Theorem 4nn 12230

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12212	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 12226	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 12159	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2824	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  1c1 11029   + caddc 11031  ℕcn 12147  3c3 12203  4c4 12204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-1cn 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212

This theorem is referenced by:  5nn  12233  4ne0  12255  4nn0  12422  4z  12528  fldiv4p1lem1div2  13758  fldiv4lem1div2  13760  iexpcyc  14133  fsumcube  15986  ef01bndlem  16112  flodddiv4  16345  6lcm4e12  16546  2expltfac  17023  8nprm  17042  37prm  17051  43prm  17052  83prm  17053  139prm  17054  631prm  17057  prmo4  17058  1259prm  17066  2503lem2  17068  starvndx  17225  starvid  17226  srngstr  17232  homndx  17334  homid  17335  slotsdifplendx2  17339  slotsdifocndx  17340  prdsvalstr  17375  catstr  17886  lt6abl  19793  pcoass  24941  minveclem3  25346  iblitg  25686  dveflem  25900  tan4thpiOLD  26441  atan1  26855  log2tlbnd  26872  log2ub  26876  bclbnd  27208  bpos1  27211  bposlem6  27217  bposlem7  27218  bposlem8  27219  bposlem9  27220  gausslemma2dlem4  27297  m1lgs  27316  2lgslem1a  27319  2lgslem3a  27324  2lgslem3b  27325  2lgslem3c  27326  2lgslem3d  27327  2sqreultlem  27375  2sqreunnltlem  27378  chebbnd1lem1  27397  chebbnd1lem2  27398  chebbnd1lem3  27399  pntibndlem1  27517  pntibndlem2  27519  pntibndlem3  27520  pntlema  27524  pntlemb  27525  pntlemg  27526  pntlemf  27533  upgr4cycl4dv4e  30148  fib5  34392  hgt750lem2  34639  hgt750leme  34645  iccioo01  37320  420gcd8e4  41999  420lcm8e840  42004  lcm4un  42009  lcmineqlem23  42044  lcmineqlem  42045  3lexlogpow5ineq2  42048  aks4d1p1p5  42068  rmydioph  43007  rmxdioph  43009  expdiophlem2  43015  inductionexd  44148  amgm4d  44193  257prm  47565  fmtno4sqrt  47575  fmtno4prmfac  47576  fmtno4prmfac193  47577  fmtno5nprm  47587  139prmALT  47600  mod42tp1mod8  47606  2exp340mod341  47737  341fppr2  47738  wtgoldbnnsum4prm  47806  bgoldbachlt  47817  tgblthelfgott  47819