Theorem 4nn 12203

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12185	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 12199	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 12132	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2827	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7341  1c1 11002   + caddc 11004  ℕcn 12120  3c3 12176  4c4 12177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-1cn 11059

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185

This theorem is referenced by:  5nn  12206  4ne0  12228  4nn0  12395  4z  12501  fldiv4p1lem1div2  13734  fldiv4lem1div2  13736  iexpcyc  14109  fsumcube  15962  ef01bndlem  16088  flodddiv4  16321  6lcm4e12  16522  2expltfac  16999  8nprm  17018  37prm  17027  43prm  17028  83prm  17029  139prm  17030  631prm  17033  prmo4  17034  1259prm  17042  2503lem2  17044  starvndx  17201  starvid  17202  srngstr  17208  homndx  17310  homid  17311  slotsdifplendx2  17315  slotsdifocndx  17316  prdsvalstr  17351  catstr  17862  lt6abl  19802  pcoass  24946  minveclem3  25351  iblitg  25691  dveflem  25905  tan4thpiOLD  26446  atan1  26860  log2tlbnd  26877  log2ub  26881  bclbnd  27213  bpos1  27216  bposlem6  27222  bposlem7  27223  bposlem8  27224  bposlem9  27225  gausslemma2dlem4  27302  m1lgs  27321  2lgslem1a  27324  2lgslem3a  27329  2lgslem3b  27330  2lgslem3c  27331  2lgslem3d  27332  2sqreultlem  27380  2sqreunnltlem  27383  chebbnd1lem1  27402  chebbnd1lem2  27403  chebbnd1lem3  27404  pntibndlem1  27522  pntibndlem2  27524  pntibndlem3  27525  pntlema  27529  pntlemb  27530  pntlemg  27531  pntlemf  27538  upgr4cycl4dv4e  30157  fib5  34410  hgt750lem2  34657  hgt750leme  34663  iccioo01  37361  420gcd8e4  42039  420lcm8e840  42044  lcm4un  42049  lcmineqlem23  42084  lcmineqlem  42085  3lexlogpow5ineq2  42088  aks4d1p1p5  42108  rmydioph  43047  rmxdioph  43049  expdiophlem2  43055  inductionexd  44188  amgm4d  44233  257prm  47592  fmtno4sqrt  47602  fmtno4prmfac  47603  fmtno4prmfac193  47604  fmtno5nprm  47614  139prmALT  47627  mod42tp1mod8  47633  2exp340mod341  47764  341fppr2  47765  wtgoldbnnsum4prm  47833  bgoldbachlt  47844  tgblthelfgott  47846