Theorem ring1eq0 20213

Description: If one and zero are equal, then any two elements of a ring are equal. Alternately, every ring has one distinct from zero except the zero ring containing the single element {0}. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring1eq0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring1eq0.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ring1eq0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ring1eq0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 1 = 0 → 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem ring1eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 1 = 0 )
2	1	oveq1d 7404	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑋) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑋))
3	1	oveq1d 7404	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑌))
4		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
5		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		ring1eq0.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8		ring1eq0.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	6, 7, 8	ringlz 20208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑋) = 0 )
10	4, 5, 9	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑋) = 0 )
11		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	6, 7, 8	ringlz 20208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑌) = 0 )
13	4, 11, 12	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑌) = 0 )
14	10, 13	eqtr4d 2768	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑋) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑌))
15	3, 14	eqtr4d 2768	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑋))
16	2, 15	eqtr4d 2768	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑋) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑌))
17		ring1eq0.u	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
18	6, 7, 17	ringlidm 20184	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑋) = 𝑋)
19	4, 5, 18	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑋) = 𝑋)
20	6, 7, 17	ringlidm 20184	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) = 𝑌)
21	4, 11, 20	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) = 𝑌)
22	16, 19, 21	3eqtr3d 2773	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑋 = 𝑌)
23	22	ex 412	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 1 = 0 → 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  Basecbs 17185  ._rcmulr 17227  0_gc0g 17408  1_rcur 20096  Ringcrg 20148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-plusg 17239  df-0g 17410  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-ring 20150

This theorem is referenced by:  ring1ne0  20214  isnzr2  20433  ringelnzr  20438  01eq0ring  20445  abvneg  20741  nrginvrcn  24586