Theorem rprmdvdspow 34065

Description: If a prime element divides a ring "power", it divides the term. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmdvdspow.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmdvdspow.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmdvdspow.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmdvdspow.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
rprmdvdspow.o	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
rprmdvdspow.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rprmdvdspow.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rprmdvdspow.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
rprmdvdspow.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
rprmdvdspow.1	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑁 ↑ 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
rprmdvdspow	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ 𝑋)

Proof of Theorem rprmdvdspow

Dummy variables 𝑖 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmdvdspow.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑁 ↑ 𝑋))
2		rprmdvdspow.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		oveq1 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑖 ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
4	3	breq2d 5115	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) ↔ 𝑄 ∥ (0 ↑ 𝑋)))
5	4	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋) ↔ (𝑄 ∥ (0 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)))
6		oveq1 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 ↑ 𝑋) = (𝑛 ↑ 𝑋))
7	6	breq2d 5115	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) ↔ 𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋)))
8	7	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋) ↔ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)))
9		oveq1 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → (𝑖 ↑ 𝑋) = ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋))
10	9	breq2d 5115	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → (𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) ↔ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)))
11	10	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → ((𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋) ↔ (𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)))
12		oveq1 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (𝑖 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋))
13	12	breq2d 5115	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) ↔ 𝑄 ∥ (𝑁 ↑ 𝑋)))
14	13	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋) ↔ (𝑄 ∥ (𝑁 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)))
15		rprmdvdspow.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		rprmdvdspow.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
17		rprmdvdspow.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
18	16, 17	mgpbas 20365	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
19		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
20	16, 19	ringidval 20409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
21		rprmdvdspow.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
22	18, 20, 21	mulg0 19284	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
23	15, 22	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
24	23	breq2d 5115	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (0 ↑ 𝑋) ↔ 𝑄 ∥ (1r‘𝑅)))
25	24	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∥ (0 ↑ 𝑋)) → 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
26		rprmdvdspow.d	. . . . . . . 8 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
27		rprmdvdspow.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
28		rprmdvdspow.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
29		rprmdvdspow.q	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
30	19, 26, 27, 28, 29	rprmndvdsr1 34056	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
31	30	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∥ (0 ↑ 𝑋)) → ¬ 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
32	25, 31	pm2.21dd 198	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∥ (0 ↑ 𝑋)) → 𝑄 ∥ 𝑋)
33	32	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (0 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋))
34		simpllr 788	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋)) → (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋))
35	34	syldbl2 855	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋)) → 𝑄 ∥ 𝑋)
36		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)
37		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
38	28	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑅 ∈ CRing)
39	29	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑄 ∈ 𝑃)
40	28	crngringd 20473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
41	16	ringmgp 20465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
42	40, 41	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
43	42	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑀 ∈ Mnd)
44		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
45	15	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
46	18, 21, 43, 44, 45	mulgnn0cld 19305	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → (𝑛 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
47	42	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ Mnd)
48		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
49	15	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
50	16, 37	mgpplusg 20364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
51	18, 21, 50	mulgnn0p1 19295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑛 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
52	47, 48, 49, 51	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑛 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
53	52	breq2d 5115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋) ↔ 𝑄 ∥ ((𝑛 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋)))
54	53	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑄 ∥ ((𝑛 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
55	54	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑄 ∥ ((𝑛 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
56	17, 27, 26, 37, 38, 39, 46, 45, 55	rprmdvds 34051	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) ∨ 𝑄 ∥ 𝑋))
57	35, 36, 56	mpjaodan 973	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑄 ∥ 𝑋)
58	57	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) → (𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋))
59	5, 8, 11, 14, 33, 58	nn0indd 12796	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑄 ∥ (𝑁 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋))
60	2, 59	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (𝑁 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋))
61	1, 60	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203  ℕ₀cn0 12606  Basecbs 17387  ._rcmulr 17429  Mndcmnd 18923  ._gcmg 19277  mulGrpcmgp 20360  1_rcur 20407  Ringcrg 20459  CRingccrg 20460  ∥_rcdsr 20584  RPrimecrpm 20662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-seq 14145  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mulg 19278  df-cmn 19996  df-mgp 20361  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-rprm 20663

This theorem is used by: (None)