MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrgeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrgeq0 19652
Description: Left-multiplication by a left regular element does not change zeroness. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrgval.e 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
rrgval.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rrgval.t · = (.r𝑅)
rrgval.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
rrgeq0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))

Proof of Theorem rrgeq0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrgval.e . . . 4 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
2 rrgval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 rrgval.t . . . 4 · = (.r𝑅)
4 rrgval.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
51, 2, 3, 4rrgeq0i 19651 . . 3 ((𝑋𝐸𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))
653adant1 1166 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))
7 simp1 1172 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
81, 2, 3, 4rrgval 19649 . . . . . 6 𝐸 = {𝑥𝐵 ∣ ∀𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 0𝑦 = 0 )}
9 ssrab2 3913 . . . . . 6 {𝑥𝐵 ∣ ∀𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 0𝑦 = 0 )} ⊆ 𝐵
108, 9eqsstri 3861 . . . . 5 𝐸𝐵
11 simp2 1173 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → 𝑋𝐸)
1210, 11sseldi 3826 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
132, 3, 4ringrz 18943 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
147, 12, 13syl2anc 581 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
15 oveq2 6914 . . . 4 (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0 ))
1615eqeq1d 2828 . . 3 (𝑌 = 0 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
1714, 16syl5ibrcom 239 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
186, 17impbid 204 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wral 3118  {crab 3122  cfv 6124  (class class class)co 6906  Basecbs 16223  .rcmulr 16307  0gc0g 16454  Ringcrg 18902  RLRegcrlreg 19641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-plusg 16319  df-0g 16456  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-grp 17780  df-mgp 18845  df-ring 18904  df-rlreg 19645
This theorem is referenced by:  rrgsupp  19653
  Copyright terms: Public domain W3C validator