Theorem 2swrd2eqwrdeq 14307

Description: Two words of length at least two are equal if and only if they have the same prefix and the same two single symbols suffix. (Contributed by AV, 24-Sep-2018.) (Revised by AV, 12-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2swrd2eqwrdeq	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))

Proof of Theorem 2swrd2eqwrdeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 13875	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
2		1z 12004	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		nn0z 11997	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
4		zltp1le 12024	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝑊) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑊)))
5	2, 3, 4	sylancr 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑊) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑊)))
6		1p1e2 11754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 + 1) = 2
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 + 1) = 2)
8	7	breq1d 5067	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ (♯‘𝑊) ↔ 2 ≤ (♯‘𝑊)))
9	8	biimpd 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ (♯‘𝑊) → 2 ≤ (♯‘𝑊)))
10	5, 9	sylbid 242	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑊) → 2 ≤ (♯‘𝑊)))
11	10	imp 409	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
12		2nn0 11906	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13		simpl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
14		nn0sub 11939	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (2 ≤ (♯‘𝑊) ↔ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0))
15	12, 13, 14	sylancr 589	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (2 ≤ (♯‘𝑊) ↔ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0))
16	11, 15	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0)
17	3	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
18		0red 10636	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
19		1red 10634	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
20		nn0re 11898	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
21	18, 19, 20	3jca 1123	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
22		0lt1 11154	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
23		lttr 10709	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → 0 < (♯‘𝑊)))
24	23	expd 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (0 < 1 → (1 < (♯‘𝑊) → 0 < (♯‘𝑊))))
25	21, 22, 24	mpisyl 21	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑊) → 0 < (♯‘𝑊)))
26	25	imp 409	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → 0 < (♯‘𝑊))
27		elnnz 11983	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
28	17, 26, 27	sylanbrc 585	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
29		2rp 12386	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
31	20, 30	ltsubrpd 12455	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) − 2) < (♯‘𝑊))
32	31	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) < (♯‘𝑊))
33		elfzo0 13070	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (((♯‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑊) − 2) < (♯‘𝑊)))
34	16, 28, 32, 33	syl3anbrc 1338	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
35	1, 34	sylan 582	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
36	35	3adant2 1126	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
37		pfxsuffeqwrdeq 14052	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩)))))
38	36, 37	syld3an3 1404	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩)))))
39		swrd2lsw 14306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩)
40	39	3adant2 1126	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩)
41	40	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩)
42		breq2 5061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (1 < (♯‘𝑊) ↔ 1 < (♯‘𝑈)))
43	42	3anbi3d 1436	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑈))))
44		swrd2lsw 14306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩)
45	44	3adant1 1125	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩)
46	43, 45	syl6bi 255	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩))
47	46	impcom 410	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩)
48		oveq1 7155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((♯‘𝑊) − 2) = ((♯‘𝑈) − 2))
49		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))
50	48, 49	opeq12d 4803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩ = ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩)
51	50	oveq2d 7164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩))
52	51	eqeq1d 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩))
53	52	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 2), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩))
54	47, 53	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩)
55	41, 54	eqeq12d 2835	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) ↔ ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩))
56		fvexd 6678	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) ∈ V)
57		fvexd 6678	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (lastS‘𝑊) ∈ V)
58		fvexd 6678	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) ∈ V)
59		fvexd 6678	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (lastS‘𝑈) ∈ V)
60		s2eq2s1eq 14290	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) ∈ V ∧ (lastS‘𝑊) ∈ V) ∧ ((𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) ∈ V ∧ (lastS‘𝑈) ∈ V)) → (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ∧ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))
61	56, 57, 58, 59, 60	syl22anc 836	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ∧ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))
62		fvex 6676	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) ∈ V
63		s111 13961	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) ∈ V ∧ (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) ∈ V) → (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ↔ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))))
64	62, 58, 63	sylancr 589	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ↔ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))))
65		fvoveq1 7171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑈) = (♯‘𝑊) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)))
66	65	eqcoms 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)))
67	66	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)))
68	67	eqeq2d 2830	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑈) − 2)) ↔ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2))))
69	64, 68	bitrd 281	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ↔ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2))))
70		fvex 6676	. . . . . . . 8 ⊢ (lastS‘𝑊) ∈ V
71		s111 13961	. . . . . . . 8 ⊢ (((lastS‘𝑊) ∈ V ∧ (lastS‘𝑈) ∈ V) → (⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))
72	70, 59, 71	sylancr 589	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))
73	69, 72	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 2))”⟩ = ⟨“(𝑈‘((♯‘𝑈) − 2))”⟩ ∧ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) ↔ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈))))
74	55, 61, 73	3bitrd 307	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) ↔ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈))))
75	74	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩)) ↔ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))
76		3anass 1090	. . . 4 ⊢ (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)) ↔ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ ((𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈))))
77	75, 76	syl6bbr 291	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩)) ↔ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈))))
78	77	pm5.32da 581	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 2), (♯‘𝑊)⟩))) ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))
79	38, 78	bitrd 281	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (𝑊‘((♯‘𝑊) − 2)) = (𝑈‘((♯‘𝑊) − 2)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  Vcvv 3493  ⟨cop 4565   class class class wbr 5057  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   < clt 10667   ≤ cle 10668   − cmin 10862  ℕcn 11630  2c2 11684  ℕ₀cn0 11889  ℤcz 11973  ℝ⁺crp 12381  ..^cfzo 13025  ♯chash 13682  Word cword 13853  lastSclsw 13906  ⟨“cs1 13941   substr csubstr 13994   prefix cpfx 14024  ⟨“cs2 14195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-hash 13683  df-word 13854  df-lsw 13907  df-concat 13915  df-s1 13942  df-substr 13995  df-pfx 14025  df-s2 14202

This theorem is referenced by:  numclwwlk1lem2f1  28128