𝑥) = 0)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)
231	230	expr 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑓‘𝑥) = 0 → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
232	224, 231	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (¬ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
233	232	rexlimdva 3229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (∃𝑥 ∈ 𝑅 ¬ (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
234	219, 233	syl5bir 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑥) ∈ ℕ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
235	218, 234	pm2.61d 172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) ∧ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)
236	235	exp31 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) → ((𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
237	236	alrimdv 1888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) → ∀𝑓((𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
238		feq1 6325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ↔ 𝑓:𝑅⟶ℕ₀))
239		fveq1 6498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ‘𝑘) = (𝑓‘𝑘))
240	239	sumeq2sdv 14921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ℎ = 𝑓 → Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘))
241	240	eqeq1d 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1) ↔ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)))
242	238, 241	anbi12d 621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℎ = 𝑓 → ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) ↔ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1))))
243		oveq2 6984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℎ = 𝑓 → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) = ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓))
244	243	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
245	242, 244	imbi12d 337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ((𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
246	245	cbvalvw 1993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ ∀𝑓((𝑓:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
247	237, 246	syl6ibr 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀)) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
248	247	anassrs 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
249	248	expcom 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))))
250	249	a2d 29	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → ((((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = 𝑛) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)) → (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = (𝑛 + 1)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))))
251	36, 41, 46, 51, 94, 250	nn0ind 11890	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ₀ → (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
252	251	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ₀ → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
253	252	adantrl 703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)) → (Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘) ∈ ℕ₀ → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀)))
254	31, 253	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)) → ∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀))
255	240	biantrud 524	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ↔ (ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘))))
256	255, 238	bitr3d 273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ = 𝑓 → ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) ↔ 𝑓:𝑅⟶ℕ₀))
257	256, 244	imbi12d 337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) ↔ (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
258	257	spv 2324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀ℎ((ℎ:𝑅⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑘 ∈ 𝑅 (ℎ‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑅 (𝑓‘𝑘)) → ((𝑚 + 1) Ramsey ℎ) ∈ ℕ₀) → (𝑓:𝑅⟶ℕ₀ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
259	254, 29, 258	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) ∧ ∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀)) → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)
260	259	expr 449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)) → (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ → ((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
261	260	ralrimdva 3139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (∀𝑔 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑔) ∈ ℕ₀ → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
262	27, 261	syl5bi 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Fin ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
263	262	expcom 406	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → (𝑅 ∈ Fin → (∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
264	263	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → ((𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑚 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀) → (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)((𝑚 + 1) Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)))
265	8, 12, 16, 20, 24, 264	nn0ind 11890	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑅 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀))
266	265	imp 398	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑅 ∈ Fin) → ∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀)
267		oveq2 6984	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑀 Ramsey 𝑓) = (𝑀 Ramsey 𝐹))
268	267	eleq1d 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ ↔ (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ₀))
269	268	rspccv 3532	. . . 4 ⊢ (∀𝑓 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅)(𝑀 Ramsey 𝑓) ∈ ℕ₀ → (𝐹 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ₀))
270	266, 269	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑅 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ (ℕ₀ ↑_𝑚 𝑅) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ₀))
271	4, 270	sylbird 252	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑅 ∈ Fin) → (𝐹:𝑅⟶ℕ₀ → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ₀))
272	271	3impia 1097	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑅 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ₀) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ∈ ℕ₀)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 198 ∧ wa 387 ∨ wo 833 ∧ w3a 1068 ∀wal 1505 = wceq 1507 ∈ wcel 2050 ≠ wne 2967 ∀wral 3088 ∃wrex 3089 Vcvv 3415 ⊆ wss 3829 ∅c0 4178 ifcif 4350 {csn 4441 class class class wbr 4929 ↦ cmpt 5008 × cxp 5405 Fn wfn 6183 ⟶wf 6184 ‘cfv 6188 (class class class)co 6976 ↑_𝑚 cmap 8206 Fincfn 8306 ℂcc 10333 0cc0 10335 1c1 10336 + caddc 10338 ≤ cle 10475 − cmin 10670 ℕcn 11439 ℕ₀cn0 11707 ♯chash 13505 Σcsu 14903 Ramsey cram 16191

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1758 ax-4 1772 ax-5 1869 ax-6 1928 ax-7 1965 ax-8 2052 ax-9 2059 ax-10 2079 ax-11 2093 ax-12 2106 ax-13 2301 ax-ext 2750 ax-rep 5049 ax-sep 5060 ax-nul 5067 ax-pow 5119 ax-pr 5186 ax-un 7279 ax-inf2 8898 ax-cnex 10391 ax-resscn 10392 ax-1cn 10393 ax-icn 10394 ax-addcl 10395 ax-addrcl 10396 ax-mulcl 10397 ax-mulrcl 10398 ax-mulcom 10399 ax-addass 10400 ax-mulass 10401 ax-distr 10402 ax-i2m1 10403 ax-1ne0 10404 ax-1rid 10405 ax-rnegex 10406 ax-rrecex 10407 ax-cnre 10408 ax-pre-lttri 10409 ax-pre-lttrn 10410 ax-pre-ltadd 10411 ax-pre-mulgt0 10412 ax-pre-sup 10413

This theorem depends on definitions: df-bi 199 df-an 388 df-or 834 df-3or 1069 df-3an 1070 df-tru 1510 df-fal 1520 df-ex 1743 df-nf 1747 df-sb 2016 df-mo 2547 df-eu 2584 df-clab 2759 df-cleq 2771 df-clel 2846 df-nfc 2918 df-ne 2968 df-nel 3074 df-ral 3093 df-rex 3094 df-reu 3095 df-rmo 3096 df-rab 3097 df-v 3417 df-sbc 3682 df-csb 3787 df-dif 3832 df-un 3834 df-in 3836 df-ss 3843 df-pss 3845 df-nul 4179 df-if 4351 df-pw 4424 df-sn 4442 df-pr 4444 df-tp 4446 df-op 4448 df-uni 4713 df-int 4750 df-iun 4794 df-br 4930 df-opab 4992 df-mpt 5009 df-tr 5031 df-id 5312 df-eprel 5317 df-po 5326 df-so 5327 df-fr 5366 df-se 5367 df-we 5368 df-xp 5413 df-rel 5414 df-cnv 5415 df-co 5416 df-dm 5417 df-rn 5418 df-res 5419 df-ima 5420 df-pred 5986 df-ord 6032 df-on 6033 df-lim 6034 df-suc 6035 df-iota 6152 df-fun 6190 df-fn 6191 df-f 6192 df-f1 6193 df-fo 6194 df-f1o 6195 df-fv 6196 df-isom 6197 df-riota 6937 df-ov 6979 df-oprab 6980 df-mpo 6981 df-om 7397 df-1st 7501 df-2nd 7502 df-wrecs 7750 df-recs 7812 df-rdg 7850 df-1o 7905 df-2o 7906 df-oadd 7909 df-er 8089 df-map 8208 df-en 8307 df-dom 8308 df-sdom 8309 df-fin 8310 df-sup 8701 df-inf 8702 df-oi 8769 df-dju 9124 df-card 9162 df-pnf 10476 df-mnf 10477 df-xr 10478 df-ltxr 10479 df-le 10480 df-sub 10672 df-neg 10673 df-div 11099 df-nn 11440 df-2 11503 df-3 11504 df-n0 11708 df-xnn0 11780 df-z 11794 df-uz 12059 df-rp 12205 df-ico 12560 df-fz 12709 df-fzo 12850 df-seq 13185 df-exp 13245 df-fac 13449 df-bc 13478 df-hash 13506 df-cj 14319 df-re 14320 df-im 14321 df-sqrt 14455 df-abs 14456 df-clim 14706 df-sum 14904 df-ram 16193

This theorem is referenced by: ramsey 16222

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