Theorem rprmdvdspow 33593

Description: If a prime element divides a ring "power", it divides the term. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmdvdspow.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmdvdspow.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmdvdspow.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmdvdspow.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
rprmdvdspow.o	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
rprmdvdspow.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rprmdvdspow.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rprmdvdspow.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
rprmdvdspow.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
rprmdvdspow.1	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑁 ↑ 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
rprmdvdspow	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ 𝑋)

Proof of Theorem rprmdvdspow

Dummy variables 𝑖 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmdvdspow.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑁 ↑ 𝑋))
2		rprmdvdspow.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		oveq1 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑖 ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
4	3	breq2d 5097	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) ↔ 𝑄 ∥ (0 ↑ 𝑋)))
5	4	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋) ↔ (𝑄 ∥ (0 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)))
6		oveq1 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 ↑ 𝑋) = (𝑛 ↑ 𝑋))
7	6	breq2d 5097	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) ↔ 𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋)))
8	7	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋) ↔ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)))
9		oveq1 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → (𝑖 ↑ 𝑋) = ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋))
10	9	breq2d 5097	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → (𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) ↔ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)))
11	10	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → ((𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋) ↔ (𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)))
12		oveq1 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (𝑖 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋))
13	12	breq2d 5097	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) ↔ 𝑄 ∥ (𝑁 ↑ 𝑋)))
14	13	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋) ↔ (𝑄 ∥ (𝑁 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)))
15		rprmdvdspow.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		rprmdvdspow.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
17		rprmdvdspow.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
18	16, 17	mgpbas 20126	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
19		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
20	16, 19	ringidval 20164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
21		rprmdvdspow.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
22	18, 20, 21	mulg0 19050	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
23	15, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
24	23	breq2d 5097	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (0 ↑ 𝑋) ↔ 𝑄 ∥ (1r‘𝑅)))
25	24	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∥ (0 ↑ 𝑋)) → 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
26		rprmdvdspow.d	. . . . . . . 8 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
27		rprmdvdspow.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
28		rprmdvdspow.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
29		rprmdvdspow.q	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
30	19, 26, 27, 28, 29	rprmndvdsr1 33584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∥ (0 ↑ 𝑋)) → ¬ 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
32	25, 31	pm2.21dd 195	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∥ (0 ↑ 𝑋)) → 𝑄 ∥ 𝑋)
33	32	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (0 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋))
34		simpllr 776	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋)) → (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋))
35	34	syldbl2 842	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋)) → 𝑄 ∥ 𝑋)
36		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)
37		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
38	28	ad3antrrr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑅 ∈ CRing)
39	29	ad3antrrr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑄 ∈ 𝑃)
40	28	crngringd 20227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
41	16	ringmgp 20220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
43	42	ad3antrrr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑀 ∈ Mnd)
44		simpllr 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
45	15	ad3antrrr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
46	18, 21, 43, 44, 45	mulgnn0cld 19071	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → (𝑛 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
47	42	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ Mnd)
48		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
49	15	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
50	16, 37	mgpplusg 20125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
51	18, 21, 50	mulgnn0p1 19061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑛 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
52	47, 48, 49, 51	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑛 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
53	52	breq2d 5097	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋) ↔ 𝑄 ∥ ((𝑛 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋)))
54	53	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑄 ∥ ((𝑛 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
55	54	adantlr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑄 ∥ ((𝑛 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
56	17, 27, 26, 37, 38, 39, 46, 45, 55	rprmdvds 33579	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) ∨ 𝑄 ∥ 𝑋))
57	35, 36, 56	mpjaodan 961	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑄 ∥ 𝑋)
58	57	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) → (𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋))
59	5, 8, 11, 14, 33, 58	nn0indd 12626	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑄 ∥ (𝑁 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋))
60	2, 59	mpdan 688	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (𝑁 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋))
61	1, 60	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  ℕ₀cn0 12437  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  Mndcmnd 18702  ._gcmg 19043  mulGrpcmgp 20121  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  CRingccrg 20215  ∥_rcdsr 20334  RPrimecrpm 20412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-seq 13964  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mulg 19044  df-cmn 19757  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-rprm 20413

This theorem is referenced by: (None)