Theorem sgrp2rid2ex 18887

Description: A small semigroup (with two elements) with two right identities which are different. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgm2nsgrp.s	⊢ 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
mgm2nsgrp.b	⊢ (Base‘𝑀) = 𝑆
sgrp2nmnd.o	⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
sgrp2nmnd.p	⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
sgrp2rid2ex	⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀   𝑥, ⚬ ,𝑦   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝑆   𝑧, ⚬ ,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem sgrp2rid2ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgm2nsgrp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
2	1	hashprdifel 14349	. 2 ⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
3		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑆)
4		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑆)
5		simpl3 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐴 ≠ 𝐵)
6	5	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝐴 ≠ 𝐵)
7		mgm2nsgrp.b	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑀) = 𝑆
8		sgrp2nmnd.o	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
9		sgrp2nmnd.p	. . . . . . 7 ⊢ ⚬ = (+g‘𝑀)
10	1, 7, 8, 9	sgrp2rid2 18886	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦)
11		oveq2 7366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 ⚬ 𝑥) = (𝑦 ⚬ 𝐴))
12	11	eqeq1d 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦))
13	12	ralbidv 3161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦))
14	13	rspcv 3561	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦))
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦))
16	10, 15	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦)
17	16	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦)
18		oveq2 7366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑦 ⚬ 𝑥) = (𝑦 ⚬ 𝐵))
19	18	eqeq1d 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
20	19	ralbidv 3161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
21	20	rspcv 3561	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
22	21	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
23	10, 22	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)
24	23	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)
25		r19.26-3 3099	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
26	6, 17, 24, 25	syl3anbrc 1345	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
27	3, 4, 26	3jca 1129	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)))
28		neeq1 2995	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≠ 𝑧 ↔ 𝐴 ≠ 𝑧))
29		biidd 262	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦))
30	28, 12, 29	3anbi123d 1439	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦) ↔ (𝐴 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦)))
31	30	ralbidv 3161	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦)))
32		neeq2 2996	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐴 ≠ 𝑧 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
33		biidd 262	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ↔ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦))
34		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑦 ⚬ 𝑧) = (𝑦 ⚬ 𝐵))
35	34	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦))
36	32, 33, 35	3anbi123d 1439	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦) ↔ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)))
37	36	ralbidv 3161	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)))
38	31, 37	rspc2ev 3578	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝐵) = 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦))
39	2, 27, 38	3syl 18	1 ⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 ≠ 𝑧 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 ⚬ 𝑧) = 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ifcif 4467  {cpr 4570  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  2c2 12225  ♯chash 14281  Basecbs 17168  +_gcplusg 17209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-oadd 8400  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-hash 14282

This theorem is referenced by: (None)