Theorem rprmdvdspow 33511

Description: If a prime element divides a ring "power", it divides the term. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmdvdspow.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmdvdspow.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmdvdspow.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmdvdspow.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
rprmdvdspow.o	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
rprmdvdspow.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rprmdvdspow.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rprmdvdspow.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
rprmdvdspow.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
rprmdvdspow.1	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑁 ↑ 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
rprmdvdspow	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ 𝑋)

Proof of Theorem rprmdvdspow

Dummy variables 𝑖 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmdvdspow.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑁 ↑ 𝑋))
2		rprmdvdspow.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		oveq1 7397	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑖 ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
4	3	breq2d 5122	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) ↔ 𝑄 ∥ (0 ↑ 𝑋)))
5	4	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋) ↔ (𝑄 ∥ (0 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)))
6		oveq1 7397	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 ↑ 𝑋) = (𝑛 ↑ 𝑋))
7	6	breq2d 5122	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) ↔ 𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋)))
8	7	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋) ↔ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)))
9		oveq1 7397	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → (𝑖 ↑ 𝑋) = ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋))
10	9	breq2d 5122	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → (𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) ↔ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)))
11	10	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → ((𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋) ↔ (𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)))
12		oveq1 7397	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (𝑖 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋))
13	12	breq2d 5122	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) ↔ 𝑄 ∥ (𝑁 ↑ 𝑋)))
14	13	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((𝑄 ∥ (𝑖 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋) ↔ (𝑄 ∥ (𝑁 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)))
15		rprmdvdspow.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		rprmdvdspow.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
17		rprmdvdspow.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
18	16, 17	mgpbas 20061	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
19		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
20	16, 19	ringidval 20099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
21		rprmdvdspow.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
22	18, 20, 21	mulg0 19013	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
23	15, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
24	23	breq2d 5122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (0 ↑ 𝑋) ↔ 𝑄 ∥ (1r‘𝑅)))
25	24	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∥ (0 ↑ 𝑋)) → 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
26		rprmdvdspow.d	. . . . . . . 8 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
27		rprmdvdspow.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
28		rprmdvdspow.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
29		rprmdvdspow.q	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
30	19, 26, 27, 28, 29	rprmndvdsr1 33502	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∥ (0 ↑ 𝑋)) → ¬ 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
32	25, 31	pm2.21dd 195	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∥ (0 ↑ 𝑋)) → 𝑄 ∥ 𝑋)
33	32	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (0 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋))
34		simpllr 775	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋)) → (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋))
35	34	syldbl2 841	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋)) → 𝑄 ∥ 𝑋)
36		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)
37		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
38	28	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑅 ∈ CRing)
39	29	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑄 ∈ 𝑃)
40	28	crngringd 20162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
41	16	ringmgp 20155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
43	42	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑀 ∈ Mnd)
44		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
45	15	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
46	18, 21, 43, 44, 45	mulgnn0cld 19034	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → (𝑛 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
47	42	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ Mnd)
48		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
49	15	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
50	16, 37	mgpplusg 20060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
51	18, 21, 50	mulgnn0p1 19024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑛 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
52	47, 48, 49, 51	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑛 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
53	52	breq2d 5122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋) ↔ 𝑄 ∥ ((𝑛 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋)))
54	53	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑄 ∥ ((𝑛 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
55	54	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑄 ∥ ((𝑛 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)𝑋))
56	17, 27, 26, 37, 38, 39, 46, 45, 55	rprmdvds 33497	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) ∨ 𝑄 ∥ 𝑋))
57	35, 36, 56	mpjaodan 960	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋)) → 𝑄 ∥ 𝑋)
58	57	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑄 ∥ (𝑛 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋)) → (𝑄 ∥ ((𝑛 + 1) ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋))
59	5, 8, 11, 14, 33, 58	nn0indd 12638	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑄 ∥ (𝑁 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋))
60	2, 59	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (𝑁 ↑ 𝑋) → 𝑄 ∥ 𝑋))
61	1, 60	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078  ℕ₀cn0 12449  Basecbs 17186  ._rcmulr 17228  Mndcmnd 18668  ._gcmg 19006  mulGrpcmgp 20056  1_rcur 20097  Ringcrg 20149  CRingccrg 20150  ∥_rcdsr 20270  RPrimecrpm 20348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-seq 13974  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mulg 19007  df-cmn 19719  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-rprm 20349

This theorem is referenced by: (None)