Theorem 4nn 12376

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12358	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 12372	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 12305	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2840	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  1c1 11185   + caddc 11187  ℕcn 12293  3c3 12349  4c4 12350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-1cn 11242

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358

This theorem is referenced by:  5nn  12379  4nn0  12572  4z  12677  fldiv4p1lem1div2  13886  fldiv4lem1div2  13888  iexpcyc  14256  fsumcube  16108  ef01bndlem  16232  flodddiv4  16461  6lcm4e12  16663  2expltfac  17140  8nprm  17159  37prm  17168  43prm  17169  83prm  17170  139prm  17171  631prm  17174  prmo4  17175  1259prm  17183  2503lem2  17185  starvndx  17361  starvid  17362  srngstr  17368  homndx  17470  homid  17471  slotsdifplendx2  17476  slotsdifocndx  17477  prdsvalstr  17512  oppchomfvalOLD  17773  oppcbasOLD  17778  resccoOLD  17895  catstr  18026  lt6abl  19937  pcoass  25076  minveclem3  25482  iblitg  25823  dveflem  26037  tan4thpiOLD  26575  atan1  26989  log2tlbnd  27006  log2ub  27010  bclbnd  27342  bpos1  27345  bposlem6  27351  bposlem7  27352  bposlem8  27353  bposlem9  27354  gausslemma2dlem4  27431  m1lgs  27450  2lgslem1a  27453  2lgslem3a  27458  2lgslem3b  27459  2lgslem3c  27460  2lgslem3d  27461  2sqreultlem  27509  2sqreunnltlem  27512  chebbnd1lem1  27531  chebbnd1lem2  27532  chebbnd1lem3  27533  pntibndlem1  27651  pntibndlem2  27653  pntibndlem3  27654  pntlema  27658  pntlemb  27659  pntlemg  27660  pntlemf  27667  upgr4cycl4dv4e  30217  fib5  34370  hgt750lem2  34629  hgt750leme  34635  iccioo01  37293  420gcd8e4  41963  420lcm8e840  41968  lcm4un  41973  lcmineqlem23  42008  lcmineqlem  42009  3lexlogpow5ineq2  42012  aks4d1p1p5  42032  rmydioph  42971  rmxdioph  42973  expdiophlem2  42979  inductionexd  44117  amgm4d  44162  257prm  47435  fmtno4sqrt  47445  fmtno4prmfac  47446  fmtno4prmfac193  47447  fmtno5nprm  47457  139prmALT  47470  mod42tp1mod8  47476  2exp340mod341  47607  341fppr2  47608  wtgoldbnnsum4prm  47676  bgoldbachlt  47687  tgblthelfgott  47689  prstclevalOLD  48736  prstcocvalOLD  48739