Theorem 4nn 12325

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12306	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 12321	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 12246	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2859	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  1c1 11102   + caddc 11104  ℕcn 12234  3c3 12297  4c4 12298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-1cn 11159

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306

This theorem is referenced by:  5nn  12328  4pos  12352  4ne0  12353  4nn0  12524  4z  12629  fldiv4p1lem1div2  13870  fldiv4lem1div2  13872  iexpcyc  14245  fsumcube  16115  ef01bndlem  16241  flodddiv4  16474  6lcm4e12  16675  2expltfac  17153  8nprm  17172  37prm  17182  43prm  17183  83prm  17184  139prm  17185  631prm  17188  prmo4  17189  1259prm  17197  2503lem2  17199  starvndx  17356  starvid  17357  srngstr  17363  homndx  17465  homid  17466  slotsdifplendx2  17470  slotsdifocndx  17471  prdsvalstr  17506  catstr  18018  lt6abl  19966  pcoass  25164  minveclem3  25569  iblitg  25908  dveflem  26119  tan4thpiOLD  26661  atan1  27074  log2tlbnd  27091  log2ub  27095  bclbnd  27425  bpos1  27428  bposlem6  27434  bposlem7  27435  bposlem8  27436  bposlem9  27437  gausslemma2dlem4  27514  m1lgs  27533  2lgslem1a  27536  2lgslem3a  27541  2lgslem3b  27542  2lgslem3c  27543  2lgslem3d  27544  2sqreultlem  27592  2sqreunnltlem  27595  chebbnd1lem1  27614  chebbnd1lem2  27615  chebbnd1lem3  27616  pntibndlem1  27734  pntibndlem2  27736  pntibndlem3  27737  pntlema  27741  pntlemb  27742  pntlemg  27743  pntlemf  27750  upgr4cycl4dv4e  30517  fib5  34776  hgt750lem2  35020  hgt750leme  35026  iccioo01  37954  420gcd8e4  42754  420lcm8e840  42759  lcm4un  42764  lcmineqlem23  42799  lcmineqlem  42800  3lexlogpow5ineq2  42803  aks4d1p1p5  42823  rmydioph  43724  rmxdioph  43726  expdiophlem2  43732  inductionexd  44864  amgm4d  44909  257prm  48296  fmtno4sqrt  48306  fmtno4prmfac  48307  fmtno4prmfac193  48308  fmtno5nprm  48318  139prmALT  48331  mod42tp1mod8  48337  ppivalnn4  48362  2exp340mod341  48481  341fppr2  48482  wtgoldbnnsum4prm  48550  bgoldbachlt  48561  tgblthelfgott  48563