Theorem rprmdvdsprod 33497

Description: If a prime element 𝑄 divides a product, then it divides one term. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmdvdsprod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmdvdsprod.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmdvdsprod.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmdvdsprod.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
rprmdvdsprod.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
rprmdvdsprod.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rprmdvdsprod.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
rprmdvdsprod.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
rprmdvdsprod.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 1 )
rprmdvdsprod.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
rprmdvdsprod.3	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑀 Σg 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
rprmdvdsprod	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥, ∥   𝑥,𝐹   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rprmdvdsprod

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmdvdsprod.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑀 Σg 𝐹))
2		rprmdvdsprod.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
3		rprmdvdsprod.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	mgpbas 20064	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
5		rprmdvdsprod.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6	2, 5	ringidval 20102	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
7		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8	2, 7	mgpplusg 20063	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
9		rprmdvdsprod.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10	2	crngmgp 20160	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
12		rprmdvdsprod.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
13		rprmdvdsprod.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
14		rprmdvdsprod.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 1 )
15		disjdifr 4423	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∩ (𝐹 supp 1 )) = ∅
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∩ (𝐹 supp 1 )) = ∅)
17		suppssdm 8107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 supp 1 ) ⊆ dom 𝐹
18	17, 13	fssdm 6670	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 1 ) ⊆ 𝐼)
19		undifr 4433	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 supp 1 ) ⊆ 𝐼 ↔ ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∪ (𝐹 supp 1 )) = 𝐼)
20	18, 19	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∪ (𝐹 supp 1 )) = 𝐼)
21	20	eqcomd 2737	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∪ (𝐹 supp 1 )))
22	4, 6, 8, 11, 12, 13, 14, 16, 21	gsumsplit 19841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))))(.r‘𝑅)(𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))))
23		difssd 4087	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ⊆ 𝐼)
24	13, 23	feqresmpt 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) = (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ (𝐹‘𝑧)))
25	13	ffnd 6652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐼)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → 𝐹 Fn 𝐼)
27	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → 𝐼 ∈ 𝑉)
28	9	crngringd 20165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
29	3, 5	ringidcl 20184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → 1 ∈ 𝐵)
32		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )))
33	26, 27, 31, 32	fvdifsupp 8101	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → (𝐹‘𝑧) = 1 )
34	33	mpteq2dva 5184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ (𝐹‘𝑧)) = (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 ))
35	24, 34	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) = (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 ))
36	35	oveq2d 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )))) = (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 )))
37	11	cmnmndd 19717	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
38	12	difexd 5269	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∈ V)
39	6	gsumz 18744	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∈ V) → (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 )) = 1 )
40	37, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 )) = 1 )
41	36, 40	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )))) = 1 )
42	41	oveq1d 7361	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))))(.r‘𝑅)(𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))) = ( 1 (.r‘𝑅)(𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))))
43		ovexd 7381	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 1 ) ∈ V)
44	13, 18	fssresd 6690	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )):(𝐹 supp 1 )⟶𝐵)
45	14, 30	fsuppres 9277	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )) finSupp 1 )
46	4, 6, 11, 43, 44, 45	gsumcl 19828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))) ∈ 𝐵)
47	3, 7, 5, 28, 46	ringlidmd 20191	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))))
48	22, 42, 47	3eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))))
49	1, 48	breqtrd 5117	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))))
50		reseq2 5923	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝐹 ↾ 𝑏) = (𝐹 ↾ ∅))
51	50	oveq2d 7362	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)))
52	51	breq2d 5103	. . . 4 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) ↔ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅))))
53		rexeq 3288	. . . 4 ⊢ (𝑏 = ∅ → (∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
54	52, 53	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑏 = ∅ → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) → ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
55		reseq2 5923	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝐹 ↾ 𝑏) = (𝐹 ↾ 𝑎))
56	55	oveq2d 7362	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)))
57	56	breq2d 5103	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) ↔ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎))))
58		rexeq 3288	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
59	57, 58	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
60		reseq2 5923	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → (𝐹 ↾ 𝑏) = (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))
61	60	oveq2d 7362	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))))
62	61	breq2d 5103	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) ↔ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))))
63		rexeq 3288	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → (∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
64	62, 63	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))) → ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
65		reseq2 5923	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → (𝐹 ↾ 𝑏) = (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))
66	65	oveq2d 7362	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))))
67	66	breq2d 5103	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) ↔ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))))
68		rexeq 3288	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → (∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
69	67, 68	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))) → ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
70		rprmdvdsprod.d	. . . . . 6 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
71		rprmdvdsprod.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
72		rprmdvdsprod.q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
73	5, 70, 71, 9, 72	rprmndvdsr1 33487	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ 1 )
74		res0 5932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ↾ ∅) = ∅
75	74	oveq2i 7357	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) = (𝑀 Σg ∅)
76	6	gsum0 18592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = 1
77	75, 76	eqtri 2754	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) = 1
78	77	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) = 1 )
79	78	breq2d 5103	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) ↔ 𝑄 ∥ 1 ))
80	73, 79	mtbird 325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)))
81	80	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) → ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
82		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎))) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
83	82	syldbl2 841	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎))) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))
84		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) ∧ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑦)) → 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑦))
85		vex 3440	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
86		fveq2 6822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
87	86	breq2d 5103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑦)))
88	85, 87	rexsn 4635	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑦}𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑦))
89	84, 88	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) ∧ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ {𝑦}𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))
90	9	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑅 ∈ CRing)
91	72	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑄 ∈ 𝑃)
92	90, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑀 ∈ CMnd)
93		vex 3440	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑎 ∈ V
94	93	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑎 ∈ V)
95	13	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
96		simp-4r 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 ))
97	18	ad4antr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 supp 1 ) ⊆ 𝐼)
98	96, 97	sstrd 3945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑎 ⊆ 𝐼)
99	95, 98	fssresd 6690	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 ↾ 𝑎):𝑎⟶𝐵)
100	14	fsuppimpd 9253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 1 ) ∈ Fin)
101	100	ad4antr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 supp 1 ) ∈ Fin)
102	101, 96	ssfid 9153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑎 ∈ Fin)
103	30	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 1 ∈ 𝐵)
104	99, 102, 103	fdmfifsupp 9259	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 ↾ 𝑎) finSupp 1 )
105	4, 6, 92, 94, 99, 104	gsumcl 19828	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) ∈ 𝐵)
106	97	ssdifssd 4097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎) ⊆ 𝐼)
107		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎))
108	106, 107	sseldd 3935	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑦 ∈ 𝐼)
109	95, 108	ffvelcdmd 7018	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
110		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))))
111		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
112		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑦)
113	37	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑀 ∈ Mnd)
114	107	eldifbd 3915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑎)
115	95	fimassd 6672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦})) ⊆ 𝐵)
116	4, 111	cntzcmn 19753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦})) ⊆ 𝐵) → ((Cntz‘𝑀)‘(𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦}))) = 𝐵)
117	92, 115, 116	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → ((Cntz‘𝑀)‘(𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦}))) = 𝐵)
118	115, 117	sseqtrrd 3972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦})) ⊆ ((Cntz‘𝑀)‘(𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦}))))
119	4, 8, 111, 112, 95, 98, 113, 102, 114, 108, 109, 118	gsumzresunsn 33034	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))) = ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎))(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
120	110, 119	breqtrd 5117	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑄 ∥ ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎))(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
121	3, 71, 70, 7, 90, 91, 105, 109, 120	rprmdvds 33482	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) ∨ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑦)))
122	83, 89, 121	orim12da 32435	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ∨ ∃𝑥 ∈ {𝑦}𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
123		rexun 4146	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ∨ ∃𝑥 ∈ {𝑦}𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
124	122, 123	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))
125	124	exp31 419	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))) → ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
126	125	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎))) → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))) → ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
127	54, 59, 64, 69, 81, 126, 100	findcard2d 9076	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))) → ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
128	49, 127	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  {csn 4576   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172   ↾ cres 5618   “ cima 5619   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   supp csupp 8090  Fincfn 8869   finSupp cfsupp 9245  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162   Σ_g cgsu 17344  Mndcmnd 18642  Cntzccntz 19228  CMndccmn 19693  mulGrpcmgp 20059  1_rcur 20100  Ringcrg 20152  CRingccrg 20153  ∥_rcdsr 20273  RPrimecrpm 20351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981  df-cntz 19230  df-cmn 19695  df-mgp 20060  df-ur 20101  df-ring 20154  df-cring 20155  df-oppr 20256  df-dvdsr 20276  df-unit 20277  df-rprm 20352

This theorem is referenced by:  1arithidom  33500