Theorem 4nn 12245

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12227	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 12241	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 12174	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2824	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  1c1 11045   + caddc 11047  ℕcn 12162  3c3 12218  4c4 12219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-1cn 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227

This theorem is referenced by:  5nn  12248  4ne0  12270  4nn0  12437  4z  12543  fldiv4p1lem1div2  13773  fldiv4lem1div2  13775  iexpcyc  14148  fsumcube  16002  ef01bndlem  16128  flodddiv4  16361  6lcm4e12  16562  2expltfac  17039  8nprm  17058  37prm  17067  43prm  17068  83prm  17069  139prm  17070  631prm  17073  prmo4  17074  1259prm  17082  2503lem2  17084  starvndx  17241  starvid  17242  srngstr  17248  homndx  17350  homid  17351  slotsdifplendx2  17355  slotsdifocndx  17356  prdsvalstr  17391  catstr  17898  lt6abl  19801  pcoass  24900  minveclem3  25305  iblitg  25645  dveflem  25859  tan4thpiOLD  26400  atan1  26814  log2tlbnd  26831  log2ub  26835  bclbnd  27167  bpos1  27170  bposlem6  27176  bposlem7  27177  bposlem8  27178  bposlem9  27179  gausslemma2dlem4  27256  m1lgs  27275  2lgslem1a  27278  2lgslem3a  27283  2lgslem3b  27284  2lgslem3c  27285  2lgslem3d  27286  2sqreultlem  27334  2sqreunnltlem  27337  chebbnd1lem1  27356  chebbnd1lem2  27357  chebbnd1lem3  27358  pntibndlem1  27476  pntibndlem2  27478  pntibndlem3  27479  pntlema  27483  pntlemb  27484  pntlemg  27485  pntlemf  27492  upgr4cycl4dv4e  30087  fib5  34369  hgt750lem2  34616  hgt750leme  34622  iccioo01  37288  420gcd8e4  41967  420lcm8e840  41972  lcm4un  41977  lcmineqlem23  42012  lcmineqlem  42013  3lexlogpow5ineq2  42016  aks4d1p1p5  42036  rmydioph  42976  rmxdioph  42978  expdiophlem2  42984  inductionexd  44117  amgm4d  44162  257prm  47535  fmtno4sqrt  47545  fmtno4prmfac  47546  fmtno4prmfac193  47547  fmtno5nprm  47557  139prmALT  47570  mod42tp1mod8  47576  2exp340mod341  47707  341fppr2  47708  wtgoldbnnsum4prm  47776  bgoldbachlt  47787  tgblthelfgott  47789