Theorem rprmndvdsru 33684

Description: A ring prime element does not divide any ring unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmndvdsru.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
rprmndvdsru.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmndvdsru.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmndvdsru.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rprmndvdsru.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
rprmndvdsru.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
rprmndvdsru	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ 𝑇)

Proof of Theorem rprmndvdsru

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		rprmndvdsru.d	. . 3 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
3		rprmndvdsru.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
4		rprmndvdsru.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5		rprmndvdsru.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
6	1, 2, 3, 4, 5	rprmndvdsr1 33679	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
7	4	crngringd 20273	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		rprmndvdsru.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)
9		rprmndvdsru.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
10	9, 1, 2	crngunit 20404	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑇 ∈ 𝑈 ↔ 𝑇 ∥ (1r‘𝑅)))
11	10	biimpa 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑇 ∈ 𝑈) → 𝑇 ∥ (1r‘𝑅))
12	4, 8, 11	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∥ (1r‘𝑅))
13		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	13, 2	dvdsrtr 20394	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∥ 𝑇 ∧ 𝑇 ∥ (1r‘𝑅)) → 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
15	14	3expa 1130	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∥ 𝑇) ∧ 𝑇 ∥ (1r‘𝑅)) → 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
16	15	an32s 662	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∥ (1r‘𝑅)) ∧ 𝑄 ∥ 𝑇) → 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
17	16	ex 416	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∥ (1r‘𝑅)) → (𝑄 ∥ 𝑇 → 𝑄 ∥ (1r‘𝑅)))
18	7, 12, 17	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ 𝑇 → 𝑄 ∥ (1r‘𝑅)))
19	6, 18	mtod 200	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ 𝑇)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  ‘cfv 6515  Basecbs 17226  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  CRingccrg 20261  ∥_rcdsr 20380  Unitcui 20381  RPrimecrpm 20458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-tpos 8199  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12206  df-2 12275  df-3 12276  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-plusg 17280  df-mulr 17281  df-mgm 18655  df-sgrp 18734  df-mnd 18750  df-cmn 19803  df-mgp 20168  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20363  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-rprm 20459

This theorem is referenced by:  1arithidom  33692