MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrgeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrgeq0 20352
Description: Left-multiplication by a left regular element does not change zeroness. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrgval.e 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
rrgval.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rrgval.t · = (.r𝑅)
rrgval.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
rrgeq0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))

Proof of Theorem rrgeq0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrgval.e . . . 4 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
2 rrgval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 rrgval.t . . . 4 · = (.r𝑅)
4 rrgval.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
51, 2, 3, 4rrgeq0i 20351 . . 3 ((𝑋𝐸𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))
653adant1 1132 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))
7 simp1 1138 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
81, 2, 3, 4rrgval 20349 . . . . . 6 𝐸 = {𝑥𝐵 ∣ ∀𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 0𝑦 = 0 )}
98ssrab3 4009 . . . . 5 𝐸𝐵
10 simp2 1139 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → 𝑋𝐸)
119, 10sselid 3912 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
122, 3, 4ringrz 19630 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
137, 11, 12syl2anc 587 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
14 oveq2 7239 . . . 4 (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0 ))
1514eqeq1d 2740 . . 3 (𝑌 = 0 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
1613, 15syl5ibrcom 250 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
176, 16impbid 215 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2111  wral 3062  cfv 6397  (class class class)co 7231  Basecbs 16784  .rcmulr 16827  0gc0g 16968  Ringcrg 19586  RLRegcrlreg 20341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5272  ax-pr 5336  ax-un 7541  ax-cnex 10809  ax-resscn 10810  ax-1cn 10811  ax-icn 10812  ax-addcl 10813  ax-addrcl 10814  ax-mulcl 10815  ax-mulrcl 10816  ax-mulcom 10817  ax-addass 10818  ax-mulass 10819  ax-distr 10820  ax-i2m1 10821  ax-1ne0 10822  ax-1rid 10823  ax-rnegex 10824  ax-rrecex 10825  ax-cnre 10826  ax-pre-lttri 10827  ax-pre-lttrn 10828  ax-pre-ltadd 10829  ax-pre-mulgt0 10830
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3422  df-sbc 3709  df-csb 3826  df-dif 3883  df-un 3885  df-in 3887  df-ss 3897  df-pss 3899  df-nul 4252  df-if 4454  df-pw 4529  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4834  df-iun 4920  df-br 5068  df-opab 5130  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5469  df-eprel 5474  df-po 5482  df-so 5483  df-fr 5523  df-we 5525  df-xp 5571  df-rel 5572  df-cnv 5573  df-co 5574  df-dm 5575  df-rn 5576  df-res 5577  df-ima 5578  df-pred 6175  df-ord 6233  df-on 6234  df-lim 6235  df-suc 6236  df-iota 6355  df-fun 6399  df-fn 6400  df-f 6401  df-f1 6402  df-fo 6403  df-f1o 6404  df-fv 6405  df-riota 7188  df-ov 7234  df-oprab 7235  df-mpo 7236  df-om 7663  df-wrecs 8067  df-recs 8128  df-rdg 8166  df-er 8411  df-en 8647  df-dom 8648  df-sdom 8649  df-pnf 10893  df-mnf 10894  df-xr 10895  df-ltxr 10896  df-le 10897  df-sub 11088  df-neg 11089  df-nn 11855  df-2 11917  df-sets 16741  df-slot 16759  df-ndx 16769  df-base 16785  df-plusg 16839  df-0g 16970  df-mgm 18138  df-sgrp 18187  df-mnd 18198  df-grp 18392  df-mgp 19529  df-ring 19588  df-rlreg 20345
This theorem is referenced by:  rrgsupp  20353
  Copyright terms: Public domain W3C validator