MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s2eq2s1eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s2eq2s1eq 14649
Description: Two length 2 words are equal iff the corresponding singleton words consisting of their symbols are equal. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
s2eq2s1eq (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐶𝐷”⟩ ↔ (⟨“𝐴”⟩ = ⟨“𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐵”⟩ = ⟨“𝐷”⟩)))

Proof of Theorem s2eq2s1eq
StepHypRef Expression
1 df-s2 14561 . . . 4 ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)
21a1i 11 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩))
3 df-s2 14561 . . . 4 ⟨“𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩)
43a1i 11 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ⟨“𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩))
52, 4eqeq12d 2754 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐶𝐷”⟩ ↔ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) = (⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩)))
6 s1cl 14307 . . . . 5 (𝐴𝑉 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑉)
7 s1cl 14307 . . . . 5 (𝐵𝑉 → ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
86, 7anim12i 613 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉))
98adantr 481 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉))
10 s1cl 14307 . . . . 5 (𝐶𝑉 → ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉)
11 s1cl 14307 . . . . 5 (𝐷𝑉 → ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉)
1210, 11anim12i 613 . . . 4 ((𝐶𝑉𝐷𝑉) → (⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉))
1312adantl 482 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉))
14 s1len 14311 . . . . 5 (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1
15 s1len 14311 . . . . 5 (♯‘⟨“𝐶”⟩) = 1
1614, 15eqtr4i 2769 . . . 4 (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘⟨“𝐶”⟩)
1716a1i 11 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘⟨“𝐶”⟩))
18 ccatopth 14429 . . 3 (((⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉) ∧ (⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉) ∧ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘⟨“𝐶”⟩)) → ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) = (⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) ↔ (⟨“𝐴”⟩ = ⟨“𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐵”⟩ = ⟨“𝐷”⟩)))
199, 13, 17, 18syl3anc 1370 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) = (⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) ↔ (⟨“𝐴”⟩ = ⟨“𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐵”⟩ = ⟨“𝐷”⟩)))
205, 19bitrd 278 1 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐶𝐷”⟩ ↔ (⟨“𝐴”⟩ = ⟨“𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐵”⟩ = ⟨“𝐷”⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  cfv 6433  (class class class)co 7275  1c1 10872  chash 14044  Word cword 14217   ++ cconcat 14273  ⟨“cs1 14300  ⟨“cs2 14554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-substr 14354  df-pfx 14384  df-s2 14561
This theorem is referenced by:  s2eq2seq  14650  2swrd2eqwrdeq  14666
  Copyright terms: Public domain W3C validator