MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4nn 11708
Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
4nn 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn
StepHypRef Expression
1 df-4 11690 . 2 4 = (3 + 1)
2 3nn 11704 . . 3 3 ∈ ℕ
3 peano2nn 11637 . . 3 (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
42, 3ax-mp 5 . 2 (3 + 1) ∈ ℕ
51, 4eqeltri 2910 1 4 ∈ ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2114  (class class class)co 7140  1c1 10527   + caddc 10529  cn 11625  3c3 11681  4c4 11682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-1cn 10584
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690
This theorem is referenced by:  5nn  11711  4nn0  11904  4z  12004  fldiv4p1lem1div2  13200  fldiv4lem1div2  13202  iexpcyc  13565  fsumcube  15405  ef01bndlem  15528  flodddiv4  15753  6lcm4e12  15949  2expltfac  16417  8nprm  16436  37prm  16445  43prm  16446  83prm  16447  139prm  16448  631prm  16451  prmo4  16452  1259prm  16460  2503lem2  16462  starvndx  16614  starvid  16615  ressstarv  16617  srngstr  16618  homndx  16678  homid  16679  resshom  16682  prdsvalstr  16717  oppchomfval  16975  oppcbas  16979  rescco  17093  catstr  17218  lt6abl  19006  pcoass  23627  minveclem3  24031  iblitg  24370  dveflem  24580  tan4thpi  25105  atan1  25512  log2tlbnd  25529  log2ub  25533  bclbnd  25862  bpos1  25865  bposlem6  25871  bposlem7  25872  bposlem8  25873  bposlem9  25874  gausslemma2dlem4  25951  m1lgs  25970  2lgslem1a  25973  2lgslem3a  25978  2lgslem3b  25979  2lgslem3c  25980  2lgslem3d  25981  2sqreultlem  26029  2sqreunnltlem  26032  chebbnd1lem1  26051  chebbnd1lem2  26052  chebbnd1lem3  26053  pntibndlem1  26171  pntibndlem2  26173  pntibndlem3  26174  pntlema  26178  pntlemb  26179  pntlemg  26180  pntlemf  26187  upgr4cycl4dv4e  27968  fib5  31737  hgt750lem2  31997  hgt750leme  32003  iccioo01  34702  420gcd8e4  39259  420lcm8e840  39264  lcm4un  39269  lcmineqlem23  39304  lcmineqlem  39305  3lexlogpow5ineq1  39306  rmydioph  39889  rmxdioph  39891  expdiophlem2  39897  inductionexd  40795  amgm4d  40843  257prm  44021  fmtno4sqrt  44031  fmtno4prmfac  44032  fmtno4prmfac193  44033  fmtno5nprm  44043  139prmALT  44056  mod42tp1mod8  44063  2exp340mod341  44194  341fppr2  44195  wtgoldbnnsum4prm  44263  bgoldbachlt  44274  tgblthelfgott  44276
  Copyright terms: Public domain W3C validator