Theorem 2swrd2eqwrdeq 15099

Description: Two words of length at least two are equal if and only if they have the same prefix and the same two single symbols suffix. (Contributed by AV, 24-Sep-2018.) (Revised by AV, 12-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2swrd2eqwrdeq	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))

Proof of Theorem 2swrd2eqwrdeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 14671	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
2		1z 12719	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		nn0z 12710	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
4		zltp1le 12739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝑊) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑊)))
5	2, 3, 4	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑊) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑊)))
6		1p1e2 12459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 + 1) = 2
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 + 1) = 2)
8	7	breq1d 5113	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ (♯‘𝑊) ↔ 2 ≤ (♯‘𝑊)))
9	8	biimpd 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ (♯‘𝑊) → 2 ≤ (♯‘𝑊)))
10	5, 9	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑊) → 2 ≤ (♯‘𝑊)))
11	10	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
12		2nn0 12616	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
14		nn0sub 12649	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (2 ≤ (♯‘𝑊) ↔ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0))
15	12, 13, 14	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (2 ≤ (♯‘𝑊) ↔ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0))
16	11, 15	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0)
17	3	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
18		0red 11304	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
19		1red 11302	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
20		nn0re 12608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
21	18, 19, 20	3jca 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
22		0lt1 11831	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
23		lttr 11379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → 0 < (♯‘𝑊)))
24	23	expd 421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (0 < 1 → (1 < (♯‘𝑊) → 0 < (♯‘𝑊))))
25	21, 22, 24	mpisyl 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑊) → 0 < (♯‘𝑊)))
26	25	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → 0 < (♯‘𝑊))
27		elnnz 12696	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
28	17, 26, 27	sylanbrc 595	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
29		2rp 13118	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
31	20, 30	ltsubrpd 13189	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 2) < (♯‘𝑊))
32	31	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) < (♯‘𝑊))
33		elfzo0 13828	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑊) − 2) < (♯‘𝑊)))
34	16, 28, 32, 33	syl3anbrc 1362	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
35	1, 34	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
36	35	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
37		pfxsuffeqwrdeq 14840	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩)))))
38	36, 37	syld3an3 1436	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩)))))
39		swrd2lsw 15098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩)
40	39	3adant2 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩)
41	40	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩)
42		breq2 5107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (1 < (♯‘𝑊) ↔ 1 < (♯‘𝑈)))
43	42	3anbi3d 1470	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑈))))
44		swrd2lsw 15098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩)
45	44	3adant1 1148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩)
46	43, 45	biimtrdi 256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩))
47	46	impcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩)
48		oveq1 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((♯‘𝑊) − 2) = ((♯‘𝑈) − 2))
49		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))
50	48, 49	opeq12d 4841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩ = ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩)
51	50	oveq2d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩))
52	51	eqeq1d 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩))
53	52	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩))
54	47, 53	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩)
55	41, 54	eqeq12d 2777	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) ↔ ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩))
56		fvexd 6898	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) ∈ V)
57		fvexd 6898	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (lastS‘𝑊) ∈ V)
58		fvexd 6898	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) ∈ V)
59		fvexd 6898	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (lastS‘𝑈) ∈ V)
60		s2eq2s1eq 15080	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) ∈ V ∧ (lastS‘𝑊) ∈ V) ∧ ((𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) ∈ V ∧ (lastS‘𝑈) ∈ V)) → (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ∧ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))
61	56, 57, 58, 59, 60	syl22anc 852	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ∧ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))
62		fvex 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) ∈ V
63		s111 14756	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) ∈ V ∧ (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) ∈ V) → (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ↔ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))))
64	62, 58, 63	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ↔ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))))
65		fvoveq1 7441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑈) = (♯‘𝑊) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)))
66	65	eqcoms 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)))
67	66	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)))
68	67	eqeq2d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) ↔ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2))))
69	64, 68	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ↔ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2))))
70		fvex 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (lastS‘𝑊) ∈ V
71		s111 14756	. . . . . . . 8 ⊢ (((lastS‘𝑊) ∈ V ∧ (lastS‘𝑈) ∈ V) → (⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))
72	70, 59, 71	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))
73	69, 72	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ∧ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) ↔ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈))))
74	55, 61, 73	3bitrd 308	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) ↔ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈))))
75	74	anbi2d 642	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩)) ↔ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))
76		3anass 1111	. . . 4 ⊢ (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)) ↔ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈))))
77	75, 76	bitr4di 292	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩)) ↔ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈))))
78	77	pm5.32da 590	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩))) ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))
79	38, 78	bitrd 282	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   < clt 11336   ≤ cle 11337   − cmin 11534  ℕcn 12328  2c2 12390  ℕ₀cn0 12599  ℤcz 12686  ℝ⁺crp 13113  ..^cfzo 13781  ♯chash 14467  Word cword 14651  lastSclsw 14700  ⟨“cs1 14735   substr csubstr 14781   prefix cpfx 14813  ⟨“cs2 14985

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-hash 14468  df-word 14652  df-lsw 14701  df-concat 14709  df-s1 14736  df-substr 14782  df-pfx 14814  df-s2 14992

This theorem is used by:  numclwwlk1lem2f1  30951