Theorem isdomn6 20801

Description: A ring is a domain iff the regular elements are the nonzero elements. Compare isdomn2 20799, domnrrg 20800. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdomn6.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdomn6.t	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
isdomn6.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdomn6	⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) = 𝐸))

Proof of Theorem isdomn6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdomn6.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isdomn6.t	. . 3 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
3		isdomn6.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdomn2 20799	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐸))
5	2, 1	rrgss 20790	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 ⊆ 𝐵
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝐸 ⊆ 𝐵)
7	2, 3	rrgnz 20792	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ 0 ∈ 𝐸)
8		ssdifsn 4761	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝐸 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐸))
9	6, 7, 8	sylanbrc 594	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝐸 ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }))
10		sssseq 3963	. . . 4 ⊢ (𝐸 ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐸 ↔ (𝐵 ∖ { 0 }) = 𝐸))
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐸 ↔ (𝐵 ∖ { 0 }) = 𝐸))
12	11	pm5.32i 584	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐸) ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) = 𝐸))
13	4, 12	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) = 𝐸))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  {csn 4594  ‘cfv 6540  Basecbs 17272  0_gc0g 17495  NzRingcnzr 20598  RLRegcrlreg 20779  Domncdomn 20780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-sets 17227  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-plusg 17326  df-0g 17497  df-mgm 18701  df-sgrp 18780  df-mnd 18796  df-grp 19006  df-minusg 19007  df-cmn 19855  df-abl 19856  df-mgp 20220  df-rng 20234  df-ur 20267  df-ring 20320  df-nzr 20599  df-rlreg 20782  df-domn 20783

This theorem is referenced by:  fracfld  33599  zringfrac  33814