Theorem repsw3 14935

Description: The "repeated symbol word" of length three. (Contributed by AV, 6-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
repsw3	⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝑆 repeatS 3) = ⟨“𝑆𝑆𝑆”⟩)

Proof of Theorem repsw3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s3 14833	. 2 ⊢ ⟨“𝑆𝑆𝑆”⟩ = (⟨“𝑆𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑆”⟩)
2		2nn0 12520	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		1nn0 12519	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		repswccat 14769	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 2) ++ (𝑆 repeatS 1)) = (𝑆 repeatS (2 + 1)))
5	2, 3, 4	mp3an23 1450	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ((𝑆 repeatS 2) ++ (𝑆 repeatS 1)) = (𝑆 repeatS (2 + 1)))
6		repsw2 14934	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝑆 repeatS 2) = ⟨“𝑆𝑆”⟩)
7		repsw1 14766	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝑆 repeatS 1) = ⟨“𝑆”⟩)
8	6, 7	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ((𝑆 repeatS 2) ++ (𝑆 repeatS 1)) = (⟨“𝑆𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑆”⟩))
9		2p1e3 12385	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (2 + 1) = 3)
11	10	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝑆 repeatS (2 + 1)) = (𝑆 repeatS 3))
12	5, 8, 11	3eqtr3d 2776	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑆𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑆”⟩) = (𝑆 repeatS 3))
13	1, 12	eqtr2id 2781	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝑆 repeatS 3) = ⟨“𝑆𝑆𝑆”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7420  1c1 11140   + caddc 11142  2c2 12298  3c3 12299  ℕ₀cn0 12503   ++ cconcat 14553  ⟨“cs1 14578   repeatS creps 14751  ⟨“cs2 14825  ⟨“cs3 14826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-hash 14323  df-concat 14554  df-s1 14579  df-reps 14752  df-s2 14832  df-s3 14833

This theorem is referenced by: (None)