Theorem 4nn 11568

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 11550	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 11564	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 11498	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2879	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2081  (class class class)co 7016  1c1 10384   + caddc 10386  ℕcn 11486  3c3 11541  4c4 11542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-1cn 10441

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-ov 7019  df-om 7437  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550

This theorem is referenced by:  5nn  11571  4nn0  11764  4z  11865  fldiv4p1lem1div2  13055  fldiv4lem1div2  13057  iexpcyc  13419  fsumcube  15247  ef01bndlem  15370  flodddiv4  15597  6lcm4e12  15789  2expltfac  16255  8nprm  16274  37prm  16283  43prm  16284  83prm  16285  139prm  16286  631prm  16289  prmo4  16290  1259prm  16298  2503lem2  16300  starvndx  16452  starvid  16453  ressstarv  16455  srngstr  16456  homndx  16516  homid  16517  resshom  16520  prdsvalstr  16555  oppchomfval  16813  oppcbas  16817  rescco  16931  catstr  17056  lt6abl  18736  pcoass  23311  minveclem3  23715  iblitg  24052  dveflem  24259  tan4thpi  24783  atan1  25187  log2tlbnd  25205  log2ub  25209  bclbnd  25538  bpos1  25541  bposlem6  25547  bposlem7  25548  bposlem8  25549  bposlem9  25550  gausslemma2dlem4  25627  m1lgs  25646  2lgslem1a  25649  2lgslem3a  25654  2lgslem3b  25655  2lgslem3c  25656  2lgslem3d  25657  2sqreultlem  25705  2sqreunnltlem  25708  chebbnd1lem1  25727  chebbnd1lem2  25728  chebbnd1lem3  25729  pntibndlem1  25847  pntibndlem2  25849  pntibndlem3  25850  pntlema  25854  pntlemb  25855  pntlemg  25856  pntlemf  25863  upgr4cycl4dv4e  27651  fib5  31280  hgt750lem2  31540  hgt750leme  31546  rmydioph  39115  rmxdioph  39117  expdiophlem2  39123  inductionexd  40009  amgm4d  40058  257prm  43225  fmtno4sqrt  43235  fmtno4prmfac  43236  fmtno4prmfac193  43237  fmtno5nprm  43247  139prmALT  43261  mod42tp1mod8  43269  2exp340mod341  43400  341fppr2  43401  wtgoldbnnsum4prm  43469  bgoldbachlt  43480  tgblthelfgott  43482