MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  01eq0ring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 01eq0ring 19669
Description: If the zero and the identity element of a ring are the same, the ring is the zero ring. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
0ring.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0 0 = (0g𝑅)
0ring01eq.1 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
01eq0ring ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })

Proof of Theorem 01eq0ring
StepHypRef Expression
1 0ring.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
21fvexi 6460 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
3 hashv01gt1 13450 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 0 ∨ (♯‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐵)))
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 ((♯‘𝐵) = 0 ∨ (♯‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐵))
5 hasheq0 13469 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅))
62, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅)
7 ne0i 4148 . . . . . . . . 9 ( 0𝐵𝐵 ≠ ∅)
8 eqneqall 2979 . . . . . . . . 9 (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≠ ∅ → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
97, 8syl5com 31 . . . . . . . 8 ( 0𝐵 → (𝐵 = ∅ → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
106, 9syl5bi 234 . . . . . . 7 ( 0𝐵 → ((♯‘𝐵) = 0 → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
11 0ring.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
121, 11ring0cl 18956 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
1310, 12syl11 33 . . . . . 6 ((♯‘𝐵) = 0 → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
14 eqneqall 2979 . . . . . . 7 ((♯‘𝐵) = 1 → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 ))
1514a1d 25 . . . . . 6 ((♯‘𝐵) = 1 → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
16 0ring01eq.1 . . . . . . . . . . 11 1 = (1r𝑅)
171, 16, 11ring1ne0 18978 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 10 )
1817necomd 3023 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 01 )
1918ex 403 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (1 < (♯‘𝐵) → 01 ))
2019a1i 11 . . . . . . 7 ((♯‘𝐵) ≠ 1 → (𝑅 ∈ Ring → (1 < (♯‘𝐵) → 01 )))
2120com13 88 . . . . . 6 (1 < (♯‘𝐵) → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
2213, 15, 213jaoi 1501 . . . . 5 (((♯‘𝐵) = 0 ∨ (♯‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
234, 22ax-mp 5 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 01 ))
2423necon4d 2992 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ( 0 = 1 → (♯‘𝐵) = 1))
2524imp 397 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → (♯‘𝐵) = 1)
261, 110ring 19667 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })
2725, 26syldan 585 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3o 1070   = wceq 1601  wcel 2106  wne 2968  Vcvv 3397  c0 4140  {csn 4397   class class class wbr 4886  cfv 6135  0cc0 10272  1c1 10273   < clt 10411  chash 13435  Basecbs 16255  0gc0g 16486  1rcur 18888  Ringcrg 18934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-hash 13436  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936
This theorem is referenced by:  0ring01eqbi  19670  ldepspr  43270
  Copyright terms: Public domain W3C validator