Theorem 4nn 11986

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 11968	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 11982	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 11915	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2835	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  1c1 10803   + caddc 10805  ℕcn 11903  3c3 11959  4c4 11960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-1cn 10860

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968

This theorem is referenced by:  5nn  11989  4nn0  12182  4z  12284  fldiv4p1lem1div2  13483  fldiv4lem1div2  13485  iexpcyc  13851  fsumcube  15698  ef01bndlem  15821  flodddiv4  16050  6lcm4e12  16249  2expltfac  16722  8nprm  16741  37prm  16750  43prm  16751  83prm  16752  139prm  16753  631prm  16756  prmo4  16757  1259prm  16765  2503lem2  16767  starvndx  16938  starvid  16939  srngstr  16945  homndx  17040  homid  17041  prdsvalstr  17080  oppchomfvalOLD  17341  oppcbasOLD  17346  resccoOLD  17463  catstr  17590  lt6abl  19411  pcoass  24093  minveclem3  24498  iblitg  24838  dveflem  25048  tan4thpi  25576  atan1  25983  log2tlbnd  26000  log2ub  26004  bclbnd  26333  bpos1  26336  bposlem6  26342  bposlem7  26343  bposlem8  26344  bposlem9  26345  gausslemma2dlem4  26422  m1lgs  26441  2lgslem1a  26444  2lgslem3a  26449  2lgslem3b  26450  2lgslem3c  26451  2lgslem3d  26452  2sqreultlem  26500  2sqreunnltlem  26503  chebbnd1lem1  26522  chebbnd1lem2  26523  chebbnd1lem3  26524  pntibndlem1  26642  pntibndlem2  26644  pntibndlem3  26645  pntlema  26649  pntlemb  26650  pntlemg  26651  pntlemf  26658  upgr4cycl4dv4e  28450  fib5  32272  hgt750lem2  32532  hgt750leme  32538  iccioo01  35425  420gcd8e4  39942  420lcm8e840  39947  lcm4un  39952  lcmineqlem23  39987  lcmineqlem  39988  3lexlogpow5ineq2  39991  aks4d1p1p5  40011  rmydioph  40752  rmxdioph  40754  expdiophlem2  40760  inductionexd  41654  amgm4d  41700  257prm  44901  fmtno4sqrt  44911  fmtno4prmfac  44912  fmtno4prmfac193  44913  fmtno5nprm  44923  139prmALT  44936  mod42tp1mod8  44942  2exp340mod341  45073  341fppr2  45074  wtgoldbnnsum4prm  45142  bgoldbachlt  45153  tgblthelfgott  45155  prstcleval  46237  prstcocval  46239