Theorem sgrp2rid2ex 19043

Description: A small semigroup (with two elements) with two right identities which are different. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgm2nsgrp.s	⊢ 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
mgm2nsgrp.b	⊢ (Base‘𝑀) = 𝑆
sgrp2nmnd.o	⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
sgrp2nmnd.p	⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
sgrp2rid2ex	⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀   𝑥, ⚬ ,𝑦   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝑆   𝑧, ⚬ ,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem sgrp2rid2ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgm2nsgrp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
2	1	hashprdifel 14464	. 2 ⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
3		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑆)
4		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑆)
5		simpl3 1212	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐴 ≠ 𝐵)
6	5	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝐴 ≠ 𝐵)
7		mgm2nsgrp.b	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑀) = 𝑆
8		sgrp2nmnd.o	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
9		sgrp2nmnd.p	. . . . . . 7 ⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)
10	1, 7, 8, 9	sgrp2rid2 19042	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦)
11		oveq2 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 ⚬ 𝑥) = (𝑦 ⚬ 𝐴))
12	11	eqeq1d 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦))
13	12	ralbidv 3187	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦))
14	13	rspcv 3575	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦))
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦))
16	10, 15	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦)
17	16	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦)
18		oveq2 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑦 ⚬ 𝑥) = (𝑦 ⚬ 𝐵))
19	18	eqeq1d 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
20	19	ralbidv 3187	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
21	20	rspcv 3575	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
22	21	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
23	10, 22	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)
24	23	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)
25		r19.26-3 3125	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
26	6, 17, 24, 25	syl3anbrc 1362	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
27	3, 4, 26	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)))
28		neeq1 3019	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≠ 𝑧 ↔ 𝐴 ≠ 𝑧))
29		biidd 265	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦))
30	28, 12, 29	3anbi123d 1464	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦) ↔ (𝐴 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦)))
31	30	ralbidv 3187	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦)))
32		neeq2 3020	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐴 ≠ 𝑧 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
33		biidd 265	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ↔ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦))
34		oveq2 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑦 ⚬ 𝑧) = (𝑦 ⚬ 𝐵))
35	34	eqeq1d 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
36	32, 33, 35	3anbi123d 1464	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦) ↔ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)))
37	36	ralbidv 3187	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)))
38	31, 37	rspc2ev 3592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦))
39	2, 27, 38	3syl 19	1 ⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  ifcif 4485  {cpr 4589  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  2c2 12322  ♯chash 14396  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-hash 14397

This theorem is used by: (None)