Theorem isdomn6 20966

Description: A ring is a domain iff the regular elements are the nonzero elements. Compare isdomn2 20964, domnrrg 20965. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdomn6.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdomn6.t	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
isdomn6.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdomn6	⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) = 𝐸))

Proof of Theorem isdomn6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdomn6.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isdomn6.t	. . 3 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
3		isdomn6.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdomn2 20964	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐸))
5	2, 1	rrgss 20955	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 ⊆ 𝐵
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝐸 ⊆ 𝐵)
7	2, 3	rrgnz 20957	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ 0 ∈ 𝐸)
8		ssdifsn 4751	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝐸 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 0 ∈ 𝐸))
9	6, 7, 8	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝐸 ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }))
10		sssseq 3947	. . . 4 ⊢ (𝐸 ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐸 ↔ (𝐵 ∖ { 0 }) = 𝐸))
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐸 ↔ (𝐵 ∖ { 0 }) = 𝐸))
12	11	pm5.32i 585	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐸) ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) = 𝐸))
13	4, 12	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) = 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3914  {csn 4584  ‘cfv 6539  Basecbs 17388  0_gc0g 17611  NzRingcnzr 20763  RLRegcrlreg 20944  Domncdomn 20945

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-plusg 17442  df-0g 17613  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-nzr 20764  df-rlreg 20947  df-domn 20948

This theorem is used by:  fracfld  33871  zringfrac  34087