Theorem 4nn 12348

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12329	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 12344	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 12269	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2856	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  1c1 11125   + caddc 11127  ℕcn 12257  3c3 12320  4c4 12321

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-1cn 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329

This theorem is used by:  5nn  12351  4pos  12375  4ne0  12376  4nn0  12547  4z  12652  fldiv4p1lem1div2  13896  fldiv4lem1div2  13898  iexpcyc  14271  fsumcube  16146  ef01bndlem  16272  flodddiv4  16505  6lcm4e12  16706  2expltfac  17184  8nprm  17203  37prm  17213  43prm  17214  83prm  17215  139prm  17216  631prm  17219  prmo4  17220  1259prm  17228  2503lem2  17230  starvndx  17387  starvid  17388  srngstr  17394  homndx  17496  homid  17497  slotsdifplendx2  17501  slotsdifocndx  17502  prdsvalstr  17537  catstr  18049  lt6abl  20022  pcoass  25252  minveclem3  25657  iblitg  25996  dveflem  26206  atan1  27165  log2tlbnd  27182  log2ub  27186  bclbnd  27516  bpos1  27519  bposlem6  27525  bposlem7  27526  bposlem8  27527  bposlem9  27528  gausslemma2dlem4  27605  m1lgs  27624  2lgslem1a  27627  2lgslem3a  27632  2lgslem3b  27633  2lgslem3c  27634  2lgslem3d  27635  2sqreultlem  27683  2sqreunnltlem  27686  chebbnd1lem1  27705  chebbnd1lem2  27706  chebbnd1lem3  27707  pntibndlem1  27825  pntibndlem2  27827  pntibndlem3  27828  pntlema  27832  pntlemb  27833  pntlemg  27834  pntlemf  27841  upgr4cycl4dv4e  30665  fib5  34916  hgt750lem2  35160  hgt750leme  35166  iccioo01  38081  420gcd8e4  42872  420lcm8e840  42877  lcm4un  42882  lcmineqlem23  42917  lcmineqlem  42918  3lexlogpow5ineq2  42921  aks4d1p1p5  42941  rmydioph  43855  rmxdioph  43857  expdiophlem2  43863  inductionexd  44995  amgm4d  45040  257prm  48464  fmtno4sqrt  48474  fmtno4prmfac  48475  fmtno4prmfac193  48476  fmtno5nprm  48486  139prmALT  48499  mod42tp1mod8  48505  ppivalnn4  48530  2exp340mod341  48649  341fppr2  48650  wtgoldbnnsum4prm  48718  bgoldbachlt  48729  tgblthelfgott  48731  veronesevrowd  50812  veroquadgsumlem  50816