Theorem 4nn 12320

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12301	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 12316	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 12241	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2865	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408  1c1 11097   + caddc 11099  ℕcn 12229  3c3 12292  4c4 12293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-1cn 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301

This theorem is referenced by:  5nn  12323  4pos  12347  4ne0  12348  4nn0  12519  4z  12624  fldiv4p1lem1div2  13864  fldiv4lem1div2  13866  iexpcyc  14239  fsumcube  16110  ef01bndlem  16236  flodddiv4  16469  6lcm4e12  16670  2expltfac  17148  8nprm  17167  37prm  17177  43prm  17178  83prm  17179  139prm  17180  631prm  17183  prmo4  17184  1259prm  17192  2503lem2  17194  starvndx  17351  starvid  17352  srngstr  17358  homndx  17460  homid  17461  slotsdifplendx2  17465  slotsdifocndx  17466  prdsvalstr  17501  catstr  18013  lt6abl  19961  pcoass  25148  minveclem3  25553  iblitg  25892  dveflem  26103  tan4thpiOLD  26642  atan1  27055  log2tlbnd  27072  log2ub  27076  bclbnd  27406  bpos1  27409  bposlem6  27415  bposlem7  27416  bposlem8  27417  bposlem9  27418  gausslemma2dlem4  27495  m1lgs  27514  2lgslem1a  27517  2lgslem3a  27522  2lgslem3b  27523  2lgslem3c  27524  2lgslem3d  27525  2sqreultlem  27573  2sqreunnltlem  27576  chebbnd1lem1  27595  chebbnd1lem2  27596  chebbnd1lem3  27597  pntibndlem1  27715  pntibndlem2  27717  pntibndlem3  27718  pntlema  27722  pntlemb  27723  pntlemg  27724  pntlemf  27731  upgr4cycl4dv4e  30473  fib5  34736  hgt750lem2  34980  hgt750leme  34986  iccioo01  37856  420gcd8e4  42658  420lcm8e840  42663  lcm4un  42668  lcmineqlem23  42703  lcmineqlem  42704  3lexlogpow5ineq2  42707  aks4d1p1p5  42727  rmydioph  43626  rmxdioph  43628  expdiophlem2  43634  inductionexd  44766  amgm4d  44811  257prm  48195  fmtno4sqrt  48205  fmtno4prmfac  48206  fmtno4prmfac193  48207  fmtno5nprm  48217  139prmALT  48230  mod42tp1mod8  48236  ppivalnn4  48261  2exp340mod341  48380  341fppr2  48381  wtgoldbnnsum4prm  48449  bgoldbachlt  48460  tgblthelfgott  48462