Theorem rprmndvdsr1 33404

Description: A ring prime element does not divide the ring multiplicative identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmndvdsr1.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
rprmndvdsr1.2	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmndvdsr1.3	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmndvdsr1.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rprmndvdsr1.5	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
rprmndvdsr1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ 1 )

Proof of Theorem rprmndvdsr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmndvdsr1.3	. . 3 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
2		eqid 2726	. . 3 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3		rprmndvdsr1.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
4		rprmndvdsr1.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
5	1, 2, 3, 4	rprmnunit 33401	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∈ (Unit‘𝑅))
6		rprmndvdsr1.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7		rprmndvdsr1.2	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
8	2, 6, 7	crngunit 20355	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑄 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ 𝑄 ∥ 1 ))
9	3, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ 𝑄 ∥ 1 ))
10	5, 9	mtbid 323	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ 1 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5145  ‘cfv 6545  1_rcur 20159  CRingccrg 20212  ∥_rcdsr 20331  Unitcui 20332  RPrimecrpm 20409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7737  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3968  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4908  df-iun 4997  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fn 6548  df-f 6549  df-f1 6550  df-fo 6551  df-f1o 6552  df-fv 6553  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8966  df-dom 8967  df-sdom 8968  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-sets 17160  df-slot 17178  df-ndx 17190  df-base 17208  df-plusg 17273  df-mulr 17274  df-cmn 19775  df-mgp 20113  df-cring 20214  df-oppr 20311  df-dvdsr 20334  df-unit 20335  df-rprm 20410

This theorem is referenced by:  rprmasso2  33406  rprmndvdsru  33409  rprmdvdspow  33413  rprmdvdsprod  33414