Theorem rprmndvdsru 33939

Description: A ring prime element does not divide any ring unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmndvdsru.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
rprmndvdsru.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmndvdsru.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmndvdsru.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rprmndvdsru.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
rprmndvdsru.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
rprmndvdsru	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ 𝑇)

Proof of Theorem rprmndvdsru

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		rprmndvdsru.d	. . 3 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
3		rprmndvdsru.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
4		rprmndvdsru.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5		rprmndvdsru.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
6	1, 2, 3, 4, 5	rprmndvdsr1 33934	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
7	4	crngringd 20385	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		rprmndvdsru.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)
9		rprmndvdsru.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
10	9, 1, 2	crngunit 20519	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑇 ∈ 𝑈 ↔ 𝑇 ∥ (1r‘𝑅)))
11	10	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑇 ∈ 𝑈) → 𝑇 ∥ (1r‘𝑅))
12	4, 8, 11	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∥ (1r‘𝑅))
13		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	13, 2	dvdsrtr 20509	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∥ 𝑇 ∧ 𝑇 ∥ (1r‘𝑅)) → 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
15	14	3expa 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∥ 𝑇) ∧ 𝑇 ∥ (1r‘𝑅)) → 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
16	15	an32s 665	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∥ (1r‘𝑅)) ∧ 𝑄 ∥ 𝑇) → 𝑄 ∥ (1r‘𝑅))
17	16	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∥ (1r‘𝑅)) → (𝑄 ∥ 𝑇 → 𝑄 ∥ (1r‘𝑅)))
18	7, 12, 17	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ 𝑇 → 𝑄 ∥ (1r‘𝑅)))
19	6, 18	mtod 201	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∥ 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  Basecbs 17301  1_rcur 20320  Ringcrg 20372  CRingccrg 20373  ∥_rcdsr 20495  Unitcui 20496  RPrimecrpm 20573

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-cmn 19909  df-mgp 20274  df-ring 20374  df-cring 20375  df-oppr 20478  df-dvdsr 20498  df-unit 20499  df-rprm 20574

This theorem is used by:  1arithidom  33947