Theorem rrgnz 20754

Description: In a nonzero ring, the zero is a left zero divisor (that is, not a left-regular element). (Contributed by Thierry Arnoux, 6-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrgnz.t	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
rrgnz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rrgnz	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ 0 ∈ 𝐸)

Proof of Theorem rrgnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		rrgnz.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	nzrnz 20565	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
4	3	neneqd 2962	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ (1r‘𝑅) = 0 )
5		nzrring 20566	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 0 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ Ring)
7		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 0 ∈ 𝐸) → 0 ∈ 𝐸)
8		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	8, 1	ringidcl 20315	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 0 ∈ 𝐸) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	8, 11, 2, 6, 10	ringlzd 20345	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 0 ∈ 𝐸) → ( 0 (.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 )
13		rrgnz.t	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
14	13, 8, 11, 2	rrgeq0 20750	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ 𝐸 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → (( 0 (.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 ↔ (1r‘𝑅) = 0 ))
15	14	biimpa 480	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ 𝐸 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ( 0 (.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 ) → (1r‘𝑅) = 0 )
16	6, 7, 10, 12, 15	syl31anc 1392	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 0 ∈ 𝐸) → (1r‘𝑅) = 0 )
17	4, 16	mtand 825	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ 0 ∈ 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  ._rcmulr 17287  0_gc0g 17468  1_rcur 20231  Ringcrg 20283  NzRingcnzr 20562  RLRegcrlreg 20741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-0g 17470  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-ring 20285  df-nzr 20563  df-rlreg 20744

This theorem is referenced by:  isdomn6  20764  fracfld  33495