Theorem 4nn 12056

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12038	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 12052	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 11985	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2835	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  1c1 10872   + caddc 10874  ℕcn 11973  3c3 12029  4c4 12030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-1cn 10929

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038

This theorem is referenced by:  5nn  12059  4nn0  12252  4z  12354  fldiv4p1lem1div2  13555  fldiv4lem1div2  13557  iexpcyc  13923  fsumcube  15770  ef01bndlem  15893  flodddiv4  16122  6lcm4e12  16321  2expltfac  16794  8nprm  16813  37prm  16822  43prm  16823  83prm  16824  139prm  16825  631prm  16828  prmo4  16829  1259prm  16837  2503lem2  16839  starvndx  17012  starvid  17013  srngstr  17019  homndx  17121  homid  17122  slotsdifplendx2  17127  slotsdifocndx  17128  prdsvalstr  17163  oppchomfvalOLD  17424  oppcbasOLD  17429  resccoOLD  17546  catstr  17674  lt6abl  19496  pcoass  24187  minveclem3  24593  iblitg  24933  dveflem  25143  tan4thpi  25671  atan1  26078  log2tlbnd  26095  log2ub  26099  bclbnd  26428  bpos1  26431  bposlem6  26437  bposlem7  26438  bposlem8  26439  bposlem9  26440  gausslemma2dlem4  26517  m1lgs  26536  2lgslem1a  26539  2lgslem3a  26544  2lgslem3b  26545  2lgslem3c  26546  2lgslem3d  26547  2sqreultlem  26595  2sqreunnltlem  26598  chebbnd1lem1  26617  chebbnd1lem2  26618  chebbnd1lem3  26619  pntibndlem1  26737  pntibndlem2  26739  pntibndlem3  26740  pntlema  26744  pntlemb  26745  pntlemg  26746  pntlemf  26753  upgr4cycl4dv4e  28549  fib5  32372  hgt750lem2  32632  hgt750leme  32638  iccioo01  35498  420gcd8e4  40014  420lcm8e840  40019  lcm4un  40024  lcmineqlem23  40059  lcmineqlem  40060  3lexlogpow5ineq2  40063  aks4d1p1p5  40083  rmydioph  40836  rmxdioph  40838  expdiophlem2  40844  inductionexd  41765  amgm4d  41811  257prm  45013  fmtno4sqrt  45023  fmtno4prmfac  45024  fmtno4prmfac193  45025  fmtno5nprm  45035  139prmALT  45048  mod42tp1mod8  45054  2exp340mod341  45185  341fppr2  45186  wtgoldbnnsum4prm  45254  bgoldbachlt  45265  tgblthelfgott  45267  prstclevalOLD  46350  prstcocvalOLD  46353