MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgrp2rid2ex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgrp2rid2ex 18844
Description: A small semigroup (with two elements) with two right identities which are different. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mgm2nsgrp.s 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
mgm2nsgrp.b (Base‘𝑀) = 𝑆
sgrp2nmnd.o (+g𝑀) = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
sgrp2nmnd.p = (+g𝑀)
Assertion
Ref Expression
sgrp2rid2ex ((♯‘𝑆) = 2 → ∃𝑥𝑆𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑥𝑧 ∧ (𝑦 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝑧) = 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀   𝑥, ,𝑦   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝑆   𝑧, ,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem sgrp2rid2ex
StepHypRef Expression
1 mgm2nsgrp.s . . 3 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
21hashprdifel 14362 . 2 ((♯‘𝑆) = 2 → (𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵))
3 simp1 1134 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → 𝐴𝑆)
4 simp2 1135 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → 𝐵𝑆)
5 simpl3 1191 . . . . 5 (((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐴𝐵)
65ralrimiva 3144 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ∀𝑦𝑆 𝐴𝐵)
7 mgm2nsgrp.b . . . . . . 7 (Base‘𝑀) = 𝑆
8 sgrp2nmnd.o . . . . . . 7 (+g𝑀) = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
9 sgrp2nmnd.p . . . . . . 7 = (+g𝑀)
101, 7, 8, 9sgrp2rid2 18843 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑦 𝑥) = 𝑦)
11 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 𝑥) = (𝑦 𝐴))
1211eqeq1d 2732 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑦 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦 𝐴) = 𝑦))
1312ralbidv 3175 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦𝑆 (𝑦 𝑥) = 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐴) = 𝑦))
1413rspcv 3607 . . . . . . 7 (𝐴𝑆 → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑦 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐴) = 𝑦))
1514adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑦 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐴) = 𝑦))
1610, 15mpd 15 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐴) = 𝑦)
17163adant3 1130 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐴) = 𝑦)
18 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵 → (𝑦 𝑥) = (𝑦 𝐵))
1918eqeq1d 2732 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑦 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦 𝐵) = 𝑦))
2019ralbidv 3175 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑦𝑆 (𝑦 𝑥) = 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐵) = 𝑦))
2120rspcv 3607 . . . . . . 7 (𝐵𝑆 → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑦 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐵) = 𝑦))
2221adantl 480 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑦 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐵) = 𝑦))
2310, 22mpd 15 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐵) = 𝑦)
24233adant3 1130 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐵) = 𝑦)
25 r19.26-3 3110 . . . 4 (∀𝑦𝑆 (𝐴𝐵 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝐵) = 𝑦) ↔ (∀𝑦𝑆 𝐴𝐵 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐵) = 𝑦))
266, 17, 24, 25syl3anbrc 1341 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ∀𝑦𝑆 (𝐴𝐵 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝐵) = 𝑦))
273, 4, 263jca 1126 . 2 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (𝐴𝑆𝐵𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝐴𝐵 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝐵) = 𝑦)))
28 neeq1 3001 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑧𝐴𝑧))
29 biidd 261 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑦 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑦 𝑧) = 𝑦))
3028, 12, 293anbi123d 1434 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝑧 ∧ (𝑦 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝑧) = 𝑦) ↔ (𝐴𝑧 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝑧) = 𝑦)))
3130ralbidv 3175 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦𝑆 (𝑥𝑧 ∧ (𝑦 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝑧) = 𝑦) ↔ ∀𝑦𝑆 (𝐴𝑧 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝑧) = 𝑦)))
32 neeq2 3002 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → (𝐴𝑧𝐴𝐵))
33 biidd 261 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → ((𝑦 𝐴) = 𝑦 ↔ (𝑦 𝐴) = 𝑦))
34 oveq2 7419 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐵 → (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝐵))
3534eqeq1d 2732 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → ((𝑦 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑦 𝐵) = 𝑦))
3632, 33, 353anbi123d 1434 . . . 4 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴𝑧 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝑧) = 𝑦) ↔ (𝐴𝐵 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝐵) = 𝑦)))
3736ralbidv 3175 . . 3 (𝑧 = 𝐵 → (∀𝑦𝑆 (𝐴𝑧 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝑧) = 𝑦) ↔ ∀𝑦𝑆 (𝐴𝐵 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝐵) = 𝑦)))
3831, 37rspc2ev 3623 . 2 ((𝐴𝑆𝐵𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝐴𝐵 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝐵) = 𝑦)) → ∃𝑥𝑆𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑥𝑧 ∧ (𝑦 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝑧) = 𝑦))
392, 27, 383syl 18 1 ((♯‘𝑆) = 2 → ∃𝑥𝑆𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑥𝑧 ∧ (𝑦 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝑧) = 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  ifcif 4527  {cpr 4629  cfv 6542  (class class class)co 7411  cmpo 7413  2c2 12271  chash 14294  Basecbs 17148  +gcplusg 17201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-hash 14295
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator