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Theorem 2swrd2eqwrdeq 14992
Description: Two words of length at least two are equal if and only if they have the same prefix and the same two single symbols suffix. (Contributed by AV, 24-Sep-2018.) (Revised by AV, 12-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
2swrd2eqwrdeq ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))

Proof of Theorem 2swrd2eqwrdeq
StepHypRef Expression
1 lencl 14571 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
2 1z 12647 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
3 nn0z 12638 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
4 zltp1le 12667 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝑊) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑊)))
52, 3, 4sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑊) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑊)))
6 1p1e2 12391 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 1) = 2
76a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 + 1) = 2)
87breq1d 5153 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ (♯‘𝑊) ↔ 2 ≤ (♯‘𝑊)))
98biimpd 229 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ (♯‘𝑊) → 2 ≤ (♯‘𝑊)))
105, 9sylbid 240 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑊) → 2 ≤ (♯‘𝑊)))
1110imp 406 . . . . . . 7 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
12 2nn0 12543 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
13 simpl 482 . . . . . . . 8 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
14 nn0sub 12576 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (2 ≤ (♯‘𝑊) ↔ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0))
1512, 13, 14sylancr 587 . . . . . . 7 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (2 ≤ (♯‘𝑊) ↔ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0))
1611, 15mpbid 232 . . . . . 6 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0)
173adantr 480 . . . . . . 7 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
18 0red 11264 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
19 1red 11262 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
20 nn0re 12535 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
2118, 19, 203jca 1129 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
22 0lt1 11785 . . . . . . . . 9 0 < 1
23 lttr 11337 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → 0 < (♯‘𝑊)))
2423expd 415 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (0 < 1 → (1 < (♯‘𝑊) → 0 < (♯‘𝑊))))
2521, 22, 24mpisyl 21 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑊) → 0 < (♯‘𝑊)))
2625imp 406 . . . . . . 7 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → 0 < (♯‘𝑊))
27 elnnz 12623 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
2817, 26, 27sylanbrc 583 . . . . . 6 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
29 2rp 13039 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
3029a1i 11 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
3120, 30ltsubrpd 13109 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 2) < (♯‘𝑊))
3231adantr 480 . . . . . 6 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) < (♯‘𝑊))
33 elfzo0 13740 . . . . . 6 (((♯‘𝑊) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑊) − 2) < (♯‘𝑊)))
3416, 28, 32, 33syl3anbrc 1344 . . . . 5 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
351, 34sylan 580 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
36353adant2 1132 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
37 pfxsuffeqwrdeq 14736 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩)))))
3836, 37syld3an3 1411 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩)))))
39 swrd2lsw 14991 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩)
40393adant2 1132 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩)
4140adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩)
42 breq2 5147 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (1 < (♯‘𝑊) ↔ 1 < (♯‘𝑈)))
43423anbi3d 1444 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑈))))
44 swrd2lsw 14991 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩)
45443adant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩)
4643, 45biimtrdi 253 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩))
4746impcom 407 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩)
48 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((♯‘𝑊) − 2) = ((♯‘𝑈) − 2))
49 id 22 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))
5048, 49opeq12d 4881 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩ = ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩)
5150oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩))
5251eqeq1d 2739 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩))
5352adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩))
5447, 53mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩)
5541, 54eqeq12d 2753 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) ↔ ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩))
56 fvexd 6921 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) ∈ V)
57 fvexd 6921 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (lastS‘𝑊) ∈ V)
58 fvexd 6921 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) ∈ V)
59 fvexd 6921 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (lastS‘𝑈) ∈ V)
60 s2eq2s1eq 14975 . . . . . . 7 ((((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) ∈ V ∧ (lastS‘𝑊) ∈ V) ∧ ((𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) ∈ V ∧ (lastS‘𝑈) ∈ V)) → (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ∧ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))
6156, 57, 58, 59, 60syl22anc 839 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ∧ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))
62 fvex 6919 . . . . . . . . 9 (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) ∈ V
63 s111 14653 . . . . . . . . 9 (((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) ∈ V ∧ (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) ∈ V) → (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ↔ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))))
6462, 58, 63sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ↔ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))))
65 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑈) = (♯‘𝑊) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)))
6665eqcoms 2745 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)))
6766adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)))
6867eqeq2d 2748 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) ↔ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2))))
6964, 68bitrd 279 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ↔ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2))))
70 fvex 6919 . . . . . . . 8 (lastS‘𝑊) ∈ V
71 s111 14653 . . . . . . . 8 (((lastS‘𝑊) ∈ V ∧ (lastS‘𝑈) ∈ V) → (⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))
7270, 59, 71sylancr 587 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))
7369, 72anbi12d 632 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ∧ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) ↔ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈))))
7455, 61, 733bitrd 305 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) ↔ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈))))
7574anbi2d 630 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩)) ↔ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))
76 3anass 1095 . . . 4 (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)) ↔ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈))))
7775, 76bitr4di 289 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩)) ↔ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈))))
7877pm5.32da 579 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩))) ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))
7938, 78bitrd 279 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cop 4632   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  +crp 13034  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552  lastSclsw 14600  ⟨“cs1 14633   substr csubstr 14678   prefix cpfx 14708  ⟨“cs2 14880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-s2 14887
This theorem is referenced by:  numclwwlk1lem2f1  30376
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