MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrgeq0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rrgeq0 20906
Description: Left-multiplication by a left regular element does not change zeroness. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrgval.e 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
rrgval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
rrgval.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
rrgval.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
rrgeq0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) = 0 ↔ π‘Œ = 0 ))
Proof of Theorem rrgeq0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrgval.e . . . 4 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
2 rrgval.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
3 rrgval.t . . . 4 Β· = (.rβ€˜π‘…)
4 rrgval.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘…)
51, 2, 3, 4rrgeq0i 20905 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) = 0 β†’ π‘Œ = 0 ))
653adant1 1131 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) = 0 β†’ π‘Œ = 0 ))
7 simp1 1137 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
81, 2, 3, 4rrgval 20903 . . . . . 6 𝐸 = {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) = 0 β†’ 𝑦 = 0 )}
98ssrab3 4081 . . . . 5 𝐸 βŠ† 𝐡
10 simp2 1138 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐸)
119, 10sselid 3981 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
122, 3, 4ringrz 20108 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· 0 ) = 0 )
137, 11, 12syl2anc 585 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· 0 ) = 0 )
14 oveq2 7417 . . . 4 (π‘Œ = 0 β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) = (𝑋 Β· 0 ))
1514eqeq1d 2735 . . 3 (π‘Œ = 0 β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) = 0 ↔ (𝑋 Β· 0 ) = 0 ))
1613, 15syl5ibrcom 246 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ = 0 β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) = 0 ))
176, 16impbid 211 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) = 0 ↔ π‘Œ = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  0gc0g 17385  Ringcrg 20056  RLRegcrlreg 20895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-mgp 19988  df-ring 20058  df-rlreg 20899
This theorem is referenced by:  rrgsupp  20907
  Copyright terms: Public domain W3C validator