Theorem 4nn 12419

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12400	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 12415	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 12340	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2857	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  1c1 11194   + caddc 11196  ℕcn 12328  3c3 12391  4c4 12392

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-1cn 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400

This theorem is used by:  5nn  12422  4pos  12446  4ne0  12447  4nn0  12618  4z  12723  fldiv4p1lem1div2  13968  fldiv4lem1div2  13970  iexpcyc  14344  fsumcube  16219  ef01bndlem  16345  flodddiv4  16578  6lcm4e12  16784  2expltfac  17263  8nprm  17282  37prm  17292  43prm  17293  83prm  17294  139prm  17295  631prm  17298  prmo4  17299  1259prm  17307  2503lem2  17309  starvndx  17466  starvid  17467  srngstr  17473  homndx  17575  homid  17576  slotsdifplendx2  17580  slotsdifocndx  17581  prdsvalstr  17616  catstr  18128  lt6abl  20102  pcoass  25338  minveclem3  25743  iblitg  26082  dveflem  26292  atan1  27249  log2tlbnd  27266  log2ub  27270  bclbnd  27600  bpos1  27603  bposlem6  27609  bposlem7  27610  bposlem8  27611  bposlem9  27612  gausslemma2dlem4  27689  m1lgs  27708  2lgslem1a  27711  2lgslem3a  27716  2lgslem3b  27717  2lgslem3c  27718  2lgslem3d  27719  2sqreultlem  27767  2sqreunnltlem  27770  chebbnd1lem1  27789  chebbnd1lem2  27790  chebbnd1lem3  27791  pntibndlem1  27909  pntibndlem2  27911  pntibndlem3  27912  pntlema  27916  pntlemb  27917  pntlemg  27918  pntlemf  27925  fltoprm  27988  upgr4cycl4dv4e  30779  fib5  35030  hgt750lem2  35274  hgt750leme  35280  iccioo01  38230  420gcd8e4  43036  420lcm8e840  43041  lcm4un  43046  lcmineqlem23  43081  lcmineqlem  43082  3lexlogpow5ineq2  43085  aks4d1p1p5  43105  rmydioph  44000  rmxdioph  44002  expdiophlem2  44008  inductionexd  45140  amgm4d  45185  257prm  48615  fmtno4sqrt  48625  fmtno4prmfac  48626  fmtno4prmfac193  48627  fmtno5nprm  48637  139prmALT  48650  mod42tp1mod8  48656  ppivalnn4  48681  2exp340mod341  48800  341fppr2  48801  wtgoldbnnsum4prm  48869  bgoldbachlt  48880  tgblthelfgott  48882  veronesevrowd  50948  veroquadgsumlem  50952