Theorem rprmndvdsru 33341

Description: A ring prime element does not divide any ring unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmndvdsru.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
rprmndvdsru.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmndvdsru.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmndvdsru.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rprmndvdsru.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
rprmndvdsru.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
rprmndvdsru	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ 𝑇)

Proof of Theorem rprmndvdsru

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2725	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		rprmndvdsru.d	. . 3 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
3		rprmndvdsru.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
4		rprmndvdsru.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5		rprmndvdsru.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
6	1, 2, 3, 4, 5	rprmndvdsr1 33336	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
7	4	crngringd 20198	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		rprmndvdsru.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)
9		rprmndvdsru.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
10	9, 1, 2	crngunit 20329	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑇 ∈ 𝑈 ↔ 𝑇 ∥ (1r‘𝑅)))
11	10	biimpa 475	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑇 ∈ 𝑈) → 𝑇 ∥ (1r‘𝑅))
12	4, 8, 11	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∥ (1r‘𝑅))
13		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	13, 2	dvdsrtr 20319	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∥ 𝑇 ∧ 𝑇 ∥ (1r‘𝑅)) → 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
15	14	3expa 1115	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∥ 𝑇) ∧ 𝑇 ∥ (1r‘𝑅)) → 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
16	15	an32s 650	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∥ (1r‘𝑅)) ∧ 𝑄 ∥ 𝑇) → 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
17	16	ex 411	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∥ (1r‘𝑅)) → (𝑄 ∥ 𝑇 → 𝑄 ∥ (1r‘𝑅)))
18	7, 12, 17	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ 𝑇 → 𝑄 ∥ (1r‘𝑅)))
19	6, 18	mtod 197	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ 𝑇)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  Basecbs 17183  1_rcur 20133  Ringcrg 20185  CRingccrg 20186  ∥_rcdsr 20305  Unitcui 20306  RPrimecrpm 20383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-cmn 19749  df-mgp 20087  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-rprm 20384

This theorem is referenced by:  1arithidom  33349