Theorem rprmndvdsr1 33720

Description: A ring prime element does not divide the ring multiplicative identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmndvdsr1.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
rprmndvdsr1.2	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmndvdsr1.3	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmndvdsr1.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rprmndvdsr1.5	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
rprmndvdsr1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ 1 )

Proof of Theorem rprmndvdsr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmndvdsr1.3	. . 3 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3		rprmndvdsr1.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
4		rprmndvdsr1.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
5	1, 2, 3, 4	rprmnunit 33717	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∈ (Unit‘𝑅))
6		rprmndvdsr1.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7		rprmndvdsr1.2	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
8	2, 6, 7	crngunit 20427	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑄 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ 𝑄 ∥ 1 ))
9	3, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ 𝑄 ∥ 1 ))
10	5, 9	mtbid 326	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ 1 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  1_rcur 20231  CRingccrg 20284  ∥_rcdsr 20403  Unitcui 20404  RPrimecrpm 20481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-cmn 19822  df-mgp 20187  df-cring 20286  df-oppr 20386  df-dvdsr 20406  df-unit 20407  df-rprm 20482

This theorem is referenced by:  rprmasso2  33722  rprmndvdsru  33725  rprmdvdspow  33729  rprmdvdsprod  33730