Theorem 4nn 12264

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12246	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 12260	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 12186	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2832	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  1c1 11039   + caddc 11041  ℕcn 12174  3c3 12237  4c4 12238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-1cn 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246

This theorem is referenced by:  5nn  12267  4ne0  12289  4nn0  12456  4z  12561  fldiv4p1lem1div2  13794  fldiv4lem1div2  13796  iexpcyc  14169  fsumcube  16025  ef01bndlem  16151  flodddiv4  16384  6lcm4e12  16585  2expltfac  17063  8nprm  17082  37prm  17091  43prm  17092  83prm  17093  139prm  17094  631prm  17097  prmo4  17098  1259prm  17106  2503lem2  17108  starvndx  17265  starvid  17266  srngstr  17272  homndx  17374  homid  17375  slotsdifplendx2  17379  slotsdifocndx  17380  prdsvalstr  17415  catstr  17927  lt6abl  19870  pcoass  24991  minveclem3  25396  iblitg  25735  dveflem  25946  tan4thpiOLD  26479  atan1  26892  log2tlbnd  26909  log2ub  26913  bclbnd  27243  bpos1  27246  bposlem6  27252  bposlem7  27253  bposlem8  27254  bposlem9  27255  gausslemma2dlem4  27332  m1lgs  27351  2lgslem1a  27354  2lgslem3a  27359  2lgslem3b  27360  2lgslem3c  27361  2lgslem3d  27362  2sqreultlem  27410  2sqreunnltlem  27413  chebbnd1lem1  27432  chebbnd1lem2  27433  chebbnd1lem3  27434  pntibndlem1  27552  pntibndlem2  27554  pntibndlem3  27555  pntlema  27559  pntlemb  27560  pntlemg  27561  pntlemf  27568  upgr4cycl4dv4e  30255  fib5  34549  hgt750lem2  34796  hgt750leme  34802  iccioo01  37643  420gcd8e4  42445  420lcm8e840  42450  lcm4un  42455  lcmineqlem23  42490  lcmineqlem  42491  3lexlogpow5ineq2  42494  aks4d1p1p5  42514  rmydioph  43442  rmxdioph  43444  expdiophlem2  43450  inductionexd  44582  amgm4d  44627  257prm  48024  fmtno4sqrt  48034  fmtno4prmfac  48035  fmtno4prmfac193  48036  fmtno5nprm  48046  139prmALT  48059  mod42tp1mod8  48065  ppivalnn4  48090  2exp340mod341  48209  341fppr2  48210  wtgoldbnnsum4prm  48278  bgoldbachlt  48289  tgblthelfgott  48291