Theorem sgrp2rid2ex 19155

Description: A small semigroup (with two elements) with two right identities which are different. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgm2nsgrp.s	⊢ 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
mgm2nsgrp.b	⊢ (Base‘𝑀) = 𝑆
sgrp2nmnd.o	⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
sgrp2nmnd.p	⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
sgrp2rid2ex	⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀   𝑥, ⚬ ,𝑦   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝑆   𝑧, ⚬ ,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem sgrp2rid2ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgm2nsgrp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
2	1	hashprdifel 14569	. 2 ⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
3		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑆)
4		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑆)
5		simpl3 1212	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐴 ≠ 𝐵)
6	5	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝐴 ≠ 𝐵)
7		mgm2nsgrp.b	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑀) = 𝑆
8		sgrp2nmnd.o	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
9		sgrp2nmnd.p	. . . . . . 7 ⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)
10	1, 7, 8, 9	sgrp2rid2 19154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦)
11		oveq2 7451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 ⚬ 𝑥) = (𝑦 ⚬ 𝐴))
12	11	eqeq1d 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦))
13	12	ralbidv 3189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦))
14	13	rspcv 3576	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦))
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦))
16	10, 15	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦)
17	16	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦)
18		oveq2 7451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑦 ⚬ 𝑥) = (𝑦 ⚬ 𝐵))
19	18	eqeq1d 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
20	19	ralbidv 3189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
21	20	rspcv 3576	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
22	21	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
23	10, 22	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)
24	23	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)
25		r19.26-3 3127	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
26	6, 17, 24, 25	syl3anbrc 1362	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
27	3, 4, 26	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)))
28		neeq1 3021	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≠ 𝑧 ↔ 𝐴 ≠ 𝑧))
29		biidd 265	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦))
30	28, 12, 29	3anbi123d 1465	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦) ↔ (𝐴 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦)))
31	30	ralbidv 3189	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦)))
32		neeq2 3022	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐴 ≠ 𝑧 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
33		biidd 265	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ↔ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦))
34		oveq2 7451	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑦 ⚬ 𝑧) = (𝑦 ⚬ 𝐵))
35	34	eqeq1d 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
36	32, 33, 35	3anbi123d 1465	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦) ↔ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)))
37	36	ralbidv 3189	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)))
38	31, 37	rspc2ev 3592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦))
39	2, 27, 38	3syl 19	1 ⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  ifcif 4485  {cpr 4590  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ∈ cmpo 7445  2c2 12424  ♯chash 14501  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-hash 14502

This theorem is used by: (None)