MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrgnz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrgnz 20721
Description: In a nonzero ring, the zero is a left zero divisor (that is, not a left-regular element). (Contributed by Thierry Arnoux, 6-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rrgnz.t 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
rrgnz.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
rrgnz (𝑅 ∈ NzRing → ¬ 0𝐸)

Proof of Theorem rrgnz
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2 rrgnz.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
31, 2nzrnz 20532 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ≠ 0 )
43neneqd 2943 . 2 (𝑅 ∈ NzRing → ¬ (1r𝑅) = 0 )
5 nzrring 20533 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
65adantr 480 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 0𝐸) → 𝑅 ∈ Ring)
7 simpr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 0𝐸) → 0𝐸)
8 eqid 2735 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
98, 1ringidcl 20280 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
106, 9syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 0𝐸) → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11 eqid 2735 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
128, 11, 2, 6, 10ringlzd 20309 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 0𝐸) → ( 0 (.r𝑅)(1r𝑅)) = 0 )
13 rrgnz.t . . . . 5 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
1413, 8, 11, 2rrgeq0 20717 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0𝐸 ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → (( 0 (.r𝑅)(1r𝑅)) = 0 ↔ (1r𝑅) = 0 ))
1514biimpa 476 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 0𝐸 ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ( 0 (.r𝑅)(1r𝑅)) = 0 ) → (1r𝑅) = 0 )
166, 7, 10, 12, 15syl31anc 1372 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 0𝐸) → (1r𝑅) = 0 )
174, 16mtand 816 1 (𝑅 ∈ NzRing → ¬ 0𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  0gc0g 17486  1rcur 20199  Ringcrg 20251  NzRingcnzr 20529  RLRegcrlreg 20708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-nzr 20530  df-rlreg 20711
This theorem is referenced by:  isdomn6  20731  fracfld  33290
  Copyright terms: Public domain W3C validator