Theorem 2swrd2eqwrdeq 15014

Description: Two words of length at least two are equal if and only if they have the same prefix and the same two single symbols suffix. (Contributed by AV, 24-Sep-2018.) (Revised by AV, 12-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2swrd2eqwrdeq	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))

Proof of Theorem 2swrd2eqwrdeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 14588	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
2		1z 12639	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		nn0z 12630	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
4		zltp1le 12659	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝑊) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑊)))
5	2, 3, 4	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑊) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑊)))
6		1p1e2 12379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 + 1) = 2
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 + 1) = 2)
8	7	breq1d 5121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ (♯‘𝑊) ↔ 2 ≤ (♯‘𝑊)))
9	8	biimpd 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ (♯‘𝑊) → 2 ≤ (♯‘𝑊)))
10	5, 9	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑊) → 2 ≤ (♯‘𝑊)))
11	10	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
12		2nn0 12536	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
14		nn0sub 12569	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (2 ≤ (♯‘𝑊) ↔ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0))
15	12, 13, 14	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (2 ≤ (♯‘𝑊) ↔ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0))
16	11, 15	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0)
17	3	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
18		0red 11226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
19		1red 11224	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
20		nn0re 12528	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
21	18, 19, 20	3jca 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
22		0lt1 11751	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
23		lttr 11301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → 0 < (♯‘𝑊)))
24	23	expd 421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (0 < 1 → (1 < (♯‘𝑊) → 0 < (♯‘𝑊))))
25	21, 22, 24	mpisyl 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑊) → 0 < (♯‘𝑊)))
26	25	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → 0 < (♯‘𝑊))
27		elnnz 12616	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
28	17, 26, 27	sylanbrc 595	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
29		2rp 13037	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
31	20, 30	ltsubrpd 13108	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 2) < (♯‘𝑊))
32	31	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) < (♯‘𝑊))
33		elfzo0 13746	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑊) − 2) < (♯‘𝑊)))
34	16, 28, 32, 33	syl3anbrc 1362	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
35	1, 34	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
36	35	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
37		pfxsuffeqwrdeq 14757	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩)))))
38	36, 37	syld3an3 1436	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩)))))
39		swrd2lsw 15013	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩)
40	39	3adant2 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩)
41	40	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩)
42		breq2 5115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (1 < (♯‘𝑊) ↔ 1 < (♯‘𝑈)))
43	42	3anbi3d 1470	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑈))))
44		swrd2lsw 15013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩)
45	44	3adant1 1148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩)
46	43, 45	biimtrdi 256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩))
47	46	impcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩)
48		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((♯‘𝑊) − 2) = ((♯‘𝑈) − 2))
49		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))
50	48, 49	opeq12d 4848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩ = ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩)
51	50	oveq2d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩))
52	51	eqeq1d 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩))
53	52	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩))
54	47, 53	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩)
55	41, 54	eqeq12d 2781	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) ↔ ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩))
56		fvexd 6900	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) ∈ V)
57		fvexd 6900	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (lastS‘𝑊) ∈ V)
58		fvexd 6900	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) ∈ V)
59		fvexd 6900	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (lastS‘𝑈) ∈ V)
60		s2eq2s1eq 14997	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) ∈ V ∧ (lastS‘𝑊) ∈ V) ∧ ((𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) ∈ V ∧ (lastS‘𝑈) ∈ V)) → (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ∧ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))
61	56, 57, 58, 59, 60	syl22anc 852	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ∧ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))
62		fvex 6898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) ∈ V
63		s111 14673	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) ∈ V ∧ (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) ∈ V) → (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ↔ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))))
64	62, 58, 63	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ↔ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))))
65		fvoveq1 7442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑈) = (♯‘𝑊) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)))
66	65	eqcoms 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)))
67	66	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)))
68	67	eqeq2d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) ↔ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2))))
69	64, 68	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ↔ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2))))
70		fvex 6898	. . . . . . . 8 ⊢ (lastS‘𝑊) ∈ V
71		s111 14673	. . . . . . . 8 ⊢ (((lastS‘𝑊) ∈ V ∧ (lastS‘𝑈) ∈ V) → (⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))
72	70, 59, 71	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))
73	69, 72	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ∧ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) ↔ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈))))
74	55, 61, 73	3bitrd 308	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) ↔ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈))))
75	74	anbi2d 642	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩)) ↔ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))
76		3anass 1111	. . . 4 ⊢ (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)) ↔ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈))))
77	75, 76	bitr4di 292	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩)) ↔ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈))))
78	77	pm5.32da 590	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩))) ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))
79	38, 78	bitrd 282	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  ⟨cop 4597   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11114  0cc0 11115  1c1 11116   + caddc 11118   < clt 11258   ≤ cle 11259   − cmin 11456  ℕcn 12248  2c2 12310  ℕ₀cn0 12519  ℤcz 12606  ℝ⁺crp 13032  ..^cfzo 13699  ♯chash 14384  Word cword 14568  lastSclsw 14617  ⟨“cs1 14652   substr csubstr 14698   prefix cpfx 14730  ⟨“cs2 14902

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-hash 14385  df-word 14569  df-lsw 14618  df-concat 14626  df-s1 14653  df-substr 14699  df-pfx 14731  df-s2 14909

This theorem is used by:  numclwwlk1lem2f1  30779