Theorem ring1eq0 20207

Description: If one and zero are equal, then any two elements of a ring are equal. Alternately, every ring has one distinct from zero except the zero ring containing the single element {0}. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring1eq0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring1eq0.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ring1eq0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ring1eq0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 1 = 0 → 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem ring1eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 1 = 0 )
2	1	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑋) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑋))
3	1	oveq1d 7402	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑌))
4		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
5		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		ring1eq0.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8		ring1eq0.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	6, 7, 8	ringlz 20202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑋) = 0 )
10	4, 5, 9	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑋) = 0 )
11		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	6, 7, 8	ringlz 20202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑌) = 0 )
13	4, 11, 12	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑌) = 0 )
14	10, 13	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑋) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑌))
15	3, 14	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑋))
16	2, 15	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑋) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑌))
17		ring1eq0.u	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
18	6, 7, 17	ringlidm 20178	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑋) = 𝑋)
19	4, 5, 18	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑋) = 𝑋)
20	6, 7, 17	ringlidm 20178	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) = 𝑌)
21	4, 11, 20	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) = 𝑌)
22	16, 19, 21	3eqtr3d 2772	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑋 = 𝑌)
23	22	ex 412	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 1 = 0 → 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402  1_rcur 20090  Ringcrg 20142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144

This theorem is referenced by:  ring1ne0  20208  isnzr2  20427  ringelnzr  20432  01eq0ring  20439  abvneg  20735  nrginvrcn  24580