Theorem 4nn 12255

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12237	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 12251	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 12177	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2835	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  1c1 11030   + caddc 11032  ℕcn 12165  3c3 12228  4c4 12229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-1cn 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237

This theorem is referenced by:  5nn  12258  4ne0  12280  4nn0  12447  4z  12552  fldiv4p1lem1div2  13785  fldiv4lem1div2  13787  iexpcyc  14160  fsumcube  16016  ef01bndlem  16142  flodddiv4  16375  6lcm4e12  16576  2expltfac  17054  8nprm  17073  37prm  17082  43prm  17083  83prm  17084  139prm  17085  631prm  17088  prmo4  17089  1259prm  17097  2503lem2  17099  starvndx  17256  starvid  17257  srngstr  17263  homndx  17365  homid  17366  slotsdifplendx2  17370  slotsdifocndx  17371  prdsvalstr  17406  catstr  17918  lt6abl  19861  pcoass  25009  minveclem3  25414  iblitg  25753  dveflem  25964  tan4thpiOLD  26497  atan1  26910  log2tlbnd  26927  log2ub  26931  bclbnd  27261  bpos1  27264  bposlem6  27270  bposlem7  27271  bposlem8  27272  bposlem9  27273  gausslemma2dlem4  27350  m1lgs  27369  2lgslem1a  27372  2lgslem3a  27377  2lgslem3b  27378  2lgslem3c  27379  2lgslem3d  27380  2sqreultlem  27428  2sqreunnltlem  27431  chebbnd1lem1  27450  chebbnd1lem2  27451  chebbnd1lem3  27452  pntibndlem1  27570  pntibndlem2  27572  pntibndlem3  27573  pntlema  27577  pntlemb  27578  pntlemg  27579  pntlemf  27586  upgr4cycl4dv4e  30273  fib5  34589  hgt750lem2  34836  hgt750leme  34842  iccioo01  37689  420gcd8e4  42491  420lcm8e840  42496  lcm4un  42501  lcmineqlem23  42536  lcmineqlem  42537  3lexlogpow5ineq2  42540  aks4d1p1p5  42560  rmydioph  43459  rmxdioph  43461  expdiophlem2  43467  inductionexd  44599  amgm4d  44644  257prm  48039  fmtno4sqrt  48049  fmtno4prmfac  48050  fmtno4prmfac193  48051  fmtno5nprm  48061  139prmALT  48074  mod42tp1mod8  48080  ppivalnn4  48105  2exp340mod341  48224  341fppr2  48225  wtgoldbnnsum4prm  48293  bgoldbachlt  48304  tgblthelfgott  48306