Theorem rprmdvdsprod 33484

Description: If a prime element 𝑄 divides a product, then it divides one term. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmdvdsprod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmdvdsprod.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmdvdsprod.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmdvdsprod.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
rprmdvdsprod.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
rprmdvdsprod.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rprmdvdsprod.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
rprmdvdsprod.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
rprmdvdsprod.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 1 )
rprmdvdsprod.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
rprmdvdsprod.3	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑀 Σg 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
rprmdvdsprod	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥, ∥   𝑥,𝐹   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rprmdvdsprod

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmdvdsprod.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑀 Σg 𝐹))
2		rprmdvdsprod.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
3		rprmdvdsprod.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	mgpbas 20048	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
5		rprmdvdsprod.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6	2, 5	ringidval 20086	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
7		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8	2, 7	mgpplusg 20047	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
9		rprmdvdsprod.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10	2	crngmgp 20144	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
12		rprmdvdsprod.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
13		rprmdvdsprod.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
14		rprmdvdsprod.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 1 )
15		disjdifr 4426	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∩ (𝐹 supp 1 )) = ∅
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∩ (𝐹 supp 1 )) = ∅)
17		suppssdm 8117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 supp 1 ) ⊆ dom 𝐹
18	17, 13	fssdm 6675	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 1 ) ⊆ 𝐼)
19		undifr 4436	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 supp 1 ) ⊆ 𝐼 ↔ ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∪ (𝐹 supp 1 )) = 𝐼)
20	18, 19	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∪ (𝐹 supp 1 )) = 𝐼)
21	20	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∪ (𝐹 supp 1 )))
22	4, 6, 8, 11, 12, 13, 14, 16, 21	gsumsplit 19825	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))))(.r‘𝑅)(𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))))
23		difssd 4090	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ⊆ 𝐼)
24	13, 23	feqresmpt 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) = (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ (𝐹‘𝑧)))
25	13	ffnd 6657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐼)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → 𝐹 Fn 𝐼)
27	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → 𝐼 ∈ 𝑉)
28	9	crngringd 20149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
29	3, 5	ringidcl 20168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → 1 ∈ 𝐵)
32		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )))
33	26, 27, 31, 32	fvdifsupp 8111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → (𝐹‘𝑧) = 1 )
34	33	mpteq2dva 5188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ (𝐹‘𝑧)) = (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 ))
35	24, 34	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) = (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 ))
36	35	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )))) = (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 )))
37	11	cmnmndd 19701	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
38	12	difexd 5273	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∈ V)
39	6	gsumz 18728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∈ V) → (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 )) = 1 )
40	37, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 )) = 1 )
41	36, 40	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )))) = 1 )
42	41	oveq1d 7368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))))(.r‘𝑅)(𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))) = ( 1 (.r‘𝑅)(𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))))
43		ovexd 7388	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 1 ) ∈ V)
44	13, 18	fssresd 6695	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )):(𝐹 supp 1 )⟶𝐵)
45	14, 30	fsuppres 9302	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )) finSupp 1 )
46	4, 6, 11, 43, 44, 45	gsumcl 19812	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))) ∈ 𝐵)
47	3, 7, 5, 28, 46	ringlidmd 20175	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))))
48	22, 42, 47	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))))
49	1, 48	breqtrd 5121	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))))
50		reseq2 5929	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝐹 ↾ 𝑏) = (𝐹 ↾ ∅))
51	50	oveq2d 7369	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)))
52	51	breq2d 5107	. . . 4 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) ↔ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅))))
53		rexeq 3286	. . . 4 ⊢ (𝑏 = ∅ → (∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
54	52, 53	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑏 = ∅ → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) → ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
55		reseq2 5929	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝐹 ↾ 𝑏) = (𝐹 ↾ 𝑎))
56	55	oveq2d 7369	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)))
57	56	breq2d 5107	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) ↔ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎))))
58		rexeq 3286	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
59	57, 58	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
60		reseq2 5929	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → (𝐹 ↾ 𝑏) = (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))
61	60	oveq2d 7369	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))))
62	61	breq2d 5107	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) ↔ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))))
63		rexeq 3286	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → (∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
64	62, 63	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))) → ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
65		reseq2 5929	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → (𝐹 ↾ 𝑏) = (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))
66	65	oveq2d 7369	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))))
67	66	breq2d 5107	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) ↔ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))))
68		rexeq 3286	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → (∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
69	67, 68	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))) → ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
70		rprmdvdsprod.d	. . . . . 6 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
71		rprmdvdsprod.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
72		rprmdvdsprod.q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
73	5, 70, 71, 9, 72	rprmndvdsr1 33474	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ 1 )
74		res0 5938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ↾ ∅) = ∅
75	74	oveq2i 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) = (𝑀 Σg ∅)
76	6	gsum0 18576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = 1
77	75, 76	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) = 1
78	77	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) = 1 )
79	78	breq2d 5107	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) ↔ 𝑄 ∥ 1 ))
80	73, 79	mtbird 325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)))
81	80	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) → ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
82		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎))) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
83	82	syldbl2 841	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎))) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))
84		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) ∧ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑦)) → 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑦))
85		vex 3442	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
86		fveq2 6826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
87	86	breq2d 5107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑦)))
88	85, 87	rexsn 4636	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑦}𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑦))
89	84, 88	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) ∧ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ {𝑦}𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))
90	9	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑅 ∈ CRing)
91	72	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑄 ∈ 𝑃)
92	90, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑀 ∈ CMnd)
93		vex 3442	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑎 ∈ V
94	93	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑎 ∈ V)
95	13	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
96		simp-4r 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 ))
97	18	ad4antr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 supp 1 ) ⊆ 𝐼)
98	96, 97	sstrd 3948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑎 ⊆ 𝐼)
99	95, 98	fssresd 6695	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 ↾ 𝑎):𝑎⟶𝐵)
100	14	fsuppimpd 9278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 1 ) ∈ Fin)
101	100	ad4antr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 supp 1 ) ∈ Fin)
102	101, 96	ssfid 9170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑎 ∈ Fin)
103	30	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 1 ∈ 𝐵)
104	99, 102, 103	fdmfifsupp 9284	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 ↾ 𝑎) finSupp 1 )
105	4, 6, 92, 94, 99, 104	gsumcl 19812	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) ∈ 𝐵)
106	97	ssdifssd 4100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎) ⊆ 𝐼)
107		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎))
108	106, 107	sseldd 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑦 ∈ 𝐼)
109	95, 108	ffvelcdmd 7023	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
110		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))))
111		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
112		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑦)
113	37	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑀 ∈ Mnd)
114	107	eldifbd 3918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑎)
115	95	fimassd 6677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦})) ⊆ 𝐵)
116	4, 111	cntzcmn 19737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦})) ⊆ 𝐵) → ((Cntz‘𝑀)‘(𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦}))) = 𝐵)
117	92, 115, 116	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → ((Cntz‘𝑀)‘(𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦}))) = 𝐵)
118	115, 117	sseqtrrd 3975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦})) ⊆ ((Cntz‘𝑀)‘(𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦}))))
119	4, 8, 111, 112, 95, 98, 113, 102, 114, 108, 109, 118	gsumzresunsn 33022	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))) = ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎))(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
120	110, 119	breqtrd 5121	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑄 ∥ ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎))(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
121	3, 71, 70, 7, 90, 91, 105, 109, 120	rprmdvds 33469	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) ∨ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑦)))
122	83, 89, 121	orim12da 32420	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ∨ ∃𝑥 ∈ {𝑦}𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
123		rexun 4149	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ∨ ∃𝑥 ∈ {𝑦}𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
124	122, 123	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))
125	124	exp31 419	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))) → ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
126	125	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎))) → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))) → ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
127	54, 59, 64, 69, 81, 126, 100	findcard2d 9090	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))) → ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
128	49, 127	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  Vcvv 3438   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4579   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176   ↾ cres 5625   “ cima 5626   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   supp csupp 8100  Fincfn 8879   finSupp cfsupp 9270  Basecbs 17138  ._rcmulr 17180   Σ_g cgsu 17362  Mndcmnd 18626  Cntzccntz 19212  CMndccmn 19677  mulGrpcmgp 20043  1_rcur 20084  Ringcrg 20136  CRingccrg 20137  ∥_rcdsr 20257  RPrimecrpm 20335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-hash 14256  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-mulg 18965  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-mgp 20044  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-rprm 20336

This theorem is referenced by:  1arithidom  33487