Theorem ring1eq0 20321

Description: If one and zero are equal, then any two elements of a ring are equal. Alternately, every ring has one distinct from zero except the zero ring containing the single element {0}. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring1eq0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring1eq0.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ring1eq0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ring1eq0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 1 = 0 → 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem ring1eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 1 = 0 )
2	1	oveq1d 7453	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑋) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑋))
3	1	oveq1d 7453	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑌))
4		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
5		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		ring1eq0.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8		ring1eq0.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	6, 7, 8	ringlz 20316	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑋) = 0 )
10	4, 5, 9	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑋) = 0 )
11		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	6, 7, 8	ringlz 20316	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑌) = 0 )
13	4, 11, 12	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑌) = 0 )
14	10, 13	eqtr4d 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑋) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑌))
15	3, 14	eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑋))
16	2, 15	eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑋) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑌))
17		ring1eq0.u	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
18	6, 7, 17	ringlidm 20292	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑋) = 𝑋)
19	4, 5, 18	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑋) = 𝑋)
20	6, 7, 17	ringlidm 20292	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) = 𝑌)
21	4, 11, 20	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) = 𝑌)
22	16, 19, 21	3eqtr3d 2785	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑋 = 𝑌)
23	22	ex 412	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 1 = 0 → 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  Basecbs 17254  ._rcmulr 17308  0_gc0g 17495  1_rcur 20208  Ringcrg 20260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-er 8753  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-nn 12274  df-2 12336  df-sets 17207  df-slot 17225  df-ndx 17237  df-base 17255  df-plusg 17320  df-0g 17497  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262

This theorem is referenced by:  ring1ne0  20322  isnzr2  20544  ringelnzr  20549  01eq0ring  20556  abvneg  20853  nrginvrcn  24738