MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrgeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrgeq0 20776
Description: Left-multiplication by a left regular element does not change zeroness. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrgval.e 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
rrgval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
rrgval.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
rrgval.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
rrgeq0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) = 0 ↔ π‘Œ = 0 ))

Proof of Theorem rrgeq0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrgval.e . . . 4 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
2 rrgval.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
3 rrgval.t . . . 4 Β· = (.rβ€˜π‘…)
4 rrgval.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘…)
51, 2, 3, 4rrgeq0i 20775 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) = 0 β†’ π‘Œ = 0 ))
653adant1 1131 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) = 0 β†’ π‘Œ = 0 ))
7 simp1 1137 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
81, 2, 3, 4rrgval 20773 . . . . . 6 𝐸 = {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) = 0 β†’ 𝑦 = 0 )}
98ssrab3 4041 . . . . 5 𝐸 βŠ† 𝐡
10 simp2 1138 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐸)
119, 10sselid 3943 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
122, 3, 4ringrz 20017 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· 0 ) = 0 )
137, 11, 12syl2anc 585 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· 0 ) = 0 )
14 oveq2 7366 . . . 4 (π‘Œ = 0 β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) = (𝑋 Β· 0 ))
1514eqeq1d 2735 . . 3 (π‘Œ = 0 β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) = 0 ↔ (𝑋 Β· 0 ) = 0 ))
1613, 15syl5ibrcom 247 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ = 0 β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) = 0 ))
176, 16impbid 211 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) = 0 ↔ π‘Œ = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  .rcmulr 17139  0gc0g 17326  Ringcrg 19969  RLRegcrlreg 20765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-mgp 19902  df-ring 19971  df-rlreg 20769
This theorem is referenced by:  rrgsupp  20777
  Copyright terms: Public domain W3C validator