Theorem 4nn 12295

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12277	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 12291	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 12224	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2830	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  1c1 11111   + caddc 11113  ℕcn 12212  3c3 12268  4c4 12269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-1cn 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277

This theorem is referenced by:  5nn  12298  4nn0  12491  4z  12596  fldiv4p1lem1div2  13800  fldiv4lem1div2  13802  iexpcyc  14171  fsumcube  16004  ef01bndlem  16127  flodddiv4  16356  6lcm4e12  16553  2expltfac  17026  8nprm  17045  37prm  17054  43prm  17055  83prm  17056  139prm  17057  631prm  17060  prmo4  17061  1259prm  17069  2503lem2  17071  starvndx  17247  starvid  17248  srngstr  17254  homndx  17356  homid  17357  slotsdifplendx2  17362  slotsdifocndx  17363  prdsvalstr  17398  oppchomfvalOLD  17659  oppcbasOLD  17664  resccoOLD  17781  catstr  17909  lt6abl  19763  pcoass  24540  minveclem3  24946  iblitg  25286  dveflem  25496  tan4thpi  26024  atan1  26433  log2tlbnd  26450  log2ub  26454  bclbnd  26783  bpos1  26786  bposlem6  26792  bposlem7  26793  bposlem8  26794  bposlem9  26795  gausslemma2dlem4  26872  m1lgs  26891  2lgslem1a  26894  2lgslem3a  26899  2lgslem3b  26900  2lgslem3c  26901  2lgslem3d  26902  2sqreultlem  26950  2sqreunnltlem  26953  chebbnd1lem1  26972  chebbnd1lem2  26973  chebbnd1lem3  26974  pntibndlem1  27092  pntibndlem2  27094  pntibndlem3  27095  pntlema  27099  pntlemb  27100  pntlemg  27101  pntlemf  27108  upgr4cycl4dv4e  29438  fib5  33404  hgt750lem2  33664  hgt750leme  33670  iccioo01  36208  420gcd8e4  40871  420lcm8e840  40876  lcm4un  40881  lcmineqlem23  40916  lcmineqlem  40917  3lexlogpow5ineq2  40920  aks4d1p1p5  40940  rmydioph  41753  rmxdioph  41755  expdiophlem2  41761  inductionexd  42906  amgm4d  42952  257prm  46229  fmtno4sqrt  46239  fmtno4prmfac  46240  fmtno4prmfac193  46241  fmtno5nprm  46251  139prmALT  46264  mod42tp1mod8  46270  2exp340mod341  46401  341fppr2  46402  wtgoldbnnsum4prm  46470  bgoldbachlt  46481  tgblthelfgott  46483  prstclevalOLD  47689  prstcocvalOLD  47692