MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummulc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummulc1 19833
Description: A finite ring sum multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummulc1.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsummulc1.z 0 = (0g𝑅)
gsummulc1.p + = (+g𝑅)
gsummulc1.t · = (.r𝑅)
gsummulc1.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
gsummulc1.a (𝜑𝐴𝑉)
gsummulc1.y (𝜑𝑌𝐵)
gsummulc1.x ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
gsummulc1.n (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsummulc1 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = ((𝑅 Σg (𝑘𝐴𝑋)) · 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   · ,𝑘   𝑘,𝑌
Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsummulc1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsummulc1.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 gsummulc1.z . 2 0 = (0g𝑅)
3 gsummulc1.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 ringcmn 19808 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
53, 4syl 17 . 2 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
6 ringmnd 19781 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
73, 6syl 17 . 2 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
8 gsummulc1.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
9 gsummulc1.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
10 gsummulc1.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
111, 10ringrghm 19832 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
123, 9, 11syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
13 ghmmhm 18832 . . 3 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
1412, 13syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
15 gsummulc1.x . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
16 gsummulc1.n . 2 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp 0 )
17 oveq1 7275 . 2 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
18 oveq1 7275 . 2 (𝑥 = (𝑅 Σg (𝑘𝐴𝑋)) → (𝑥 · 𝑌) = ((𝑅 Σg (𝑘𝐴𝑋)) · 𝑌))
191, 2, 5, 7, 8, 14, 15, 16, 17, 18gsummhm2 19528 1 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = ((𝑅 Σg (𝑘𝐴𝑋)) · 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106   class class class wbr 5074  cmpt 5157  cfv 6427  (class class class)co 7268   finSupp cfsupp 9116  Basecbs 16900  +gcplusg 16950  .rcmulr 16951  0gc0g 17138   Σg cgsu 17139  Mndcmnd 18373   MndHom cmhm 18416   GrpHom cghm 18819  CMndccmn 19374  Ringcrg 19771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-se 5541  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-isom 6436  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-supp 7966  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-er 8486  df-map 8605  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-fsupp 9117  df-oi 9257  df-card 9685  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-nn 11962  df-2 12024  df-n0 12222  df-z 12308  df-uz 12571  df-fz 13228  df-fzo 13371  df-seq 13710  df-hash 14033  df-sets 16853  df-slot 16871  df-ndx 16883  df-base 16901  df-plusg 16963  df-0g 17140  df-gsum 17141  df-mgm 18314  df-sgrp 18363  df-mnd 18374  df-mhm 18418  df-grp 18568  df-minusg 18569  df-ghm 18820  df-cntz 18911  df-cmn 19376  df-abl 19377  df-mgp 19709  df-ur 19726  df-ring 19773
This theorem is referenced by:  gsumdixp  19836  psrass1  21162  mamuass  21537  mavmulass  21686  fedgmullem1  31696  fedgmullem2  31697
  Copyright terms: Public domain W3C validator