MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgrp2rid2ex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgrp2rid2ex 18808
Description: A small semigroup (with two elements) with two right identities which are different. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mgm2nsgrp.s 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
mgm2nsgrp.b (Base‘𝑀) = 𝑆
sgrp2nmnd.o (+g𝑀) = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
sgrp2nmnd.p = (+g𝑀)
Assertion
Ref Expression
sgrp2rid2ex ((♯‘𝑆) = 2 → ∃𝑥𝑆𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑥𝑧 ∧ (𝑦 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝑧) = 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀   𝑥, ,𝑦   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝑆   𝑧, ,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem sgrp2rid2ex
StepHypRef Expression
1 mgm2nsgrp.s . . 3 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
21hashprdifel 14358 . 2 ((♯‘𝑆) = 2 → (𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵))
3 simp1 1137 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → 𝐴𝑆)
4 simp2 1138 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → 𝐵𝑆)
5 simpl3 1194 . . . . 5 (((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐴𝐵)
65ralrimiva 3147 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ∀𝑦𝑆 𝐴𝐵)
7 mgm2nsgrp.b . . . . . . 7 (Base‘𝑀) = 𝑆
8 sgrp2nmnd.o . . . . . . 7 (+g𝑀) = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
9 sgrp2nmnd.p . . . . . . 7 = (+g𝑀)
101, 7, 8, 9sgrp2rid2 18807 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑦 𝑥) = 𝑦)
11 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 𝑥) = (𝑦 𝐴))
1211eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑦 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦 𝐴) = 𝑦))
1312ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦𝑆 (𝑦 𝑥) = 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐴) = 𝑦))
1413rspcv 3609 . . . . . . 7 (𝐴𝑆 → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑦 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐴) = 𝑦))
1514adantr 482 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑦 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐴) = 𝑦))
1610, 15mpd 15 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐴) = 𝑦)
17163adant3 1133 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐴) = 𝑦)
18 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵 → (𝑦 𝑥) = (𝑦 𝐵))
1918eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑦 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦 𝐵) = 𝑦))
2019ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑦𝑆 (𝑦 𝑥) = 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐵) = 𝑦))
2120rspcv 3609 . . . . . . 7 (𝐵𝑆 → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑦 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐵) = 𝑦))
2221adantl 483 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑦 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐵) = 𝑦))
2310, 22mpd 15 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐵) = 𝑦)
24233adant3 1133 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐵) = 𝑦)
25 r19.26-3 3113 . . . 4 (∀𝑦𝑆 (𝐴𝐵 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝐵) = 𝑦) ↔ (∀𝑦𝑆 𝐴𝐵 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐵) = 𝑦))
266, 17, 24, 25syl3anbrc 1344 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ∀𝑦𝑆 (𝐴𝐵 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝐵) = 𝑦))
273, 4, 263jca 1129 . 2 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (𝐴𝑆𝐵𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝐴𝐵 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝐵) = 𝑦)))
28 neeq1 3004 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑧𝐴𝑧))
29 biidd 262 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑦 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑦 𝑧) = 𝑦))
3028, 12, 293anbi123d 1437 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝑧 ∧ (𝑦 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝑧) = 𝑦) ↔ (𝐴𝑧 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝑧) = 𝑦)))
3130ralbidv 3178 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦𝑆 (𝑥𝑧 ∧ (𝑦 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝑧) = 𝑦) ↔ ∀𝑦𝑆 (𝐴𝑧 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝑧) = 𝑦)))
32 neeq2 3005 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → (𝐴𝑧𝐴𝐵))
33 biidd 262 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → ((𝑦 𝐴) = 𝑦 ↔ (𝑦 𝐴) = 𝑦))
34 oveq2 7417 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐵 → (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝐵))
3534eqeq1d 2735 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → ((𝑦 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑦 𝐵) = 𝑦))
3632, 33, 353anbi123d 1437 . . . 4 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴𝑧 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝑧) = 𝑦) ↔ (𝐴𝐵 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝐵) = 𝑦)))
3736ralbidv 3178 . . 3 (𝑧 = 𝐵 → (∀𝑦𝑆 (𝐴𝑧 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝑧) = 𝑦) ↔ ∀𝑦𝑆 (𝐴𝐵 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝐵) = 𝑦)))
3831, 37rspc2ev 3625 . 2 ((𝐴𝑆𝐵𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝐴𝐵 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝐵) = 𝑦)) → ∃𝑥𝑆𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑥𝑧 ∧ (𝑦 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝑧) = 𝑦))
392, 27, 383syl 18 1 ((♯‘𝑆) = 2 → ∃𝑥𝑆𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑥𝑧 ∧ (𝑦 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝑧) = 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  ifcif 4529  {cpr 4631  cfv 6544  (class class class)co 7409  cmpo 7411  2c2 12267  chash 14290  Basecbs 17144  +gcplusg 17197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-hash 14291
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator