Theorem ring1eq0 20321

Description: If one and zero are equal, then any two elements of a ring are equal. Alternately, every ring has one distinct from zero except the zero ring containing the single element {0}. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring1eq0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring1eq0.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ring1eq0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ring1eq0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 1 = 0 → 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem ring1eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 1 = 0 )
2	1	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑋) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑋))
3	1	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑌))
4		simpl1 1191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
5		simpl2 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		ring1eq0.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8		ring1eq0.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	6, 7, 8	ringlz 20316	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑋) = 0 )
10	4, 5, 9	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑋) = 0 )
11		simpl3 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	6, 7, 8	ringlz 20316	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑌) = 0 )
13	4, 11, 12	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑌) = 0 )
14	10, 13	eqtr4d 2783	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 0 (.r‘𝑅)𝑋) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑌))
15	3, 14	eqtr4d 2783	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) = ( 0 (.r‘𝑅)𝑋))
16	2, 15	eqtr4d 2783	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑋) = ( 1 (.r‘𝑅)𝑌))
17		ring1eq0.u	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
18	6, 7, 17	ringlidm 20292	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑋) = 𝑋)
19	4, 5, 18	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑋) = 𝑋)
20	6, 7, 17	ringlidm 20292	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) = 𝑌)
21	4, 11, 20	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑌) = 𝑌)
22	16, 19, 21	3eqtr3d 2788	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 1 = 0 ) → 𝑋 = 𝑌)
23	22	ex 412	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 1 = 0 → 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17499  1_rcur 20208  Ringcrg 20260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262

This theorem is referenced by:  ring1ne0  20322  isnzr2  20544  ringelnzr  20549  01eq0ring  20556  abvneg  20849  nrginvrcn  24734