Theorem rprmdvdsprod 33489

Description: If a prime element 𝑄 divides a product, then it divides one term. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmdvdsprod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmdvdsprod.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmdvdsprod.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmdvdsprod.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
rprmdvdsprod.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
rprmdvdsprod.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rprmdvdsprod.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
rprmdvdsprod.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
rprmdvdsprod.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 1 )
rprmdvdsprod.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
rprmdvdsprod.3	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑀 Σg 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
rprmdvdsprod	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥, ∥   𝑥,𝐹   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rprmdvdsprod

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmdvdsprod.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑀 Σg 𝐹))
2		rprmdvdsprod.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
3		rprmdvdsprod.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	mgpbas 20056	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
5		rprmdvdsprod.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6	2, 5	ringidval 20094	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
7		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8	2, 7	mgpplusg 20055	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
9		rprmdvdsprod.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10	2	crngmgp 20152	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
12		rprmdvdsprod.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
13		rprmdvdsprod.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
14		rprmdvdsprod.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 1 )
15		disjdifr 4421	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∩ (𝐹 supp 1 )) = ∅
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∩ (𝐹 supp 1 )) = ∅)
17		suppssdm 8102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 supp 1 ) ⊆ dom 𝐹
18	17, 13	fssdm 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 1 ) ⊆ 𝐼)
19		undifr 4431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 supp 1 ) ⊆ 𝐼 ↔ ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∪ (𝐹 supp 1 )) = 𝐼)
20	18, 19	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∪ (𝐹 supp 1 )) = 𝐼)
21	20	eqcomd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∪ (𝐹 supp 1 )))
22	4, 6, 8, 11, 12, 13, 14, 16, 21	gsumsplit 19833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))))(.r‘𝑅)(𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))))
23		difssd 4085	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ⊆ 𝐼)
24	13, 23	feqresmpt 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) = (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ (𝐹‘𝑧)))
25	13	ffnd 6648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐼)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → 𝐹 Fn 𝐼)
27	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → 𝐼 ∈ 𝑉)
28	9	crngringd 20157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
29	3, 5	ringidcl 20176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → 1 ∈ 𝐵)
32		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )))
33	26, 27, 31, 32	fvdifsupp 8096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → (𝐹‘𝑧) = 1 )
34	33	mpteq2dva 5182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ (𝐹‘𝑧)) = (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 ))
35	24, 34	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) = (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 ))
36	35	oveq2d 7357	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )))) = (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 )))
37	11	cmnmndd 19709	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
38	12	difexd 5267	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∈ V)
39	6	gsumz 18736	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∈ V) → (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 )) = 1 )
40	37, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 )) = 1 )
41	36, 40	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )))) = 1 )
42	41	oveq1d 7356	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))))(.r‘𝑅)(𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))) = ( 1 (.r‘𝑅)(𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))))
43		ovexd 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 1 ) ∈ V)
44	13, 18	fssresd 6686	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )):(𝐹 supp 1 )⟶𝐵)
45	14, 30	fsuppres 9272	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )) finSupp 1 )
46	4, 6, 11, 43, 44, 45	gsumcl 19820	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))) ∈ 𝐵)
47	3, 7, 5, 28, 46	ringlidmd 20183	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))))
48	22, 42, 47	3eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))))
49	1, 48	breqtrd 5115	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))))
50		reseq2 5920	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝐹 ↾ 𝑏) = (𝐹 ↾ ∅))
51	50	oveq2d 7357	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)))
52	51	breq2d 5101	. . . 4 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) ↔ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅))))
53		rexeq 3286	. . . 4 ⊢ (𝑏 = ∅ → (∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
54	52, 53	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑏 = ∅ → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) → ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
55		reseq2 5920	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝐹 ↾ 𝑏) = (𝐹 ↾ 𝑎))
56	55	oveq2d 7357	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)))
57	56	breq2d 5101	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) ↔ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎))))
58		rexeq 3286	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
59	57, 58	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
60		reseq2 5920	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → (𝐹 ↾ 𝑏) = (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))
61	60	oveq2d 7357	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))))
62	61	breq2d 5101	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) ↔ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))))
63		rexeq 3286	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → (∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
64	62, 63	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))) → ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
65		reseq2 5920	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → (𝐹 ↾ 𝑏) = (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))
66	65	oveq2d 7357	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))))
67	66	breq2d 5101	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) ↔ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))))
68		rexeq 3286	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → (∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
69	67, 68	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))) → ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
70		rprmdvdsprod.d	. . . . . 6 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
71		rprmdvdsprod.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
72		rprmdvdsprod.q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
73	5, 70, 71, 9, 72	rprmndvdsr1 33479	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ 1 )
74		res0 5929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ↾ ∅) = ∅
75	74	oveq2i 7352	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) = (𝑀 Σg ∅)
76	6	gsum0 18584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = 1
77	75, 76	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) = 1
78	77	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) = 1 )
79	78	breq2d 5101	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) ↔ 𝑄 ∥ 1 ))
80	73, 79	mtbird 325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)))
81	80	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) → ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
82		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎))) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
83	82	syldbl2 841	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎))) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))
84		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) ∧ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑦)) → 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑦))
85		vex 3438	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
86		fveq2 6817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
87	86	breq2d 5101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑦)))
88	85, 87	rexsn 4633	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑦}𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑦))
89	84, 88	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) ∧ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ {𝑦}𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))
90	9	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑅 ∈ CRing)
91	72	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑄 ∈ 𝑃)
92	90, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑀 ∈ CMnd)
93		vex 3438	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑎 ∈ V
94	93	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑎 ∈ V)
95	13	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
96		simp-4r 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 ))
97	18	ad4antr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 supp 1 ) ⊆ 𝐼)
98	96, 97	sstrd 3943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑎 ⊆ 𝐼)
99	95, 98	fssresd 6686	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 ↾ 𝑎):𝑎⟶𝐵)
100	14	fsuppimpd 9248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 1 ) ∈ Fin)
101	100	ad4antr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 supp 1 ) ∈ Fin)
102	101, 96	ssfid 9148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑎 ∈ Fin)
103	30	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 1 ∈ 𝐵)
104	99, 102, 103	fdmfifsupp 9254	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 ↾ 𝑎) finSupp 1 )
105	4, 6, 92, 94, 99, 104	gsumcl 19820	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) ∈ 𝐵)
106	97	ssdifssd 4095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎) ⊆ 𝐼)
107		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎))
108	106, 107	sseldd 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑦 ∈ 𝐼)
109	95, 108	ffvelcdmd 7013	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
110		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))))
111		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
112		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑦)
113	37	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑀 ∈ Mnd)
114	107	eldifbd 3913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑎)
115	95	fimassd 6668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦})) ⊆ 𝐵)
116	4, 111	cntzcmn 19745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦})) ⊆ 𝐵) → ((Cntz‘𝑀)‘(𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦}))) = 𝐵)
117	92, 115, 116	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → ((Cntz‘𝑀)‘(𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦}))) = 𝐵)
118	115, 117	sseqtrrd 3970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦})) ⊆ ((Cntz‘𝑀)‘(𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦}))))
119	4, 8, 111, 112, 95, 98, 113, 102, 114, 108, 109, 118	gsumzresunsn 33026	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))) = ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎))(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
120	110, 119	breqtrd 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑄 ∥ ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎))(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
121	3, 71, 70, 7, 90, 91, 105, 109, 120	rprmdvds 33474	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) ∨ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑦)))
122	83, 89, 121	orim12da 32427	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ∨ ∃𝑥 ∈ {𝑦}𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
123		rexun 4144	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ∨ ∃𝑥 ∈ {𝑦}𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
124	122, 123	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))
125	124	exp31 419	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))) → ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
126	125	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎))) → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))) → ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
127	54, 59, 64, 69, 81, 126, 100	findcard2d 9071	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))) → ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
128	49, 127	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3054  Vcvv 3434   ∖ cdif 3897   ∪ cun 3898   ∩ cin 3899   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  {csn 4574   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170   ↾ cres 5616   “ cima 5617   Fn wfn 6472  ⟶wf 6473  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341   supp csupp 8085  Fincfn 8864   finSupp cfsupp 9240  Basecbs 17112  ._rcmulr 17154   Σ_g cgsu 17336  Mndcmnd 18634  Cntzccntz 19220  CMndccmn 19685  mulGrpcmgp 20051  1_rcur 20092  Ringcrg 20144  CRingccrg 20145  ∥_rcdsr 20265  RPrimecrpm 20343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-oi 9391  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-seq 13901  df-hash 14230  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-submnd 18684  df-mulg 18973  df-cntz 19222  df-cmn 19687  df-mgp 20052  df-ur 20093  df-ring 20146  df-cring 20147  df-oppr 20248  df-dvdsr 20268  df-unit 20269  df-rprm 20344

This theorem is referenced by:  1arithidom  33492