Theorem gsummulc1 20538

Description: A finite ring sum multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.) Remove unused hypothesis. (Revised by SN, 7-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummulc1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsummulc1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsummulc1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
gsummulc1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummulc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummulc1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummulc1.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsummulc1.n	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummulc1	⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   · ,𝑘   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsummulc1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummulc1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		gsummulc1.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		gsummulc1.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4	3	ringcmnd 20506	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
5		ringmnd 20463	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
6	3, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
7		gsummulc1.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		gsummulc1.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		gsummulc1.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
10	1, 9	ringrghm 20537	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
11	3, 8, 10	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
12		ghmmhm 19433	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
13	11, 12	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
14		gsummulc1.x	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15		gsummulc1.n	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
16		oveq1 7425	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
17		oveq1 7425	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) → (𝑥 · 𝑌) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))
18	1, 2, 4, 6, 7, 13, 14, 15, 16, 17	gsummhm2 20146	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   finSupp cfsupp 9346  Basecbs 17380  ._rcmulr 17422  0_gc0g 17603   Σ_g cgsu 17604  Mndcmnd 18916   MndHom cmhm 18969   GrpHom cghm 19420  Ringcrg 20452

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-hash 14468  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-mhm 18971  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-ghm 19421  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-ur 20401  df-ring 20454

This theorem is used by:  gsumdixp  20541  psrass1  22264  mamuass  22710  mavmulass  22857  gsummulsubdishift1  33622  elrgspnsubrunlem2  33802  fedgmullem1  34254  fedgmullem2  34255  fldextrspunlsplem  34298  evlselv  43597