Theorem isdomn6 20692

Description: A ring is a domain iff the regular elements are the nonzero elements. Compare isdomn2 20689, domnrrg 20691. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdomn6.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdomn6.t	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
isdomn6.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdomn6	⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) = 𝐸))

Proof of Theorem isdomn6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdomn6.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isdomn6.t	. . 3 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
3		isdomn6.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdomn2 20689	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐸))
5	2, 1	rrgss 20680	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 ⊆ 𝐵
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝐸 ⊆ 𝐵)
7	2, 3	rrgnz 20682	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ 0 ∈ 𝐸)
8		ssdifsn 4797	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝐸 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐸))
9	6, 7, 8	sylanbrc 581	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝐸 ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }))
10		sssseq 3998	. . . 4 ⊢ (𝐸 ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐸 ↔ (𝐵 ∖ { 0 }) = 𝐸))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐸 ↔ (𝐵 ∖ { 0 }) = 𝐸))
12	11	pm5.32i 573	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐸) ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) = 𝐸))
13	4, 12	bitri 274	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) = 𝐸))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947  {csn 4633  ‘cfv 6554  Basecbs 17213  0_gc0g 17454  NzRingcnzr 20494  RLRegcrlreg 20669  Domncdomn 20670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-plusg 17279  df-0g 17456  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-nzr 20495  df-rlreg 20672  df-domn 20673

This theorem is referenced by:  fracfld  33158  zringfrac  33429