Theorem 4nn 12466

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12447	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 12462	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 12387	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2860	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  1c1 11240   + caddc 11242  ℕcn 12375  3c3 12438  4c4 12439

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-1cn 11297

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447

This theorem is used by:  5nn  12469  4pos  12493  4ne0  12494  4nn0  12665  4z  12770  fldiv4p1lem1div2  14015  fldiv4lem1div2  14017  iexpcyc  14391  fsumcube  16270  ef01bndlem  16396  flodddiv4  16629  6lcm4e12  16835  2expltfac  17314  8nprm  17333  37prm  17343  43prm  17344  83prm  17345  139prm  17346  631prm  17349  prmo4  17350  1259prm  17358  2503lem2  17360  starvndx  17519  starvid  17520  srngstr  17526  homndx  17628  homid  17629  slotsdifplendx2  17637  slotsdifocndx  17638  prdsvalstr  17673  catstr  18185  lt6abl  20160  pcoass  25400  minveclem3  25805  iblitg  26144  dveflem  26354  atan1  27313  log2tlbnd  27330  log2ub  27334  bclbnd  27664  bpos1  27667  bposlem6  27673  bposlem7  27674  bposlem8  27675  bposlem9  27676  gausslemma2dlem4  27753  m1lgs  27772  2lgslem1a  27775  2lgslem3a  27780  2lgslem3b  27781  2lgslem3c  27782  2lgslem3d  27783  2sqreultlem  27831  2sqreunnltlem  27834  chebbnd1lem1  27853  chebbnd1lem2  27854  chebbnd1lem3  27855  pntibndlem1  27973  pntibndlem2  27975  pntibndlem3  27976  pntlema  27980  pntlemb  27981  pntlemg  27982  pntlemf  27989  fltoprm  28052  upgr4cycl4dv4e  30843  fib5  35148  hgt750lem2  35392  hgt750leme  35398  iccioo01  38518  420gcd8e4  43322  420lcm8e840  43327  lcm4un  43332  lcmineqlem23  43367  lcmineqlem  43368  3lexlogpow5ineq2  43371  aks4d1p1p5  43391  rmydioph  44287  rmxdioph  44289  expdiophlem2  44295  inductionexd  45416  amgm4d  45461  257prm  48919  fmtno4sqrt  48929  fmtno4prmfac  48930  fmtno4prmfac193  48931  fmtno5nprm  48941  139prmALT  48954  mod42tp1mod8  48960  ppivalnn4  48985  2exp340mod341  49104  341fppr2  49105  wtgoldbnnsum4prm  49173  bgoldbachlt  49184  tgblthelfgott  49186  bru4  49752  veronesevrowd  51407  veroquadgsumlem  51411