Theorem rprmdvdsprod 33594

Description: If a prime element 𝑄 divides a product, then it divides one term. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmdvdsprod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmdvdsprod.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmdvdsprod.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmdvdsprod.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
rprmdvdsprod.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
rprmdvdsprod.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rprmdvdsprod.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
rprmdvdsprod.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
rprmdvdsprod.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 1 )
rprmdvdsprod.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
rprmdvdsprod.3	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑀 Σg 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
rprmdvdsprod	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥, ∥   𝑥,𝐹   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rprmdvdsprod

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmdvdsprod.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑀 Σg 𝐹))
2		rprmdvdsprod.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
3		rprmdvdsprod.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	mgpbas 20126	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
5		rprmdvdsprod.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6	2, 5	ringidval 20164	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
7		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8	2, 7	mgpplusg 20125	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
9		rprmdvdsprod.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10	2	crngmgp 20222	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
12		rprmdvdsprod.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
13		rprmdvdsprod.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
14		rprmdvdsprod.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 1 )
15		disjdifr 4413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∩ (𝐹 supp 1 )) = ∅
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∩ (𝐹 supp 1 )) = ∅)
17		suppssdm 8127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 supp 1 ) ⊆ dom 𝐹
18	17, 13	fssdm 6687	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 1 ) ⊆ 𝐼)
19		undifr 4423	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 supp 1 ) ⊆ 𝐼 ↔ ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∪ (𝐹 supp 1 )) = 𝐼)
20	18, 19	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∪ (𝐹 supp 1 )) = 𝐼)
21	20	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = ((𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∪ (𝐹 supp 1 )))
22	4, 6, 8, 11, 12, 13, 14, 16, 21	gsumsplit 19903	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))))(.r‘𝑅)(𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))))
23		difssd 4077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ⊆ 𝐼)
24	13, 23	feqresmpt 6909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) = (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ (𝐹‘𝑧)))
25	13	ffnd 6669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐼)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → 𝐹 Fn 𝐼)
27	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → 𝐼 ∈ 𝑉)
28	9	crngringd 20227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
29	3, 5	ringidcl 20246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → 1 ∈ 𝐵)
32		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )))
33	26, 27, 31, 32	fvdifsupp 8121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) → (𝐹‘𝑧) = 1 )
34	33	mpteq2dva 5178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ (𝐹‘𝑧)) = (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 ))
35	24, 34	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))) = (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 ))
36	35	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )))) = (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 )))
37	11	cmnmndd 19779	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
38	12	difexd 5272	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∈ V)
39	6	gsumz 18804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ∈ V) → (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 )) = 1 )
40	37, 38, 39	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )) ↦ 1 )) = 1 )
41	36, 40	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 )))) = 1 )
42	41	oveq1d 7382	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 1 ))))(.r‘𝑅)(𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))) = ( 1 (.r‘𝑅)(𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))))
43		ovexd 7402	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 1 ) ∈ V)
44	13, 18	fssresd 6707	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )):(𝐹 supp 1 )⟶𝐵)
45	14, 30	fsuppres 9306	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )) finSupp 1 )
46	4, 6, 11, 43, 44, 45	gsumcl 19890	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))) ∈ 𝐵)
47	3, 7, 5, 28, 46	ringlidmd 20253	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))))
48	22, 42, 47	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))))
49	1, 48	breqtrd 5111	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))))
50		reseq2 5939	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝐹 ↾ 𝑏) = (𝐹 ↾ ∅))
51	50	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)))
52	51	breq2d 5097	. . . 4 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) ↔ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅))))
53		rexeq 3291	. . . 4 ⊢ (𝑏 = ∅ → (∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
54	52, 53	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑏 = ∅ → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) → ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
55		reseq2 5939	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝐹 ↾ 𝑏) = (𝐹 ↾ 𝑎))
56	55	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)))
57	56	breq2d 5097	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) ↔ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎))))
58		rexeq 3291	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
59	57, 58	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
60		reseq2 5939	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → (𝐹 ↾ 𝑏) = (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))
61	60	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))))
62	61	breq2d 5097	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) ↔ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))))
63		rexeq 3291	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → (∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
64	62, 63	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∪ {𝑦}) → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))) → ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
65		reseq2 5939	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → (𝐹 ↾ 𝑏) = (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))
66	65	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) = (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))))
67	66	breq2d 5097	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) ↔ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 )))))
68		rexeq 3291	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → (∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
69	67, 68	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑏 = (𝐹 supp 1 ) → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝑏 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))) → ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
70		rprmdvdsprod.d	. . . . . 6 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
71		rprmdvdsprod.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
72		rprmdvdsprod.q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
73	5, 70, 71, 9, 72	rprmndvdsr1 33584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ 1 )
74		res0 5948	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ↾ ∅) = ∅
75	74	oveq2i 7378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) = (𝑀 Σg ∅)
76	6	gsum0 18652	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = 1
77	75, 76	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) = 1
78	77	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) = 1 )
79	78	breq2d 5097	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) ↔ 𝑄 ∥ 1 ))
80	73, 79	mtbird 325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)))
81	80	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ ∅)) → ∃𝑥 ∈ ∅ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
82		simpllr 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎))) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
83	82	syldbl2 842	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎))) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))
84		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) ∧ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑦)) → 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑦))
85		vex 3433	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
86		fveq2 6840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
87	86	breq2d 5097	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑦)))
88	85, 87	rexsn 4626	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑦}𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑦))
89	84, 88	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) ∧ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ {𝑦}𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))
90	9	ad4antr 733	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑅 ∈ CRing)
91	72	ad4antr 733	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑄 ∈ 𝑃)
92	90, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑀 ∈ CMnd)
93		vex 3433	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑎 ∈ V
94	93	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑎 ∈ V)
95	13	ad4antr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
96		simp-4r 784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 ))
97	18	ad4antr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 supp 1 ) ⊆ 𝐼)
98	96, 97	sstrd 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑎 ⊆ 𝐼)
99	95, 98	fssresd 6707	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 ↾ 𝑎):𝑎⟶𝐵)
100	14	fsuppimpd 9282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 1 ) ∈ Fin)
101	100	ad4antr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 supp 1 ) ∈ Fin)
102	101, 96	ssfid 9179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑎 ∈ Fin)
103	30	ad4antr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 1 ∈ 𝐵)
104	99, 102, 103	fdmfifsupp 9288	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 ↾ 𝑎) finSupp 1 )
105	4, 6, 92, 94, 99, 104	gsumcl 19890	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) ∈ 𝐵)
106	97	ssdifssd 4087	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎) ⊆ 𝐼)
107		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎))
108	106, 107	sseldd 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑦 ∈ 𝐼)
109	95, 108	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
110		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))))
111		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
112		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑦)
113	37	ad4antr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑀 ∈ Mnd)
114	107	eldifbd 3902	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑎)
115	95	fimassd 6689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦})) ⊆ 𝐵)
116	4, 111	cntzcmn 19815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦})) ⊆ 𝐵) → ((Cntz‘𝑀)‘(𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦}))) = 𝐵)
117	92, 115, 116	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → ((Cntz‘𝑀)‘(𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦}))) = 𝐵)
118	115, 117	sseqtrrd 3959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦})) ⊆ ((Cntz‘𝑀)‘(𝐹 “ (𝑎 ∪ {𝑦}))))
119	4, 8, 111, 112, 95, 98, 113, 102, 114, 108, 109, 118	gsumzresunsn 33123	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))) = ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎))(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
120	110, 119	breqtrd 5111	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → 𝑄 ∥ ((𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎))(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑦)))
121	3, 71, 70, 7, 90, 91, 105, 109, 120	rprmdvds 33579	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) ∨ 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑦)))
122	83, 89, 121	orim12da 32527	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → (∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ∨ ∃𝑥 ∈ {𝑦}𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
123		rexun 4136	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥) ∨ ∃𝑥 ∈ {𝑦}𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
124	122, 123	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) ∧ (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦})))) → ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))
125	124	exp31 419	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 )) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎)) → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))) → ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
126	125	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ⊆ (𝐹 supp 1 ) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹 supp 1 ) ∖ 𝑎))) → ((𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ 𝑎 𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)) → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝑎 ∪ {𝑦}))) → ∃𝑥 ∈ (𝑎 ∪ {𝑦})𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))))
127	54, 59, 64, 69, 81, 126, 100	findcard2d 9101	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (𝑀 Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 1 ))) → ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥)))
128	49, 127	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐹 supp 1 )𝑄 ∥ (𝐹‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886   ∪ cun 3887   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  {csn 4567   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166   ↾ cres 5633   “ cima 5634   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   supp csupp 8110  Fincfn 8893   finSupp cfsupp 9274  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221   Σ_g cgsu 17403  Mndcmnd 18702  Cntzccntz 19290  CMndccmn 19755  mulGrpcmgp 20121  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  CRingccrg 20215  ∥_rcdsr 20334  RPrimecrpm 20412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-rprm 20413

This theorem is referenced by:  1arithidom  33597