Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rprmdvdsprod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rprmdvdsprod 33542
Description: If a prime element 𝑄 divides a product, then it divides one term. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rprmdvdsprod.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmdvdsprod.p 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmdvdsprod.d = (∥r𝑅)
rprmdvdsprod.1 1 = (1r𝑅)
rprmdvdsprod.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
rprmdvdsprod.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
rprmdvdsprod.q (𝜑𝑄𝑃)
rprmdvdsprod.i (𝜑𝐼𝑉)
rprmdvdsprod.2 (𝜑𝐹 finSupp 1 )
rprmdvdsprod.f (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
rprmdvdsprod.3 (𝜑𝑄 (𝑀 Σg 𝐹))
Assertion
Ref Expression
rprmdvdsprod (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 (𝐹𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥,   𝑥,𝐹   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rprmdvdsprod
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rprmdvdsprod.3 . . 3 (𝜑𝑄 (𝑀 Σg 𝐹))
2 rprmdvdsprod.m . . . . . 6 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
3 rprmdvdsprod.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
42, 3mgpbas 20158 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
5 rprmdvdsprod.1 . . . . . 6 1 = (1r𝑅)
62, 5ringidval 20201 . . . . 5 1 = (0g𝑀)
7 eqid 2735 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
82, 7mgpplusg 20156 . . . . 5 (.r𝑅) = (+g𝑀)
9 rprmdvdsprod.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
102crngmgp 20259 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
12 rprmdvdsprod.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
13 rprmdvdsprod.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
14 rprmdvdsprod.2 . . . . 5 (𝜑𝐹 finSupp 1 )
15 disjdifr 4479 . . . . . 6 ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∩ (𝐹 supp 1 )) = ∅
1615a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∩ (𝐹 supp 1 )) = ∅)
17 suppssdm 8201 . . . . . . . 8 (𝐹 supp 1 ) ⊆ dom 𝐹
1817, 13fssdm 6756 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 supp 1 ) ⊆ 𝐼)
19 undifr 4489 . . . . . . 7 ((𝐹 supp 1 ) ⊆ 𝐼 ↔ ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∪ (𝐹 supp 1 )) = 𝐼)
2018, 19sylib 218 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∪ (𝐹 supp 1 )) = 𝐼)
2120eqcomd 2741 . . . . 5 (𝜑𝐼 = ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∪ (𝐹 supp 1 )))
224, 6, 8, 11, 12, 13, 14, 16, 21gsumsplit 19961 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))))(.r𝑅)(𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))))
23 difssd 4147 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ⊆ 𝐼)
2413, 23feqresmpt 6978 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) = (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ (𝐹𝑧)))
2513ffnd 6738 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 Fn 𝐼)
2625adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → 𝐹 Fn 𝐼)
2712adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → 𝐼𝑉)
289crngringd 20264 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
293, 5ringidcl 20280 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑1𝐵)
3130adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → 1𝐵)
32 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )))
3326, 27, 31, 32fvdifsupp 8195 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → (𝐹𝑧) = 1 )
3433mpteq2dva 5248 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ (𝐹𝑧)) = (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 ))
3524, 34eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) = (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 ))
3635oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )))) = (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 )))
3711cmnmndd 19837 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
3812difexd 5337 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∈ V)
396gsumz 18862 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∈ V) → (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 )) = 1 )
4037, 38, 39syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 )) = 1 )
4136, 40eqtrd 2775 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )))) = 1 )
4241oveq1d 7446 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))))(.r𝑅)(𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))) = ( 1 (.r𝑅)(𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))))
43 ovexd 7466 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 supp 1 ) ∈ V)
4413, 18fssresd 6776 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )):(𝐹 supp 1 )⟶𝐵)
4514, 30fsuppres 9431 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )) finSupp 1 )
464, 6, 11, 43, 44, 45gsumcl 19948 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))) ∈ 𝐵)
473, 7, 5, 28, 46ringlidmd 20286 . . . 4 (𝜑 → ( 1 (.r𝑅)(𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))))
4822, 42, 473eqtrd 2779 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))))
491, 48breqtrd 5174 . 2 (𝜑𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))))
50 reseq2 5995 . . . . . 6 (𝑏 = ∅ → (𝐹𝑏) = (𝐹 ↾ ∅))
5150oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑏 = ∅ → (𝑀 Σg (𝐹𝑏)) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)))
5251breq2d 5160 . . . 4 (𝑏 = ∅ → (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑏)) ↔ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅))))
53 rexeq 3320 . . . 4 (𝑏 = ∅ → (∃𝑥𝑏 𝑄 (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑄 (𝐹𝑥)))
5452, 53imbi12d 344 . . 3 (𝑏 = ∅ → ((𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑏)) → ∃𝑥𝑏 𝑄 (𝐹𝑥)) ↔ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) → ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑄 (𝐹𝑥))))
55 reseq2 5995 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑎 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎))
5655oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑏 = 𝑎 → (𝑀 Σg (𝐹𝑏)) = (𝑀 Σg (𝐹𝑎)))
5756breq2d 5160 . . . 4 (𝑏 = 𝑎 → (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑏)) ↔ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎))))
58 rexeq 3320 . . . 4 (𝑏 = 𝑎 → (∃𝑥𝑏 𝑄 (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥)))
5957, 58imbi12d 344 . . 3 (𝑏 = 𝑎 → ((𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑏)) → ∃𝑥𝑏 𝑄 (𝐹𝑥)) ↔ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))))
60 reseq2 5995 . . . . . 6 (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → (𝐹𝑏) = (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))
6160oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → (𝑀 Σg (𝐹𝑏)) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))))
6261breq2d 5160 . . . 4 (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑏)) ↔ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))))
63 rexeq 3320 . . . 4 (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → (∃𝑥𝑏 𝑄 (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 (𝐹𝑥)))
6462, 63imbi12d 344 . . 3 (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → ((𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑏)) → ∃𝑥𝑏 𝑄 (𝐹𝑥)) ↔ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))) → ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 (𝐹𝑥))))
65 reseq2 5995 . . . . . 6 (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → (𝐹𝑏) = (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))
6665oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → (𝑀 Σg (𝐹𝑏)) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))))
6766breq2d 5160 . . . 4 (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑏)) ↔ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))))
68 rexeq 3320 . . . 4 (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → (∃𝑥𝑏 𝑄 (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 (𝐹𝑥)))
6967, 68imbi12d 344 . . 3 (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → ((𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑏)) → ∃𝑥𝑏 𝑄 (𝐹𝑥)) ↔ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))) → ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 (𝐹𝑥))))
70 rprmdvdsprod.d . . . . . 6 = (∥r𝑅)
71 rprmdvdsprod.p . . . . . 6 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
72 rprmdvdsprod.q . . . . . 6 (𝜑𝑄𝑃)
735, 70, 71, 9, 72rprmndvdsr1 33532 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑄 1 )
74 res0 6004 . . . . . . . . 9 (𝐹 ↾ ∅) = ∅
7574oveq2i 7442 . . . . . . . 8 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) = (𝑀 Σg ∅)
766gsum0 18710 . . . . . . . 8 (𝑀 Σg ∅) = 1
7775, 76eqtri 2763 . . . . . . 7 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) = 1
7877a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) = 1 )
7978breq2d 5160 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) ↔ 𝑄 1 ))
8073, 79mtbird 325 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)))
8180pm2.21d 121 . . 3 (𝜑 → (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) → ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑄 (𝐹𝑥)))
82 simpllr 776 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎))) → (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥)))
8382syldbl2 841 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎))) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))
84 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) ∧ 𝑄 (𝐹𝑦)) → 𝑄 (𝐹𝑦))
85 vex 3482 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
86 fveq2 6907 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
8786breq2d 5160 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑄 (𝐹𝑥) ↔ 𝑄 (𝐹𝑦)))
8885, 87rexsn 4687 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ {𝑦}𝑄 (𝐹𝑥) ↔ 𝑄 (𝐹𝑦))
8984, 88sylibr 234 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) ∧ 𝑄 (𝐹𝑦)) → ∃𝑥 ∈ {𝑦}𝑄 (𝐹𝑥))
909ad4antr 732 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑅 ∈ CRing)
9172ad4antr 732 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑄𝑃)
9290, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑀 ∈ CMnd)
93 vex 3482 . . . . . . . . . 10 𝑎 ∈ V
9493a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑎 ∈ V)
9513ad4antr 732 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝐹:𝐼𝐵)
96 simp-4r 784 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 ))
9718ad4antr 732 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 supp 1 ) ⊆ 𝐼)
9896, 97sstrd 4006 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑎𝐼)
9995, 98fssresd 6776 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹𝑎):𝑎𝐵)
10014fsuppimpd 9407 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 supp 1 ) ∈ Fin)
101100ad4antr 732 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 supp 1 ) ∈ Fin)
102101, 96ssfid 9299 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑎 ∈ Fin)
10330ad4antr 732 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 1𝐵)
10499, 102, 103fdmfifsupp 9413 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹𝑎) finSupp 1 )
1054, 6, 92, 94, 99, 104gsumcl 19948 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) ∈ 𝐵)
10697ssdifssd 4157 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎) ⊆ 𝐼)
107 simpllr 776 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎))
108106, 107sseldd 3996 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑦𝐼)
10995, 108ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
110 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))))
111 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
112 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝑦) = (𝐹𝑦)
11337ad4antr 732 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑀 ∈ Mnd)
114107eldifbd 3976 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → ¬ 𝑦𝑎)
11595fimassd 6758 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦})) ⊆ 𝐵)
1164, 111cntzcmn 19873 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦})) ⊆ 𝐵) → ((Cntz‘𝑀)‘(𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦}))) = 𝐵)
11792, 115, 116syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → ((Cntz‘𝑀)‘(𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦}))) = 𝐵)
118115, 117sseqtrrd 4037 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦})) ⊆ ((Cntz‘𝑀)‘(𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦}))))
1194, 8, 111, 112, 95, 98, 113, 102, 114, 108, 109, 118gsumzresunsn 33042 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))) = ((𝑀 Σg (𝐹𝑎))(.r𝑅)(𝐹𝑦)))
120110, 119breqtrd 5174 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑄 ((𝑀 Σg (𝐹𝑎))(.r𝑅)(𝐹𝑦)))
1213, 71, 70, 7, 90, 91, 105, 109, 120rprmdvds 33527 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) ∨ 𝑄 (𝐹𝑦)))
12283, 89, 121orim12da 32487 . . . . . 6 (((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥) ∨ ∃𝑥 ∈ {𝑦}𝑄 (𝐹𝑥)))
123 rexun 4206 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 (𝐹𝑥) ↔ (∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥) ∨ ∃𝑥 ∈ {𝑦}𝑄 (𝐹𝑥)))
124122, 123sylibr 234 . . . . 5 (((((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥))) ∧ 𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 (𝐹𝑥))
125124exp31 419 . . . 4 (((𝜑𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) → ((𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥)) → (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))) → ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 (𝐹𝑥))))
126125anasss 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎))) → ((𝑄 (𝑀 Σg (𝐹𝑎)) → ∃𝑥𝑎 𝑄 (𝐹𝑥)) → (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))) → ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 (𝐹𝑥))))
12754, 59, 64, 69, 81, 126, 100findcard2d 9205 . 2 (𝜑 → (𝑄 (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))) → ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 (𝐹𝑥)))
12849, 127mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 (𝐹𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  cin 3962  wss 3963  c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cres 5691  cima 5692   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431   supp csupp 8184  Fincfn 8984   finSupp cfsupp 9399  Basecbs 17245  .rcmulr 17299   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760  Cntzccntz 19346  CMndccmn 19813  mulGrpcmgp 20152  1rcur 20199  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  rcdsr 20371  RPrimecrpm 20449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-rprm 20450
This theorem is referenced by:  1arithidom  33545
  Copyright terms: Public domain W3C validator