Theorem gsummulc1 20251

Description: A finite ring sum multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.) Remove unused hypothesis. (Revised by SN, 7-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummulc1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsummulc1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsummulc1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
gsummulc1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummulc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummulc1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummulc1.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsummulc1.n	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummulc1	⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   · ,𝑘   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsummulc1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummulc1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		gsummulc1.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		gsummulc1.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4	3	ringcmnd 20219	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
5		ringmnd 20178	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
7		gsummulc1.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		gsummulc1.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		gsummulc1.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
10	1, 9	ringrghm 20248	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
11	3, 8, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
12		ghmmhm 19155	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
14		gsummulc1.x	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15		gsummulc1.n	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
16		oveq1 7365	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
17		oveq1 7365	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) → (𝑥 · 𝑌) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))
18	1, 2, 4, 6, 7, 13, 14, 15, 16, 17	gsummhm2 19868	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   finSupp cfsupp 9264  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  0_gc0g 17359   Σ_g cgsu 17360  Mndcmnd 18659   MndHom cmhm 18706   GrpHom cghm 19141  Ringcrg 20168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-ghm 19142  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-ur 20117  df-ring 20170

This theorem is referenced by:  gsumdixp  20254  psrass1  21919  mamuass  22346  mavmulass  22493  gsummulsubdishift1  33151  elrgspnsubrunlem2  33330  fedgmullem1  33786  fedgmullem2  33787  fldextrspunlsplem  33830  evlselv  42830