MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrgeq0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rrgeq0 21198
Description: Left-multiplication by a left regular element does not change zeroness. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrgval.e 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
rrgval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
rrgval.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
rrgval.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
rrgeq0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) = 0 ↔ π‘Œ = 0 ))
Proof of Theorem rrgeq0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrgval.e . . . 4 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
2 rrgval.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
3 rrgval.t . . . 4 Β· = (.rβ€˜π‘…)
4 rrgval.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘…)
51, 2, 3, 4rrgeq0i 21197 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) = 0 β†’ π‘Œ = 0 ))
653adant1 1127 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) = 0 β†’ π‘Œ = 0 ))
7 simp1 1133 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
81, 2, 3, 4rrgval 21195 . . . . . 6 𝐸 = {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯ Β· 𝑦) = 0 β†’ 𝑦 = 0 )}
98ssrab3 4075 . . . . 5 𝐸 βŠ† 𝐡
10 simp2 1134 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐸)
119, 10sselid 3975 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
122, 3, 4ringrz 20191 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· 0 ) = 0 )
137, 11, 12syl2anc 583 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· 0 ) = 0 )
14 oveq2 7412 . . . 4 (π‘Œ = 0 β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) = (𝑋 Β· 0 ))
1514eqeq1d 2728 . . 3 (π‘Œ = 0 β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) = 0 ↔ (𝑋 Β· 0 ) = 0 ))
1613, 15syl5ibrcom 246 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ = 0 β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) = 0 ))
176, 16impbid 211 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) = 0 ↔ π‘Œ = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  .rcmulr 17205  0gc0g 17392  Ringcrg 20136  RLRegcrlreg 21187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-rlreg 21191
This theorem is referenced by:  rrgsupp  21199  r1pid2  33184
  Copyright terms: Public domain W3C validator