MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrgeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrgeq0 20589
Description: Left-multiplication by a left regular element does not change zeroness. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrgval.e 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
rrgval.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rrgval.t · = (.r𝑅)
rrgval.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
rrgeq0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))

Proof of Theorem rrgeq0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrgval.e . . . 4 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
2 rrgval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 rrgval.t . . . 4 · = (.r𝑅)
4 rrgval.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
51, 2, 3, 4rrgeq0i 20588 . . 3 ((𝑋𝐸𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))
653adant1 1128 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))
7 simp1 1134 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
81, 2, 3, 4rrgval 20586 . . . . . 6 𝐸 = {𝑥𝐵 ∣ ∀𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 0𝑦 = 0 )}
98ssrab3 4018 . . . . 5 𝐸𝐵
10 simp2 1135 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → 𝑋𝐸)
119, 10sselid 3921 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
122, 3, 4ringrz 19855 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
137, 11, 12syl2anc 583 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
14 oveq2 7303 . . . 4 (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0 ))
1514eqeq1d 2735 . . 3 (𝑌 = 0 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
1613, 15syl5ibrcom 246 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
176, 16impbid 211 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1085   = wceq 1537  wcel 2101  wral 3059  cfv 6447  (class class class)co 7295  Basecbs 16940  .rcmulr 16991  0gc0g 17178  Ringcrg 19811  RLRegcrlreg 20578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-nn 12002  df-2 12064  df-sets 16893  df-slot 16911  df-ndx 16923  df-base 16941  df-plusg 17003  df-0g 17180  df-mgm 18354  df-sgrp 18403  df-mnd 18414  df-grp 18608  df-mgp 19749  df-ring 19813  df-rlreg 20582
This theorem is referenced by:  rrgsupp  20590
  Copyright terms: Public domain W3C validator