Theorem 4nn 12219

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12201	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 12215	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 12148	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2829	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7355  1c1 11018   + caddc 11020  ℕcn 12136  3c3 12192  4c4 12193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-1cn 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201

This theorem is referenced by:  5nn  12222  4ne0  12244  4nn0  12411  4z  12516  fldiv4p1lem1div2  13746  fldiv4lem1div2  13748  iexpcyc  14121  fsumcube  15974  ef01bndlem  16100  flodddiv4  16333  6lcm4e12  16534  2expltfac  17011  8nprm  17030  37prm  17039  43prm  17040  83prm  17041  139prm  17042  631prm  17045  prmo4  17046  1259prm  17054  2503lem2  17056  starvndx  17213  starvid  17214  srngstr  17220  homndx  17322  homid  17323  slotsdifplendx2  17327  slotsdifocndx  17328  prdsvalstr  17363  catstr  17875  lt6abl  19815  pcoass  24971  minveclem3  25376  iblitg  25716  dveflem  25930  tan4thpiOLD  26471  atan1  26885  log2tlbnd  26902  log2ub  26906  bclbnd  27238  bpos1  27241  bposlem6  27247  bposlem7  27248  bposlem8  27249  bposlem9  27250  gausslemma2dlem4  27327  m1lgs  27346  2lgslem1a  27349  2lgslem3a  27354  2lgslem3b  27355  2lgslem3c  27356  2lgslem3d  27357  2sqreultlem  27405  2sqreunnltlem  27408  chebbnd1lem1  27427  chebbnd1lem2  27428  chebbnd1lem3  27429  pntibndlem1  27547  pntibndlem2  27549  pntibndlem3  27550  pntlema  27554  pntlemb  27555  pntlemg  27556  pntlemf  27563  upgr4cycl4dv4e  30186  fib5  34490  hgt750lem2  34737  hgt750leme  34743  iccioo01  37444  420gcd8e4  42172  420lcm8e840  42177  lcm4un  42182  lcmineqlem23  42217  lcmineqlem  42218  3lexlogpow5ineq2  42221  aks4d1p1p5  42241  rmydioph  43171  rmxdioph  43173  expdiophlem2  43179  inductionexd  44312  amgm4d  44357  257prm  47723  fmtno4sqrt  47733  fmtno4prmfac  47734  fmtno4prmfac193  47735  fmtno5nprm  47745  139prmALT  47758  mod42tp1mod8  47764  2exp340mod341  47895  341fppr2  47896  wtgoldbnnsum4prm  47964  bgoldbachlt  47975  tgblthelfgott  47977