MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrgeq0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rrgeq0 21237
Description: Left-multiplication by a left regular element does not change zeroness. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrgval.e 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
rrgval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
rrgval.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
rrgval.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
rrgeq0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) = 0 ↔ π‘Œ = 0 ))
Proof of Theorem rrgeq0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrgval.e . . . 4 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
2 rrgval.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
3 rrgval.t . . . 4 Β· = (.rβ€˜π‘…)
4 rrgval.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘…)
51, 2, 3, 4rrgeq0i 21236 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) = 0 β†’ π‘Œ = 0 ))
653adant1 1128 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) = 0 β†’ π‘Œ = 0 ))
7 simp1 1134 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
81, 2, 3, 4rrgval 21234 . . . . . 6 𝐸 = {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) = 0 β†’ 𝑦 = 0 )}
98ssrab3 4078 . . . . 5 𝐸 βŠ† 𝐡
10 simp2 1135 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐸)
119, 10sselid 3978 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
122, 3, 4ringrz 20230 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· 0 ) = 0 )
137, 11, 12syl2anc 583 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· 0 ) = 0 )
14 oveq2 7428 . . . 4 (π‘Œ = 0 β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) = (𝑋 Β· 0 ))
1514eqeq1d 2730 . . 3 (π‘Œ = 0 β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) = 0 ↔ (𝑋 Β· 0 ) = 0 ))
1613, 15syl5ibrcom 246 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ = 0 β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) = 0 ))
176, 16impbid 211 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) = 0 ↔ π‘Œ = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  .rcmulr 17234  0gc0g 17421  Ringcrg 20173  RLRegcrlreg 21226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-rlreg 21230
This theorem is referenced by:  rrgsupp  21238  rrgnz  32964  r1pid2  33279
  Copyright terms: Public domain W3C validator