Theorem 01eq0ring 20471

Description: If the zero and the identity element of a ring are the same, the ring is the zero ring. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Proof shortened by SN, 23-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
0ring01eq.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
01eq0ring	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })

Proof of Theorem 01eq0ring

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2732	. 2 ⊢ ( 0 = 1 ↔ 1 = 0 )
2		0ring.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		0ring.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	ring0cl 20207	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
5	4	ne0d 4331	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ≠ ∅)
6	4	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
7		0ring01eq.1	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
8	2, 7, 3	ring1eq0 20238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → ( 1 = 0 → 𝑥 = 0 ))
9	6, 8	mpd3an3 1458	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 = 0 → 𝑥 = 0 ))
10	9	impancom 450	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 = 0 ) → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 0 ))
11	10	ralrimiv 3135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 = 0 ) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = 0 )
12		eqsn 4828	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵 = { 0 } ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = 0 ))
13	12	biimpar 476	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = 0 ) → 𝐵 = { 0 })
14	5, 11, 13	syl2an2r 683	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 = 0 ) → 𝐵 = { 0 })
15	1, 14	sylan2b 592	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  ∅c0 4318  {csn 4624  ‘cfv 6543  Basecbs 17179  0_gc0g 17420  1_rcur 20125  Ringcrg 20177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179

This theorem is referenced by:  0ring01eqbi  20473  imadrhmcl  20689  drngidlhash  33199  zarcmplem  33539  ldepspr  47653