Theorem rrgnz 20956

Description: In a nonzero ring, the zero is a left zero divisor (that is, not a left-regular element). (Contributed by Thierry Arnoux, 6-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrgnz.t	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
rrgnz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rrgnz	⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ 0 ∈ 𝐸)

Proof of Theorem rrgnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		rrgnz.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	nzrnz 20765	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
4	3	neneqd 2961	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ (1r‘𝑅) = 0 )
5		nzrring 20766	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 0 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ Ring)
7		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 0 ∈ 𝐸) → 0 ∈ 𝐸)
8		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	8, 1	ringidcl 20494	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
10	6, 9	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 0 ∈ 𝐸) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	8, 11, 2, 6, 10	ringlzd 20526	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 0 ∈ 𝐸) → ( 0 (.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 )
13		rrgnz.t	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
14	13, 8, 11, 2	rrgeq0 20952	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ 𝐸 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → (( 0 (.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 ↔ (1r‘𝑅) = 0 ))
15	14	biimpa 482	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ 𝐸 ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ( 0 (.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 ) → (1r‘𝑅) = 0 )
16	6, 7, 10, 12, 15	syl31anc 1400	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 0 ∈ 𝐸) → (1r‘𝑅) = 0 )
17	4, 16	mtand 828	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ 0 ∈ 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  ._rcmulr 17429  0_gc0g 17610  1_rcur 20407  Ringcrg 20459  NzRingcnzr 20762  RLRegcrlreg 20943

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-nzr 20763  df-rlreg 20946

This theorem is used by:  isdomn6  20965  fracfld  33870