Theorem 4nn 12431

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12412	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 12427	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 12352	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2856	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7422  1c1 11206   + caddc 11208  ℕcn 12340  3c3 12403  4c4 12404

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-1cn 11263

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7425  df-om 7880  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412

This theorem is used by:  5nn  12434  4pos  12458  4ne0  12459  4nn0  12630  4z  12735  fldiv4p1lem1div2  13980  fldiv4lem1div2  13982  iexpcyc  14356  fsumcube  16233  ef01bndlem  16359  flodddiv4  16592  6lcm4e12  16798  2expltfac  17277  8nprm  17296  37prm  17306  43prm  17307  83prm  17308  139prm  17309  631prm  17312  prmo4  17313  1259prm  17321  2503lem2  17323  starvndx  17480  starvid  17481  srngstr  17487  homndx  17589  homid  17590  slotsdifplendx2  17594  slotsdifocndx  17595  prdsvalstr  17630  catstr  18142  lt6abl  20116  pcoass  25352  minveclem3  25757  iblitg  26096  dveflem  26306  atan1  27263  log2tlbnd  27280  log2ub  27284  bclbnd  27614  bpos1  27617  bposlem6  27623  bposlem7  27624  bposlem8  27625  bposlem9  27626  gausslemma2dlem4  27703  m1lgs  27722  2lgslem1a  27725  2lgslem3a  27730  2lgslem3b  27731  2lgslem3c  27732  2lgslem3d  27733  2sqreultlem  27781  2sqreunnltlem  27784  chebbnd1lem1  27803  chebbnd1lem2  27804  chebbnd1lem3  27805  pntibndlem1  27923  pntibndlem2  27925  pntibndlem3  27926  pntlema  27930  pntlemb  27931  pntlemg  27932  pntlemf  27939  fltoprm  28002  upgr4cycl4dv4e  30793  fib5  35085  hgt750lem2  35329  hgt750leme  35335  iccioo01  38357  420gcd8e4  43163  420lcm8e840  43168  lcm4un  43173  lcmineqlem23  43208  lcmineqlem  43209  3lexlogpow5ineq2  43212  aks4d1p1p5  43232  rmydioph  44128  rmxdioph  44130  expdiophlem2  44136  inductionexd  45262  amgm4d  45307  257prm  48753  fmtno4sqrt  48763  fmtno4prmfac  48764  fmtno4prmfac193  48765  fmtno5nprm  48775  139prmALT  48788  mod42tp1mod8  48794  ppivalnn4  48819  2exp340mod341  48938  341fppr2  48939  wtgoldbnnsum4prm  49007  bgoldbachlt  49018  tgblthelfgott  49020  veronesevrowd  51161  veroquadgsumlem  51165