Theorem rprmndvdsru 34165

Description: A ring prime element does not divide any ring unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmndvdsru.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
rprmndvdsru.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmndvdsru.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmndvdsru.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rprmndvdsru.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
rprmndvdsru.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
rprmndvdsru	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ 𝑇)

Proof of Theorem rprmndvdsru

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		rprmndvdsru.d	. . 3 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
3		rprmndvdsru.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
4		rprmndvdsru.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5		rprmndvdsru.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
6	1, 2, 3, 4, 5	rprmndvdsr1 34160	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
7	4	crngringd 20524	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		rprmndvdsru.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)
9		rprmndvdsru.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
10	9, 1, 2	crngunit 20659	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑇 ∈ 𝑈 ↔ 𝑇 ∥ (1r‘𝑅)))
11	10	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑇 ∈ 𝑈) → 𝑇 ∥ (1r‘𝑅))
12	4, 8, 11	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∥ (1r‘𝑅))
13		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	13, 2	dvdsrtr 20649	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∥ 𝑇 ∧ 𝑇 ∥ (1r‘𝑅)) → 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
15	14	3expa 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∥ 𝑇) ∧ 𝑇 ∥ (1r‘𝑅)) → 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
16	15	an32s 665	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∥ (1r‘𝑅)) ∧ 𝑄 ∥ 𝑇) → 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
17	16	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∥ (1r‘𝑅)) → (𝑄 ∥ 𝑇 → 𝑄 ∥ (1r‘𝑅)))
18	7, 12, 17	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ 𝑇 → 𝑄 ∥ (1r‘𝑅)))
19	6, 18	mtod 201	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  Basecbs 17431  1_rcur 20458  Ringcrg 20510  CRingccrg 20511  ∥_rcdsr 20635  Unitcui 20636  RPrimecrpm 20713

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-cmn 20047  df-mgp 20412  df-ring 20512  df-cring 20513  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-rprm 20714

This theorem is used by:  1arithidom  34173