Theorem s2eq2s1eq 14845

Description: Two length 2 words are equal iff the corresponding singleton words consisting of their symbols are equal. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
s2eq2s1eq	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐶𝐷”⟩ ↔ (⟨“𝐴”⟩ = ⟨“𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐵”⟩ = ⟨“𝐷”⟩)))

Proof of Theorem s2eq2s1eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s2 14757	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩))
3		df-s2 14757	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ⟨“𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩))
5	2, 4	eqeq12d 2749	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐶𝐷”⟩ ↔ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) = (⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩)))
6		s1cl 14512	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑉)
7		s1cl 14512	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
8	6, 7	anim12i 613	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉))
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉))
10		s1cl 14512	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉)
11		s1cl 14512	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉)
12	10, 11	anim12i 613	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉))
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉))
14		s1len 14516	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1
15		s1len 14516	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐶”⟩) = 1
16	14, 15	eqtr4i 2759	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘⟨“𝐶”⟩)
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘⟨“𝐶”⟩))
18		ccatopth 14625	. . 3 ⊢ (((⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉) ∧ (⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉) ∧ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘⟨“𝐶”⟩)) → ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) = (⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) ↔ (⟨“𝐴”⟩ = ⟨“𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐵”⟩ = ⟨“𝐷”⟩)))
19	9, 13, 17, 18	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) = (⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) ↔ (⟨“𝐴”⟩ = ⟨“𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐵”⟩ = ⟨“𝐷”⟩)))
20	5, 19	bitrd 279	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐶𝐷”⟩ ↔ (⟨“𝐴”⟩ = ⟨“𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐵”⟩ = ⟨“𝐷”⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  1c1 11014  ♯chash 14239  Word cword 14422   ++ cconcat 14479  ⟨“cs1 14505  ⟨“cs2 14750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-hash 14240  df-word 14423  df-concat 14480  df-s1 14506  df-substr 14551  df-pfx 14581  df-s2 14757

This theorem is referenced by:  s2eq2seq  14846  2swrd2eqwrdeq  14862