Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s2eq2s1eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s2eq2s1eq 13967
 Description: Two length 2 words are equal iff the corresponding singleton words consisting of their symbols are equal. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
s2eq2s1eq (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐶𝐷”⟩ ↔ (⟨“𝐴”⟩ = ⟨“𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐵”⟩ = ⟨“𝐷”⟩)))

Proof of Theorem s2eq2s1eq
StepHypRef Expression
1 df-s2 13879 . . . 4 ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)
21a1i 11 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩))
3 df-s2 13879 . . . 4 ⟨“𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩)
43a1i 11 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ⟨“𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩))
52, 4eqeq12d 2780 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐶𝐷”⟩ ↔ (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) = (⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩)))
6 s1cl 13573 . . . . 5 (𝐴𝑉 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑉)
7 s1cl 13573 . . . . 5 (𝐵𝑉 → ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
86, 7anim12i 606 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉))
98adantr 472 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉))
10 s1cl 13573 . . . . 5 (𝐶𝑉 → ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉)
11 s1cl 13573 . . . . 5 (𝐷𝑉 → ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉)
1210, 11anim12i 606 . . . 4 ((𝐶𝑉𝐷𝑉) → (⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉))
1312adantl 473 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉))
14 s1len 13577 . . . . 5 (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1
15 s1len 13577 . . . . 5 (♯‘⟨“𝐶”⟩) = 1
1614, 15eqtr4i 2790 . . . 4 (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘⟨“𝐶”⟩)
1716a1i 11 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘⟨“𝐶”⟩))
18 ccatopth 13712 . . 3 (((⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉) ∧ (⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉) ∧ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘⟨“𝐶”⟩)) → ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) = (⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) ↔ (⟨“𝐴”⟩ = ⟨“𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐵”⟩ = ⟨“𝐷”⟩)))
199, 13, 17, 18syl3anc 1490 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) = (⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) ↔ (⟨“𝐴”⟩ = ⟨“𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐵”⟩ = ⟨“𝐷”⟩)))
205, 19bitrd 270 1 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ = ⟨“𝐶𝐷”⟩ ↔ (⟨“𝐴”⟩ = ⟨“𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐵”⟩ = ⟨“𝐷”⟩)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   = wceq 1652   ∈ wcel 2155  ‘cfv 6068  (class class class)co 6842  1c1 10190  ♯chash 13321  Word cword 13486   ++ cconcat 13541  ⟨“cs1 13566  ⟨“cs2 13872 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266 This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13487  df-concat 13542  df-s1 13567  df-substr 13617  df-pfx 13662  df-s2 13879 This theorem is referenced by:  s2eq2seq  13968  2swrd2eqwrdeq  13984  2swrd2eqwrdeqOLD  13985
 Copyright terms: Public domain W3C validator