MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ring1eq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ring1eq0 20248
Description: If one and zero are equal, then any two elements of a ring are equal. Alternately, every ring has one distinct from zero except the zero ring containing the single element {0}. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ring1eq0.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring1eq0.u 1 = (1r𝑅)
ring1eq0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
ring1eq0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 1 = 0𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem ring1eq0
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 1 = 0 )
21oveq1d 7441 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r𝑅)𝑋) = ( 0 (.r𝑅)𝑋))
31oveq1d 7441 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r𝑅)𝑌) = ( 0 (.r𝑅)𝑌))
4 simpl1 1188 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
5 simpl2 1189 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑋𝐵)
6 ring1eq0.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 eqid 2728 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
8 ring1eq0.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
96, 7, 8ringlz 20243 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 (.r𝑅)𝑋) = 0 )
104, 5, 9syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 0 (.r𝑅)𝑋) = 0 )
11 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑌𝐵)
126, 7, 8ringlz 20243 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵) → ( 0 (.r𝑅)𝑌) = 0 )
134, 11, 12syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 0 (.r𝑅)𝑌) = 0 )
1410, 13eqtr4d 2771 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 0 (.r𝑅)𝑋) = ( 0 (.r𝑅)𝑌))
153, 14eqtr4d 2771 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r𝑅)𝑌) = ( 0 (.r𝑅)𝑋))
162, 15eqtr4d 2771 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r𝑅)𝑋) = ( 1 (.r𝑅)𝑌))
17 ring1eq0.u . . . . 5 1 = (1r𝑅)
186, 7, 17ringlidm 20219 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 (.r𝑅)𝑋) = 𝑋)
194, 5, 18syl2anc 582 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r𝑅)𝑋) = 𝑋)
206, 7, 17ringlidm 20219 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵) → ( 1 (.r𝑅)𝑌) = 𝑌)
214, 11, 20syl2anc 582 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r𝑅)𝑌) = 𝑌)
2216, 19, 213eqtr3d 2776 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑋 = 𝑌)
2322ex 411 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 1 = 0𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  .rcmulr 17243  0gc0g 17430  1rcur 20135  Ringcrg 20187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189
This theorem is referenced by:  ring1ne0  20249  isnzr2  20471  ringelnzr  20474  01eq0ring  20481  abvneg  20728  nrginvrcn  24637
  Copyright terms: Public domain W3C validator