Theorem rprmdvdspow 33729

Description: If a prime element divides a ring "power", it divides the term. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmdvdspow.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmdvdspow.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmdvdspow.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmdvdspow.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
rprmdvdspow.o	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
rprmdvdspow.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rprmdvdspow.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rprmdvdspow.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
rprmdvdspow.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
rprmdvdspow.1	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑁 ↑ 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
rprmdvdspow	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ 𝑋)

Proof of Theorem rprmdvdspow

Dummy variables 𝑖 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmdvdspow.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑁 ↑ 𝑋))
2		rprmdvdspow.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		oveq1 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑖 ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
4	3	breq2d 5112	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) ↔ 𝑄 ∥ (0 ↑ 𝑋)))
5	4	imbi1d 343	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋) ↔ (𝑄 ∥ (0 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)))
6		oveq1 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 ↑ 𝑋) = (𝑛 ↑ 𝑋))
7	6	breq2d 5112	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) ↔ 𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋)))
8	7	imbi1d 343	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋) ↔ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)))
9		oveq1 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → (𝑖 ↑ 𝑋) = ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋))
10	9	breq2d 5112	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → (𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) ↔ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)))
11	10	imbi1d 343	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → ((𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋) ↔ (𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)))
12		oveq1 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (𝑖 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋))
13	12	breq2d 5112	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) ↔ 𝑄 ∥ (𝑁 ↑ 𝑋)))
14	13	imbi1d 343	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋) ↔ (𝑄 ∥ (𝑁 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)))
15		rprmdvdspow.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		rprmdvdspow.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
17		rprmdvdspow.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
18	16, 17	mgpbas 20191	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
19		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
20	16, 19	ringidval 20233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
21		rprmdvdspow.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
22	18, 20, 21	mulg0 19116	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
23	15, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
24	23	breq2d 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (0 ↑ 𝑋) ↔ 𝑄 ∥ (1r‘𝑅)))
25	24	biimpa 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∥ (0 ↑ 𝑋)) → 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
26		rprmdvdspow.d	. . . . . . . 8 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
27		rprmdvdspow.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
28		rprmdvdspow.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
29		rprmdvdspow.q	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
30	19, 26, 27, 28, 29	rprmndvdsr1 33720	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
31	30	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∥ (0 ↑ 𝑋)) → ¬ 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
32	25, 31	pm2.21dd 197	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∥ (0 ↑ 𝑋)) → 𝑄 ∥ 𝑋)
33	32	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (0 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋))
34		simpllr 785	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋)) → (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋))
35	34	syldbl2 852	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋)) → 𝑄 ∥ 𝑋)
36		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)
37		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
38	28	ad3antrrr 740	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑅 ∈ CRing)
39	29	ad3antrrr 740	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑄 ∈ 𝑃)
40	28	crngringd 20296	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
41	16	ringmgp 20289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
43	42	ad3antrrr 740	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑀 ∈ Mnd)
44		simpllr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
45	15	ad3antrrr 740	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
46	18, 21, 43, 44, 45	mulgnn0cld 19137	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → (𝑛 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
47	42	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ Mnd)
48		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
49	15	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
50	16, 37	mgpplusg 20190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
51	18, 21, 50	mulgnn0p1 19127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑛 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
52	47, 48, 49, 51	syl3anc 1390	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑛 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
53	52	breq2d 5112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋) ↔ 𝑄 ∥ ((𝑛 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋)))
54	53	biimpa 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑄 ∥ ((𝑛 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
55	54	adantlr 725	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑄 ∥ ((𝑛 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
56	17, 27, 26, 37, 38, 39, 46, 45, 55	rprmdvds 33715	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) ∨ 𝑄 ∥ 𝑋))
57	35, 36, 56	mpjaodan 971	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑄 ∥ 𝑋)
58	57	ex 416	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) → (𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋))
59	5, 8, 11, 14, 33, 58	nn0indd 12670	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑄 ∥ (𝑁 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋))
60	2, 59	mpdan 697	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (𝑁 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋))
61	1, 60	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076  ℕ₀cn0 12481  Basecbs 17245  ._rcmulr 17287  Mndcmnd 18768  ._gcmg 19109  mulGrpcmgp 20186  1_rcur 20231  Ringcrg 20283  CRingccrg 20284  ∥_rcdsr 20403  RPrimecrpm 20481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-seq 14015  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-0g 17470  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mulg 19110  df-cmn 19822  df-mgp 20187  df-ur 20232  df-ring 20285  df-cring 20286  df-oppr 20386  df-dvdsr 20406  df-unit 20407  df-rprm 20482

This theorem is referenced by: (None)