Theorem 4nn 12228

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12210	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 12224	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 12157	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2832	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  1c1 11027   + caddc 11029  ℕcn 12145  3c3 12201  4c4 12202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-1cn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210

This theorem is referenced by:  5nn  12231  4ne0  12253  4nn0  12420  4z  12525  fldiv4p1lem1div2  13755  fldiv4lem1div2  13757  iexpcyc  14130  fsumcube  15983  ef01bndlem  16109  flodddiv4  16342  6lcm4e12  16543  2expltfac  17020  8nprm  17039  37prm  17048  43prm  17049  83prm  17050  139prm  17051  631prm  17054  prmo4  17055  1259prm  17063  2503lem2  17065  starvndx  17222  starvid  17223  srngstr  17229  homndx  17331  homid  17332  slotsdifplendx2  17336  slotsdifocndx  17337  prdsvalstr  17372  catstr  17884  lt6abl  19824  pcoass  24980  minveclem3  25385  iblitg  25725  dveflem  25939  tan4thpiOLD  26480  atan1  26894  log2tlbnd  26911  log2ub  26915  bclbnd  27247  bpos1  27250  bposlem6  27256  bposlem7  27257  bposlem8  27258  bposlem9  27259  gausslemma2dlem4  27336  m1lgs  27355  2lgslem1a  27358  2lgslem3a  27363  2lgslem3b  27364  2lgslem3c  27365  2lgslem3d  27366  2sqreultlem  27414  2sqreunnltlem  27417  chebbnd1lem1  27436  chebbnd1lem2  27437  chebbnd1lem3  27438  pntibndlem1  27556  pntibndlem2  27558  pntibndlem3  27559  pntlema  27563  pntlemb  27564  pntlemg  27565  pntlemf  27572  upgr4cycl4dv4e  30260  fib5  34562  hgt750lem2  34809  hgt750leme  34815  iccioo01  37532  420gcd8e4  42260  420lcm8e840  42265  lcm4un  42270  lcmineqlem23  42305  lcmineqlem  42306  3lexlogpow5ineq2  42309  aks4d1p1p5  42329  rmydioph  43256  rmxdioph  43258  expdiophlem2  43264  inductionexd  44396  amgm4d  44441  257prm  47807  fmtno4sqrt  47817  fmtno4prmfac  47818  fmtno4prmfac193  47819  fmtno5nprm  47829  139prmALT  47842  mod42tp1mod8  47848  2exp340mod341  47979  341fppr2  47980  wtgoldbnnsum4prm  48048  bgoldbachlt  48059  tgblthelfgott  48061