MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  01eq0ring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 01eq0ring 20758
Description: If the zero and the identity element of a ring are the same, the ring is the zero ring. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
0ring.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0 0 = (0g𝑅)
0ring01eq.1 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
01eq0ring ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })

Proof of Theorem 01eq0ring
StepHypRef Expression
1 0ring.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
21fvexi 6861 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
3 hashv01gt1 14252 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 0 ∨ (♯‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐵)))
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 ((♯‘𝐵) = 0 ∨ (♯‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐵))
5 hasheq0 14270 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅))
62, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅)
7 ne0i 4299 . . . . . . . . 9 ( 0𝐵𝐵 ≠ ∅)
8 eqneqall 2955 . . . . . . . . 9 (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≠ ∅ → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
97, 8syl5com 31 . . . . . . . 8 ( 0𝐵 → (𝐵 = ∅ → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
106, 9biimtrid 241 . . . . . . 7 ( 0𝐵 → ((♯‘𝐵) = 0 → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
11 0ring.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
121, 11ring0cl 19997 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
1310, 12syl11 33 . . . . . 6 ((♯‘𝐵) = 0 → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
14 eqneqall 2955 . . . . . . 7 ((♯‘𝐵) = 1 → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 ))
1514a1d 25 . . . . . 6 ((♯‘𝐵) = 1 → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
16 0ring01eq.1 . . . . . . . . . . 11 1 = (1r𝑅)
171, 16, 11ring1ne0 20022 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 10 )
1817necomd 3000 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 01 )
1918ex 414 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (1 < (♯‘𝐵) → 01 ))
2019a1i 11 . . . . . . 7 ((♯‘𝐵) ≠ 1 → (𝑅 ∈ Ring → (1 < (♯‘𝐵) → 01 )))
2120com13 88 . . . . . 6 (1 < (♯‘𝐵) → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
2213, 15, 213jaoi 1428 . . . . 5 (((♯‘𝐵) = 0 ∨ (♯‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
234, 22ax-mp 5 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 ))
2423necon4d 2968 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ( 0 = 1 → (♯‘𝐵) = 1))
2524imp 408 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → (♯‘𝐵) = 1)
261, 110ring 20756 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })
2725, 26syldan 592 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3o 1087   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  Vcvv 3448  c0 4287  {csn 4591   class class class wbr 5110  cfv 6501  0cc0 11058  1c1 11059   < clt 11196  chash 14237  Basecbs 17090  0gc0g 17328  1rcur 19920  Ringcrg 19971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-hash 14238  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973
This theorem is referenced by:  0ring01eqbi  20759  zarcmplem  32502  imadrhmcl  40745  ldepspr  46628
  Copyright terms: Public domain W3C validator