MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s2dm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s2dm 13866
Description: The domain of a doubleton word is an unordered pair. (Contributed by AV, 9-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
s2dm dom ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {0, 1}

Proof of Theorem s2dm
StepHypRef Expression
1 s2cli 13856 . . . 4 ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word V
2 wrdf 13528 . . . 4 (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word V → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶V)
31, 2ax-mp 5 . . 3 ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶V
4 s2len 13865 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
5 oveq2 6889 . . . . . . 7 ((♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2 → (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = (0..^2))
6 fzo0to2pr 12784 . . . . . . 7 (0..^2) = {0, 1}
75, 6syl6eq 2867 . . . . . 6 ((♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2 → (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = {0, 1})
84, 7ax-mp 5 . . . . 5 (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)) = {0, 1}
98eqcomi 2826 . . . 4 {0, 1} = (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))
109feq2i 6255 . . 3 (⟨“𝐴𝐵”⟩:{0, 1}⟶V ↔ ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶V)
113, 10mpbir 222 . 2 ⟨“𝐴𝐵”⟩:{0, 1}⟶V
1211fdmi 6273 1 dom ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {0, 1}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1637  wcel 2157  Vcvv 3402  {cpr 4383  dom cdm 5322  wf 6104  cfv 6108  (class class class)co 6881  0cc0 10228  1c1 10229  2c2 11363  ..^cfzo 12696  chash 13344  Word cword 13509  ⟨“cs2 13817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4975  ax-sep 4986  ax-nul 4994  ax-pow 5046  ax-pr 5107  ax-un 7186  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5230  df-eprel 5235  df-po 5243  df-so 5244  df-fr 5281  df-we 5283  df-xp 5328  df-rel 5329  df-cnv 5330  df-co 5331  df-dm 5332  df-rn 5333  df-res 5334  df-ima 5335  df-pred 5904  df-ord 5950  df-on 5951  df-lim 5952  df-suc 5953  df-iota 6071  df-fun 6110  df-fn 6111  df-f 6112  df-f1 6113  df-fo 6114  df-f1o 6115  df-fv 6116  df-riota 6842  df-ov 6884  df-oprab 6885  df-mpt2 6886  df-om 7303  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-1o 7803  df-oadd 7807  df-er 7986  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-fin 8203  df-card 9055  df-pnf 10368  df-mnf 10369  df-xr 10370  df-ltxr 10371  df-le 10372  df-sub 10560  df-neg 10561  df-nn 11313  df-2 11371  df-n0 11567  df-z 11651  df-uz 11912  df-fz 12557  df-fzo 12697  df-hash 13345  df-word 13517  df-concat 13519  df-s1 13520  df-s2 13824
This theorem is referenced by:  wlk2v2elem2  27339
  Copyright terms: Public domain W3C validator