Theorem 4nn 12346

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12328	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 12342	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 12275	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2834	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  1c1 11153   + caddc 11155  ℕcn 12263  3c3 12319  4c4 12320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-1cn 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328

This theorem is referenced by:  5nn  12349  4nn0  12542  4z  12648  fldiv4p1lem1div2  13871  fldiv4lem1div2  13873  iexpcyc  14242  fsumcube  16092  ef01bndlem  16216  flodddiv4  16448  6lcm4e12  16649  2expltfac  17126  8nprm  17145  37prm  17154  43prm  17155  83prm  17156  139prm  17157  631prm  17160  prmo4  17161  1259prm  17169  2503lem2  17171  starvndx  17347  starvid  17348  srngstr  17354  homndx  17456  homid  17457  slotsdifplendx2  17462  slotsdifocndx  17463  prdsvalstr  17498  oppchomfvalOLD  17759  oppcbasOLD  17764  resccoOLD  17881  catstr  18012  lt6abl  19927  pcoass  25070  minveclem3  25476  iblitg  25817  dveflem  26031  tan4thpiOLD  26571  atan1  26985  log2tlbnd  27002  log2ub  27006  bclbnd  27338  bpos1  27341  bposlem6  27347  bposlem7  27348  bposlem8  27349  bposlem9  27350  gausslemma2dlem4  27427  m1lgs  27446  2lgslem1a  27449  2lgslem3a  27454  2lgslem3b  27455  2lgslem3c  27456  2lgslem3d  27457  2sqreultlem  27505  2sqreunnltlem  27508  chebbnd1lem1  27527  chebbnd1lem2  27528  chebbnd1lem3  27529  pntibndlem1  27647  pntibndlem2  27649  pntibndlem3  27650  pntlema  27654  pntlemb  27655  pntlemg  27656  pntlemf  27663  upgr4cycl4dv4e  30213  fib5  34386  hgt750lem2  34645  hgt750leme  34651  iccioo01  37309  420gcd8e4  41987  420lcm8e840  41992  lcm4un  41997  lcmineqlem23  42032  lcmineqlem  42033  3lexlogpow5ineq2  42036  aks4d1p1p5  42056  rmydioph  43002  rmxdioph  43004  expdiophlem2  43010  inductionexd  44144  amgm4d  44189  257prm  47485  fmtno4sqrt  47495  fmtno4prmfac  47496  fmtno4prmfac193  47497  fmtno5nprm  47507  139prmALT  47520  mod42tp1mod8  47526  2exp340mod341  47657  341fppr2  47658  wtgoldbnnsum4prm  47726  bgoldbachlt  47737  tgblthelfgott  47739  prstclevalOLD  48869  prstcocvalOLD  48872