Theorem sgrp2rid2ex 18092

Description: A small semigroup (with two elements) with two right identities which are different. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgm2nsgrp.s	⊢ 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
mgm2nsgrp.b	⊢ (Base‘𝑀) = 𝑆
sgrp2nmnd.o	⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
sgrp2nmnd.p	⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
sgrp2rid2ex	⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀   𝑥, ⚬ ,𝑦   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝑆   𝑧, ⚬ ,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem sgrp2rid2ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgm2nsgrp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
2	1	hashprdifel 13760	. 2 ⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
3		simp1 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑆)
4		simp2 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑆)
5		simpl3 1189	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐴 ≠ 𝐵)
6	5	ralrimiva 3182	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝐴 ≠ 𝐵)
7		mgm2nsgrp.b	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑀) = 𝑆
8		sgrp2nmnd.o	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
9		sgrp2nmnd.p	. . . . . . 7 ⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)
10	1, 7, 8, 9	sgrp2rid2 18091	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦)
11		oveq2 7164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 ⚬ 𝑥) = (𝑦 ⚬ 𝐴))
12	11	eqeq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦))
13	12	ralbidv 3197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦))
14	13	rspcv 3618	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦))
15	14	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦))
16	10, 15	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦)
17	16	3adant3 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦)
18		oveq2 7164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑦 ⚬ 𝑥) = (𝑦 ⚬ 𝐵))
19	18	eqeq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
20	19	ralbidv 3197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
21	20	rspcv 3618	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
22	21	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
23	10, 22	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)
24	23	3adant3 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)
25		r19.26-3 3172	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
26	6, 17, 24, 25	syl3anbrc 1339	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
27	3, 4, 26	3jca 1124	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)))
28		neeq1 3078	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≠ 𝑧 ↔ 𝐴 ≠ 𝑧))
29		biidd 264	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦))
30	28, 12, 29	3anbi123d 1432	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦) ↔ (𝐴 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦)))
31	30	ralbidv 3197	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦)))
32		neeq2 3079	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐴 ≠ 𝑧 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
33		biidd 264	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ↔ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦))
34		oveq2 7164	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑦 ⚬ 𝑧) = (𝑦 ⚬ 𝐵))
35	34	eqeq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
36	32, 33, 35	3anbi123d 1432	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦) ↔ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)))
37	36	ralbidv 3197	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)))
38	31, 37	rspc2ev 3635	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦))
39	2, 27, 38	3syl 18	1 ⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  ifcif 4467  {cpr 4569  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∈ cmpo 7158  2c2 11693  ♯chash 13691  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-dju 9330  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-hash 13692

This theorem is referenced by: (None)