Theorem gsummulc1 19845

Description: A finite ring sum multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummulc1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsummulc1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsummulc1.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
gsummulc1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
gsummulc1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummulc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummulc1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummulc1.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsummulc1.n	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummulc1	⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   · ,𝑘   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsummulc1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummulc1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		gsummulc1.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		gsummulc1.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		ringcmn 19820	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
6		ringmnd 19793	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
7	3, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
8		gsummulc1.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsummulc1.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		gsummulc1.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11	1, 10	ringrghm 19844	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
12	3, 9, 11	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
13		ghmmhm 18844	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
15		gsummulc1.x	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		gsummulc1.n	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
17		oveq1 7282	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
18		oveq1 7282	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) → (𝑥 · 𝑌) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))
19	1, 2, 5, 7, 8, 14, 15, 16, 17, 18	gsummhm2 19540	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   finSupp cfsupp 9128  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  ._rcmulr 16963  0_gc0g 17150   Σ_g cgsu 17151  Mndcmnd 18385   MndHom cmhm 18428   GrpHom cghm 18831  CMndccmn 19386  Ringcrg 19783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785

This theorem is referenced by:  gsumdixp  19848  psrass1  21174  mamuass  21549  mavmulass  21698  fedgmullem1  31710  fedgmullem2  31711