Theorem 4nn 12321

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12303	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 12317	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 12250	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2830	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7403  1c1 11128   + caddc 11130  ℕcn 12238  3c3 12294  4c4 12295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-1cn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303

This theorem is referenced by:  5nn  12324  4ne0  12346  4nn0  12518  4z  12624  fldiv4p1lem1div2  13850  fldiv4lem1div2  13852  iexpcyc  14223  fsumcube  16074  ef01bndlem  16200  flodddiv4  16432  6lcm4e12  16633  2expltfac  17110  8nprm  17129  37prm  17138  43prm  17139  83prm  17140  139prm  17141  631prm  17144  prmo4  17145  1259prm  17153  2503lem2  17155  starvndx  17314  starvid  17315  srngstr  17321  homndx  17423  homid  17424  slotsdifplendx2  17428  slotsdifocndx  17429  prdsvalstr  17464  catstr  17971  lt6abl  19874  pcoass  24973  minveclem3  25379  iblitg  25719  dveflem  25933  tan4thpiOLD  26474  atan1  26888  log2tlbnd  26905  log2ub  26909  bclbnd  27241  bpos1  27244  bposlem6  27250  bposlem7  27251  bposlem8  27252  bposlem9  27253  gausslemma2dlem4  27330  m1lgs  27349  2lgslem1a  27352  2lgslem3a  27357  2lgslem3b  27358  2lgslem3c  27359  2lgslem3d  27360  2sqreultlem  27408  2sqreunnltlem  27411  chebbnd1lem1  27430  chebbnd1lem2  27431  chebbnd1lem3  27432  pntibndlem1  27550  pntibndlem2  27552  pntibndlem3  27553  pntlema  27557  pntlemb  27558  pntlemg  27559  pntlemf  27566  upgr4cycl4dv4e  30112  fib5  34383  hgt750lem2  34630  hgt750leme  34636  iccioo01  37291  420gcd8e4  41965  420lcm8e840  41970  lcm4un  41975  lcmineqlem23  42010  lcmineqlem  42011  3lexlogpow5ineq2  42014  aks4d1p1p5  42034  rmydioph  42985  rmxdioph  42987  expdiophlem2  42993  inductionexd  44126  amgm4d  44171  257prm  47523  fmtno4sqrt  47533  fmtno4prmfac  47534  fmtno4prmfac193  47535  fmtno5nprm  47545  139prmALT  47558  mod42tp1mod8  47564  2exp340mod341  47695  341fppr2  47696  wtgoldbnnsum4prm  47764  bgoldbachlt  47775  tgblthelfgott  47777