Theorem 4nn 12276

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12258	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 12272	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 12205	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2825	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  1c1 11076   + caddc 11078  ℕcn 12193  3c3 12249  4c4 12250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-1cn 11133

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258

This theorem is referenced by:  5nn  12279  4ne0  12301  4nn0  12468  4z  12574  fldiv4p1lem1div2  13804  fldiv4lem1div2  13806  iexpcyc  14179  fsumcube  16033  ef01bndlem  16159  flodddiv4  16392  6lcm4e12  16593  2expltfac  17070  8nprm  17089  37prm  17098  43prm  17099  83prm  17100  139prm  17101  631prm  17104  prmo4  17105  1259prm  17113  2503lem2  17115  starvndx  17272  starvid  17273  srngstr  17279  homndx  17381  homid  17382  slotsdifplendx2  17386  slotsdifocndx  17387  prdsvalstr  17422  catstr  17929  lt6abl  19832  pcoass  24931  minveclem3  25336  iblitg  25676  dveflem  25890  tan4thpiOLD  26431  atan1  26845  log2tlbnd  26862  log2ub  26866  bclbnd  27198  bpos1  27201  bposlem6  27207  bposlem7  27208  bposlem8  27209  bposlem9  27210  gausslemma2dlem4  27287  m1lgs  27306  2lgslem1a  27309  2lgslem3a  27314  2lgslem3b  27315  2lgslem3c  27316  2lgslem3d  27317  2sqreultlem  27365  2sqreunnltlem  27368  chebbnd1lem1  27387  chebbnd1lem2  27388  chebbnd1lem3  27389  pntibndlem1  27507  pntibndlem2  27509  pntibndlem3  27510  pntlema  27514  pntlemb  27515  pntlemg  27516  pntlemf  27523  upgr4cycl4dv4e  30121  fib5  34403  hgt750lem2  34650  hgt750leme  34656  iccioo01  37322  420gcd8e4  42001  420lcm8e840  42006  lcm4un  42011  lcmineqlem23  42046  lcmineqlem  42047  3lexlogpow5ineq2  42050  aks4d1p1p5  42070  rmydioph  43010  rmxdioph  43012  expdiophlem2  43018  inductionexd  44151  amgm4d  44196  257prm  47566  fmtno4sqrt  47576  fmtno4prmfac  47577  fmtno4prmfac193  47578  fmtno5nprm  47588  139prmALT  47601  mod42tp1mod8  47607  2exp340mod341  47738  341fppr2  47739  wtgoldbnnsum4prm  47807  bgoldbachlt  47818  tgblthelfgott  47820