Theorem 01eq0ring 20814

Description: If the zero and the identity element of a ring are the same, the ring is the zero ring. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Proof shortened by SN, 23-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
0ring01eq.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
01eq0ring	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })

Proof of Theorem 01eq0ring

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2770	. 2 ⊢ ( 0 = 1 ↔ 1 = 0 )
2		0ring.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		0ring.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	ring0cl 20529	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
5	4	ne0d 4291	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ≠ ∅)
6	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
7		0ring01eq.1	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
8	2, 7, 3	ring1eq0 20562	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → ( 1 = 0 → 𝑥 = 0 ))
9	6, 8	mpd3an3 1492	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 = 0 → 𝑥 = 0 ))
10	9	impancom 457	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 = 0 ) → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 0 ))
11	10	ralrimiv 3157	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 = 0 ) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = 0 )
12		eqsn 4788	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 = { 0 } ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = 0 ))
13	12	biimpar 483	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = 0 ) → 𝐵 = { 0 })
14	5, 11, 13	syl2an2r 698	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 = 0 ) → 𝐵 = { 0 })
15	1, 14	sylan2b 606	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∅c0 4281  {csn 4588  ‘cfv 6561  Basecbs 17419  0_gc0g 17642  1_rcur 20440  Ringcrg 20492

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-plusg 17473  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494

This theorem is used by:  0ring01eqbi2  20816  0ring01eqbi  20817  imadrhmcl  21087  drngidlhash  34067  zarcmplem  34596  ldepspr  49800