MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  01eq0ring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 01eq0ring 20430
Description: If the zero and the identity element of a ring are the same, the ring is the zero ring. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Proof shortened by SN, 23-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
0ring.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0 0 = (0g𝑅)
0ring01eq.1 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
01eq0ring ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })

Proof of Theorem 01eq0ring
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqcom 2733 . 2 ( 0 = 11 = 0 )
2 0ring.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 0ring.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
42, 3ring0cl 20166 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
54ne0d 4330 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ≠ ∅)
64adantr 480 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → 0𝐵)
7 0ring01eq.1 . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
82, 7, 3ring1eq0 20197 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵0𝐵) → ( 1 = 0𝑥 = 0 ))
96, 8mpd3an3 1458 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → ( 1 = 0𝑥 = 0 ))
109impancom 451 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 = 0 ) → (𝑥𝐵𝑥 = 0 ))
1110ralrimiv 3139 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 = 0 ) → ∀𝑥𝐵 𝑥 = 0 )
12 eqsn 4827 . . . 4 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 = { 0 } ↔ ∀𝑥𝐵 𝑥 = 0 ))
1312biimpar 477 . . 3 ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵 𝑥 = 0 ) → 𝐵 = { 0 })
145, 11, 13syl2an2r 682 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 = 0 ) → 𝐵 = { 0 })
151, 14sylan2b 593 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wral 3055  c0 4317  {csn 4623  cfv 6537  Basecbs 17153  0gc0g 17394  1rcur 20086  Ringcrg 20138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140
This theorem is referenced by:  0ring01eqbi  20432  imadrhmcl  20648  drngidlhash  33058  zarcmplem  33391  ldepspr  47429
  Copyright terms: Public domain W3C validator