Theorem sgrp2rid2ex 19127

Description: A small semigroup (with two elements) with two right identities which are different. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgm2nsgrp.s	⊢ 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
mgm2nsgrp.b	⊢ (Base‘𝑀) = 𝑆
sgrp2nmnd.o	⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
sgrp2nmnd.p	⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
sgrp2rid2ex	⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀   𝑥, ⚬ ,𝑦   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝑆   𝑧, ⚬ ,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem sgrp2rid2ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgm2nsgrp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
2	1	hashprdifel 14543	. 2 ⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
3		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑆)
4		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑆)
5		simpl3 1212	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐴 ≠ 𝐵)
6	5	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝐴 ≠ 𝐵)
7		mgm2nsgrp.b	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑀) = 𝑆
8		sgrp2nmnd.o	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
9		sgrp2nmnd.p	. . . . . . 7 ⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)
10	1, 7, 8, 9	sgrp2rid2 19126	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦)
11		oveq2 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 ⚬ 𝑥) = (𝑦 ⚬ 𝐴))
12	11	eqeq1d 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦))
13	12	ralbidv 3185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦))
14	13	rspcv 3572	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦))
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦))
16	10, 15	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦)
17	16	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦)
18		oveq2 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑦 ⚬ 𝑥) = (𝑦 ⚬ 𝐵))
19	18	eqeq1d 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
20	19	ralbidv 3185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
21	20	rspcv 3572	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
22	21	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
23	10, 22	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)
24	23	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)
25		r19.26-3 3123	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
26	6, 17, 24, 25	syl3anbrc 1362	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
27	3, 4, 26	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)))
28		neeq1 3017	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≠ 𝑧 ↔ 𝐴 ≠ 𝑧))
29		biidd 265	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦))
30	28, 12, 29	3anbi123d 1464	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦) ↔ (𝐴 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦)))
31	30	ralbidv 3185	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦)))
32		neeq2 3018	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐴 ≠ 𝑧 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
33		biidd 265	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ↔ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦))
34		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑦 ⚬ 𝑧) = (𝑦 ⚬ 𝐵))
35	34	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
36	32, 33, 35	3anbi123d 1464	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦) ↔ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)))
37	36	ralbidv 3185	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)))
38	31, 37	rspc2ev 3588	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦))
39	2, 27, 38	3syl 19	1 ⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ifcif 4481  {cpr 4585  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  2c2 12398  ♯chash 14475  Basecbs 17388  +_gcplusg 17429

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-oadd 8481  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9983  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-hash 14476

This theorem is used by: (None)