Theorem gsummulc1OLD 20229

Description: Obsolete version of gsummulc1 20231 as of 7-Mar-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummulc1OLD.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsummulc1OLD.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsummulc1OLD.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
gsummulc1OLD.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
gsummulc1OLD.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummulc1OLD.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummulc1OLD.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummulc1OLD.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsummulc1OLD.n	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummulc1OLD	⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   · ,𝑘   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsummulc1OLD

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummulc1OLD.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		gsummulc1OLD.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		gsummulc1OLD.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		ringcmn 20197	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
6		ringmnd 20158	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
7	3, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
8		gsummulc1OLD.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsummulc1OLD.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		gsummulc1OLD.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11	1, 10	ringrghm 20228	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
12	3, 9, 11	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
13		ghmmhm 19164	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
15		gsummulc1OLD.x	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		gsummulc1OLD.n	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
17		oveq1 7396	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
18		oveq1 7396	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) → (𝑥 · 𝑌) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))
19	1, 2, 5, 7, 8, 14, 15, 16, 17, 18	gsummhm2 19875	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389   finSupp cfsupp 9318  Basecbs 17185  +_gcplusg 17226  ._rcmulr 17227  0_gc0g 17408   Σ_g cgsu 17409  Mndcmnd 18667   MndHom cmhm 18714   GrpHom cghm 19150  CMndccmn 19716  Ringcrg 20148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9319  df-oi 9469  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-seq 13973  df-hash 14302  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-plusg 17239  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18716  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-ghm 19151  df-cntz 19255  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-ur 20097  df-ring 20150

This theorem is referenced by: (None)