Theorem ring1eq0 19829

Description: If one and zero are equal, then any two elements of a ring are equal. Alternately, every ring has one distinct from zero except the zero ring containing the single element {0}. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring1eq0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring1eq0.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ring1eq0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ring1eq0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 1 = 0 → 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem ring1eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 1 = 0 )
2	1	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑋) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑋))
3	1	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑌))
4		simpl1 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
5		simpl2 1191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		ring1eq0.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8		ring1eq0.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	6, 7, 8	ringlz 19826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑋) = 0 )
10	4, 5, 9	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑋) = 0 )
11		simpl3 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	6, 7, 8	ringlz 19826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑌) = 0 )
13	4, 11, 12	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑌) = 0 )
14	10, 13	eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑋) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑌))
15	3, 14	eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑋))
16	2, 15	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑋) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑌))
17		ring1eq0.u	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
18	6, 7, 17	ringlidm 19810	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑋) = 𝑋)
19	4, 5, 18	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑋) = 𝑋)
20	6, 7, 17	ringlidm 19810	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) = 𝑌)
21	4, 11, 20	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) = 𝑌)
22	16, 19, 21	3eqtr3d 2786	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑋 = 𝑌)
23	22	ex 413	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 1 = 0 → 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963  0_gc0g 17150  1_rcur 19737  Ringcrg 19783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785

This theorem is referenced by:  ring1ne0  19830  abvneg  20094  isnzr2  20534  ringelnzr  20537  nrginvrcn  23856