Theorem s2eq2s1eq 14883

Description: Two length 2 words are equal iff the corresponding singleton words consisting of their symbols are equal. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
s2eq2s1eq	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐶𝐷”⟩ ↔ (⟨“𝐴”⟩ = ⟨“𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐵”⟩ = ⟨“𝐷”⟩)))

Proof of Theorem s2eq2s1eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s2 14795	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩))
3		df-s2 14795	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ⟨“𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩))
5	2, 4	eqeq12d 2749	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐶𝐷”⟩ ↔ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) = (⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩)))
6		s1cl 14548	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑉)
7		s1cl 14548	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
8	6, 7	anim12i 614	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉))
9	8	adantr 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉))
10		s1cl 14548	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉)
11		s1cl 14548	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉)
12	10, 11	anim12i 614	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉))
13	12	adantl 483	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉))
14		s1len 14552	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1
15		s1len 14552	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐶”⟩) = 1
16	14, 15	eqtr4i 2764	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘⟨“𝐶”⟩)
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘⟨“𝐶”⟩))
18		ccatopth 14662	. . 3 ⊢ (((⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉) ∧ (⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉) ∧ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘⟨“𝐶”⟩)) → ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) = (⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) ↔ (⟨“𝐴”⟩ = ⟨“𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐵”⟩ = ⟨“𝐷”⟩)))
19	9, 13, 17, 18	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) = (⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) ↔ (⟨“𝐴”⟩ = ⟨“𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐵”⟩ = ⟨“𝐷”⟩)))
20	5, 19	bitrd 279	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐶𝐷”⟩ ↔ (⟨“𝐴”⟩ = ⟨“𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐵”⟩ = ⟨“𝐷”⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  1c1 11107  ♯chash 14286  Word cword 14460   ++ cconcat 14516  ⟨“cs1 14541  ⟨“cs2 14788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-s2 14795

This theorem is referenced by:  s2eq2seq  14884  2swrd2eqwrdeq  14900