Theorem rprmndvdsru 33538

Description: A ring prime element does not divide any ring unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmndvdsru.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
rprmndvdsru.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmndvdsru.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmndvdsru.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rprmndvdsru.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
rprmndvdsru.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
rprmndvdsru	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ 𝑇)

Proof of Theorem rprmndvdsru

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		rprmndvdsru.d	. . 3 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
3		rprmndvdsru.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
4		rprmndvdsru.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5		rprmndvdsru.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
6	1, 2, 3, 4, 5	rprmndvdsr1 33533	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
7	4	crngringd 20172	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		rprmndvdsru.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)
9		rprmndvdsru.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
10	9, 1, 2	crngunit 20305	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑇 ∈ 𝑈 ↔ 𝑇 ∥ (1r‘𝑅)))
11	10	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑇 ∈ 𝑈) → 𝑇 ∥ (1r‘𝑅))
12	4, 8, 11	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∥ (1r‘𝑅))
13		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	13, 2	dvdsrtr 20295	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∥ 𝑇 ∧ 𝑇 ∥ (1r‘𝑅)) → 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
15	14	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∥ 𝑇) ∧ 𝑇 ∥ (1r‘𝑅)) → 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
16	15	an32s 652	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∥ (1r‘𝑅)) ∧ 𝑄 ∥ 𝑇) → 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
17	16	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∥ (1r‘𝑅)) → (𝑄 ∥ 𝑇 → 𝑄 ∥ (1r‘𝑅)))
18	7, 12, 17	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ 𝑇 → 𝑄 ∥ (1r‘𝑅)))
19	6, 18	mtod 198	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ 𝑇)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  Basecbs 17127  1_rcur 20107  Ringcrg 20159  CRingccrg 20160  ∥_rcdsr 20281  Unitcui 20282  RPrimecrpm 20359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-cmn 19702  df-mgp 20067  df-ring 20161  df-cring 20162  df-oppr 20264  df-dvdsr 20284  df-unit 20285  df-rprm 20360

This theorem is referenced by:  1arithidom  33546