Theorem 2swrd2eqwrdeq 14860

Description: Two words of length at least two are equal if and only if they have the same prefix and the same two single symbols suffix. (Contributed by AV, 24-Sep-2018.) (Revised by AV, 12-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2swrd2eqwrdeq	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))

Proof of Theorem 2swrd2eqwrdeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 14440	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
2		1z 12505	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		nn0z 12496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
4		zltp1le 12525	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝑊) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑊)))
5	2, 3, 4	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑊) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑊)))
6		1p1e2 12248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 + 1) = 2
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 + 1) = 2)
8	7	breq1d 5102	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ (♯‘𝑊) ↔ 2 ≤ (♯‘𝑊)))
9	8	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ (♯‘𝑊) → 2 ≤ (♯‘𝑊)))
10	5, 9	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑊) → 2 ≤ (♯‘𝑊)))
11	10	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
12		2nn0 12401	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
14		nn0sub 12434	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (2 ≤ (♯‘𝑊) ↔ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0))
15	12, 13, 14	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (2 ≤ (♯‘𝑊) ↔ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0))
16	11, 15	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0)
17	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
18		0red 11118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
19		1red 11116	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
20		nn0re 12393	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
21	18, 19, 20	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
22		0lt1 11642	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
23		lttr 11192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → 0 < (♯‘𝑊)))
24	23	expd 415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (0 < 1 → (1 < (♯‘𝑊) → 0 < (♯‘𝑊))))
25	21, 22, 24	mpisyl 21	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑊) → 0 < (♯‘𝑊)))
26	25	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → 0 < (♯‘𝑊))
27		elnnz 12481	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
28	17, 26, 27	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
29		2rp 12898	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
31	20, 30	ltsubrpd 12969	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 2) < (♯‘𝑊))
32	31	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) < (♯‘𝑊))
33		elfzo0 13603	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑊) − 2) < (♯‘𝑊)))
34	16, 28, 32, 33	syl3anbrc 1344	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
35	1, 34	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
36	35	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
37		pfxsuffeqwrdeq 14604	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩)))))
38	36, 37	syld3an3 1411	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩)))))
39		swrd2lsw 14859	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩)
40	39	3adant2 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩)
41	40	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩)
42		breq2 5096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (1 < (♯‘𝑊) ↔ 1 < (♯‘𝑈)))
43	42	3anbi3d 1444	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑈))))
44		swrd2lsw 14859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩)
45	44	3adant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩)
46	43, 45	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩))
47	46	impcom 407	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩)
48		oveq1 7356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((♯‘𝑊) − 2) = ((♯‘𝑈) − 2))
49		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))
50	48, 49	opeq12d 4832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩ = ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩)
51	50	oveq2d 7365	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩))
52	51	eqeq1d 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩))
53	52	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩))
54	47, 53	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩)
55	41, 54	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) ↔ ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩))
56		fvexd 6837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) ∈ V)
57		fvexd 6837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (lastS‘𝑊) ∈ V)
58		fvexd 6837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) ∈ V)
59		fvexd 6837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (lastS‘𝑈) ∈ V)
60		s2eq2s1eq 14843	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) ∈ V ∧ (lastS‘𝑊) ∈ V) ∧ ((𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) ∈ V ∧ (lastS‘𝑈) ∈ V)) → (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ∧ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))
61	56, 57, 58, 59, 60	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ∧ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))
62		fvex 6835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) ∈ V
63		s111 14522	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) ∈ V ∧ (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) ∈ V) → (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ↔ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))))
64	62, 58, 63	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ↔ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))))
65		fvoveq1 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑈) = (♯‘𝑊) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)))
66	65	eqcoms 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)))
67	66	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)))
68	67	eqeq2d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) ↔ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2))))
69	64, 68	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ↔ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2))))
70		fvex 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (lastS‘𝑊) ∈ V
71		s111 14522	. . . . . . . 8 ⊢ (((lastS‘𝑊) ∈ V ∧ (lastS‘𝑈) ∈ V) → (⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))
72	70, 59, 71	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))
73	69, 72	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ∧ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) ↔ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈))))
74	55, 61, 73	3bitrd 305	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) ↔ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈))))
75	74	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩)) ↔ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))
76		3anass 1094	. . . 4 ⊢ (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)) ↔ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈))))
77	75, 76	bitr4di 289	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩)) ↔ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈))))
78	77	pm5.32da 579	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩))) ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))
79	38, 78	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436  ⟨cop 4583   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   < clt 11149   ≤ cle 11150   − cmin 11347  ℕcn 12128  2c2 12183  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471  ℝ⁺crp 12893  ..^cfzo 13557  ♯chash 14237  Word cword 14420  lastSclsw 14469  ⟨“cs1 14502   substr csubstr 14547   prefix cpfx 14577  ⟨“cs2 14748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-hash 14238  df-word 14421  df-lsw 14470  df-concat 14478  df-s1 14503  df-substr 14548  df-pfx 14578  df-s2 14755

This theorem is referenced by:  numclwwlk1lem2f1  30301