Theorem rprmdvdsprod 33624

Description: If a prime element 𝑄 divides a product, then it divides one term. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmdvdsprod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmdvdsprod.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmdvdsprod.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmdvdsprod.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
rprmdvdsprod.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
rprmdvdsprod.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rprmdvdsprod.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
rprmdvdsprod.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
rprmdvdsprod.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 1 )
rprmdvdsprod.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
rprmdvdsprod.3	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑀 Σg 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
rprmdvdsprod	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥, ∥   𝑥,𝐹   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rprmdvdsprod

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmdvdsprod.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑀 Σg 𝐹))
2		rprmdvdsprod.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
3		rprmdvdsprod.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	mgpbas 20124	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
5		rprmdvdsprod.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6	2, 5	ringidval 20162	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
7		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8	2, 7	mgpplusg 20123	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
9		rprmdvdsprod.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10	2	crngmgp 20220	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
12		rprmdvdsprod.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
13		rprmdvdsprod.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
14		rprmdvdsprod.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 1 )
15		disjdifr 4408	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∩ (𝐹 supp 1 )) = ∅
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∩ (𝐹 supp 1 )) = ∅)
17		suppssdm 8124	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 supp 1 ) ⊆ dom 𝐹
18	17, 13	fssdm 6681	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 1 ) ⊆ 𝐼)
19		undifr 4418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 supp 1 ) ⊆ 𝐼 ↔ ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∪ (𝐹 supp 1 )) = 𝐼)
20	18, 19	sylib 219	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∪ (𝐹 supp 1 )) = 𝐼)
21	20	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∪ (𝐹 supp 1 )))
22	4, 6, 8, 11, 12, 13, 14, 16, 21	gsumsplit 19901	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))))(.r‘𝑅)(𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))))
23		difssd 4074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ⊆ 𝐼)
24	13, 23	feqresmpt 6903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) = (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ (𝐹‘𝑧)))
25	13	ffnd 6663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐼)
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → 𝐹 Fn 𝐼)
27	12	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → 𝐼 ∈ 𝑉)
28	9	crngringd 20225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
29	3, 5	ringidcl 20244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → 1 ∈ 𝐵)
32		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )))
33	26, 27, 31, 32	fvdifsupp 8118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → (𝐹‘𝑧) = 1 )
34	33	mpteq2dva 5172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ (𝐹‘𝑧)) = (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 ))
35	24, 34	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) = (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 ))
36	35	oveq2d 7379	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )))) = (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 )))
37	11	cmnmndd 19777	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
38	12	difexd 5266	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∈ V)
39	6	gsumz 18802	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∈ V) → (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 )) = 1 )
40	37, 38, 39	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 )) = 1 )
41	36, 40	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )))) = 1 )
42	41	oveq1d 7378	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))))(.r‘𝑅)(𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))) = ( 1 (.r‘𝑅)(𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))))
43		ovexd 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 1 ) ∈ V)
44	13, 18	fssresd 6701	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )):(𝐹 supp 1 )⟶𝐵)
45	14, 30	fsuppres 9303	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )) finSupp 1 )
46	4, 6, 11, 43, 44, 45	gsumcl 19888	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))) ∈ 𝐵)
47	3, 7, 5, 28, 46	ringlidmd 20251	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))))
48	22, 42, 47	3eqtrd 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))))
49	1, 48	breqtrd 5105	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))))
50		reseq2 5933	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝐹 ↾ 𝑏) = (𝐹 ↾ ∅))
51	50	oveq2d 7379	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)))
52	51	breq2d 5091	. . . 4 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) ↔ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅))))
53		rexeq 3294	. . . 4 ⊢ (𝑏 = ∅ → (∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
54	52, 53	imbi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑏 = ∅ → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) → ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
55		reseq2 5933	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝐹 ↾ 𝑏) = (𝐹 ↾ 𝑎))
56	55	oveq2d 7379	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)))
57	56	breq2d 5091	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) ↔ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎))))
58		rexeq 3294	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
59	57, 58	imbi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
60		reseq2 5933	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → (𝐹 ↾ 𝑏) = (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))
61	60	oveq2d 7379	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))))
62	61	breq2d 5091	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) ↔ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))))
63		rexeq 3294	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → (∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
64	62, 63	imbi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))) → ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
65		reseq2 5933	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → (𝐹 ↾ 𝑏) = (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))
66	65	oveq2d 7379	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))))
67	66	breq2d 5091	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) ↔ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))))
68		rexeq 3294	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → (∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
69	67, 68	imbi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))) → ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
70		rprmdvdsprod.d	. . . . . 6 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
71		rprmdvdsprod.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
72		rprmdvdsprod.q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
73	5, 70, 71, 9, 72	rprmndvdsr1 33614	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ 1 )
74		res0 5942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ↾ ∅) = ∅
75	74	oveq2i 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) = (𝑀 Σg ∅)
76	6	gsum0 18650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = 1
77	75, 76	eqtri 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) = 1
78	77	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) = 1 )
79	78	breq2d 5091	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) ↔ 𝑄 ∥ 1 ))
80	73, 79	mtbird 326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)))
81	80	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) → ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
82		simpllr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎))) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
83	82	syldbl2 847	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎))) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))
84		vex 3436	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
85		fveq2 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
86	85	breq2d 5091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑦)))
87	84, 86	rexsn 4621	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑦}𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑦))
88	87	bilanri 507	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) ∧ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ {𝑦}𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))
89	9	ad4antr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑅 ∈ CRing)
90	72	ad4antr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑄 ∈ 𝑃)
91	89, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑀 ∈ CMnd)
92		vex 3436	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑎 ∈ V
93	92	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑎 ∈ V)
94	13	ad4antr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
95		simp-4r 789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 ))
96	18	ad4antr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 supp 1 ) ⊆ 𝐼)
97	95, 96	sstrd 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑎 ⊆ 𝐼)
98	94, 97	fssresd 6701	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 ↾ 𝑎):𝑎⟶𝐵)
99	14	fsuppimpd 9279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 1 ) ∈ Fin)
100	99	ad4antr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 supp 1 ) ∈ Fin)
101	100, 95	ssfid 9176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑎 ∈ Fin)
102	30	ad4antr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 1 ∈ 𝐵)
103	98, 101, 102	fdmfifsupp 9285	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 ↾ 𝑎) finSupp 1 )
104	4, 6, 91, 93, 98, 103	gsumcl 19888	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) ∈ 𝐵)
105	96	ssdifssd 4084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎) ⊆ 𝐼)
106		simpllr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎))
107	105, 106	sseldd 3923	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑦 ∈ 𝐼)
108	94, 107	ffvelcdmd 7033	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
109		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))))
110		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
111		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑦)
112	37	ad4antr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑀 ∈ Mnd)
113	106	eldifbd 3903	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑎)
114	94	fimassd 6683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦})) ⊆ 𝐵)
115	4, 110	cntzcmn 19813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦})) ⊆ 𝐵) → ((Cntz‘𝑀)‘(𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦}))) = 𝐵)
116	91, 114, 115	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → ((Cntz‘𝑀)‘(𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦}))) = 𝐵)
117	114, 116	sseqtrrd 3959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦})) ⊆ ((Cntz‘𝑀)‘(𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦}))))
118	4, 8, 110, 111, 94, 97, 112, 101, 113, 107, 108, 117	gsumzresunsn 33150	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))) = ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎))(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
119	109, 118	breqtrd 5105	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑄 ∥ ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎))(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
120	3, 71, 70, 7, 89, 90, 104, 108, 119	rprmdvds 33609	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) ∨ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑦)))
121	83, 88, 120	orim12da 32552	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ∨ ∃𝑥 ∈ {𝑦}𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
122		rexun 4132	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ∨ ∃𝑥 ∈ {𝑦}𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
123	121, 122	sylibr 235	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))
124	123	exp31 420	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))) → ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
125	124	anasss 467	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎))) → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))) → ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
126	54, 59, 64, 69, 81, 125, 99	findcard2d 9098	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))) → ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
127	49, 126	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3064  Vcvv 3432   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  {csn 4562   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160   ↾ cres 5627   “ cima 5628   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   supp csupp 8107  Fincfn 8890   finSupp cfsupp 9271  Basecbs 17177  ._rcmulr 17219   Σ_g cgsu 17401  Mndcmnd 18700  Cntzccntz 19288  CMndccmn 19753  mulGrpcmgp 20119  1_rcur 20160  Ringcrg 20212  CRingccrg 20213  ∥_rcdsr 20332  RPrimecrpm 20410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-hash 14291  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-mgp 20120  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-rprm 20411

This theorem is referenced by:  1arithidom  33627