Theorem 4nn 12240

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12222	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 12236	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 12169	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2833	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  1c1 11039   + caddc 11041  ℕcn 12157  3c3 12213  4c4 12214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-1cn 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222

This theorem is referenced by:  5nn  12243  4ne0  12265  4nn0  12432  4z  12537  fldiv4p1lem1div2  13767  fldiv4lem1div2  13769  iexpcyc  14142  fsumcube  15995  ef01bndlem  16121  flodddiv4  16354  6lcm4e12  16555  2expltfac  17032  8nprm  17051  37prm  17060  43prm  17061  83prm  17062  139prm  17063  631prm  17066  prmo4  17067  1259prm  17075  2503lem2  17077  starvndx  17234  starvid  17235  srngstr  17241  homndx  17343  homid  17344  slotsdifplendx2  17348  slotsdifocndx  17349  prdsvalstr  17384  catstr  17896  lt6abl  19836  pcoass  24992  minveclem3  25397  iblitg  25737  dveflem  25951  tan4thpiOLD  26492  atan1  26906  log2tlbnd  26923  log2ub  26927  bclbnd  27259  bpos1  27262  bposlem6  27268  bposlem7  27269  bposlem8  27270  bposlem9  27271  gausslemma2dlem4  27348  m1lgs  27367  2lgslem1a  27370  2lgslem3a  27375  2lgslem3b  27376  2lgslem3c  27377  2lgslem3d  27378  2sqreultlem  27426  2sqreunnltlem  27429  chebbnd1lem1  27448  chebbnd1lem2  27449  chebbnd1lem3  27450  pntibndlem1  27568  pntibndlem2  27570  pntibndlem3  27571  pntlema  27575  pntlemb  27576  pntlemg  27577  pntlemf  27584  upgr4cycl4dv4e  30272  fib5  34583  hgt750lem2  34830  hgt750leme  34836  iccioo01  37582  420gcd8e4  42376  420lcm8e840  42381  lcm4un  42386  lcmineqlem23  42421  lcmineqlem  42422  3lexlogpow5ineq2  42425  aks4d1p1p5  42445  rmydioph  43371  rmxdioph  43373  expdiophlem2  43379  inductionexd  44511  amgm4d  44556  257prm  47921  fmtno4sqrt  47931  fmtno4prmfac  47932  fmtno4prmfac193  47933  fmtno5nprm  47943  139prmALT  47956  mod42tp1mod8  47962  2exp340mod341  48093  341fppr2  48094  wtgoldbnnsum4prm  48162  bgoldbachlt  48173  tgblthelfgott  48175