Theorem 01eq0ring 20532

Description: If the zero and the identity element of a ring are the same, the ring is the zero ring. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
0ring01eq.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
01eq0ring	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })

Proof of Theorem 01eq0ring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ring.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	fvexi 6782	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		hashv01gt1 14048	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 0 ∨ (♯‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐵)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐵) = 0 ∨ (♯‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐵))
5		hasheq0 14067	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅))
6	2, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅)
7		ne0i 4270	. . . . . . . . 9 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → 𝐵 ≠ ∅)
8		eqneqall 2954	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≠ ∅ → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
9	7, 8	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (𝐵 = ∅ → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
10	6, 9	syl5bi 241	. . . . . . 7 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → ((♯‘𝐵) = 0 → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
11		0ring.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
12	1, 11	ring0cl 19797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
13	10, 12	syl11 33	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) = 0 → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
14		eqneqall 2954	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐵) = 1 → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 ))
15	14	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) = 1 → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
16		0ring01eq.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
17	1, 16, 11	ring1ne0 19819	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 1 ≠ 0 )
18	17	necomd 2999	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (♯‘𝐵)) → 0 ≠ 1 )
19	18	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1 < (♯‘𝐵) → 0 ≠ 1 ))
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐵) ≠ 1 → (𝑅 ∈ Ring → (1 < (♯‘𝐵) → 0 ≠ 1 )))
21	20	com13 88	. . . . . 6 ⊢ (1 < (♯‘𝐵) → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
22	13, 15, 21	3jaoi 1426	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐵) = 0 ∨ (♯‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 )))
23	4, 22	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘𝐵) ≠ 1 → 0 ≠ 1 ))
24	23	necon4d 2967	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 = 1 → (♯‘𝐵) = 1))
25	24	imp 407	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → (♯‘𝐵) = 1)
26	1, 11	0ring 20530	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })
27	25, 26	syldan 591	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ w3o 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3431  ∅c0 4258  {csn 4563   class class class wbr 5075  ‘cfv 6428  0cc0 10860  1c1 10861   < clt 10998  ♯chash 14033  Basecbs 16901  0_gc0g 17139  1_rcur 19726  Ringcrg 19772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7580  ax-cnex 10916  ax-resscn 10917  ax-1cn 10918  ax-icn 10919  ax-addcl 10920  ax-addrcl 10921  ax-mulcl 10922  ax-mulrcl 10923  ax-mulcom 10924  ax-addass 10925  ax-mulass 10926  ax-distr 10927  ax-i2m1 10928  ax-1ne0 10929  ax-1rid 10930  ax-rnegex 10931  ax-rrecex 10932  ax-cnre 10933  ax-pre-lttri 10934  ax-pre-lttrn 10935  ax-pre-ltadd 10936  ax-pre-mulgt0 10937

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5486  df-eprel 5492  df-po 5500  df-so 5501  df-fr 5541  df-we 5543  df-xp 5592  df-rel 5593  df-cnv 5594  df-co 5595  df-dm 5596  df-rn 5597  df-res 5598  df-ima 5599  df-pred 6197  df-ord 6264  df-on 6265  df-lim 6266  df-suc 6267  df-iota 6386  df-fun 6430  df-fn 6431  df-f 6432  df-f1 6433  df-fo 6434  df-f1o 6435  df-fv 6436  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8487  df-en 8723  df-dom 8724  df-sdom 8725  df-fin 8726  df-card 9686  df-pnf 11000  df-mnf 11001  df-xr 11002  df-ltxr 11003  df-le 11004  df-sub 11196  df-neg 11197  df-nn 11963  df-2 12025  df-n0 12223  df-xnn0 12295  df-z 12309  df-uz 12572  df-fz 13229  df-hash 14034  df-sets 16854  df-slot 16872  df-ndx 16884  df-base 16902  df-plusg 16964  df-0g 17141  df-mgm 18315  df-sgrp 18364  df-mnd 18375  df-grp 18569  df-minusg 18570  df-mgp 19710  df-ur 19727  df-ring 19774

This theorem is referenced by:  0ring01eqbi  20533  zarcmplem  31818  ldepspr  45771