Theorem 4nn 12335

Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
4nn	⊢ 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12316	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
2		3nn 12331	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		peano2nn 12256	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (3 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2861	1 ⊢ 4 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  1c1 11112   + caddc 11114  ℕcn 12244  3c3 12307  4c4 12308

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-1cn 11169

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316

This theorem is used by:  5nn  12338  4pos  12362  4ne0  12363  4nn0  12534  4z  12639  fldiv4p1lem1div2  13882  fldiv4lem1div2  13884  iexpcyc  14257  fsumcube  16132  ef01bndlem  16258  flodddiv4  16491  6lcm4e12  16692  2expltfac  17170  8nprm  17189  37prm  17199  43prm  17200  83prm  17201  139prm  17202  631prm  17205  prmo4  17206  1259prm  17214  2503lem2  17216  starvndx  17373  starvid  17374  srngstr  17380  homndx  17482  homid  17483  slotsdifplendx2  17487  slotsdifocndx  17488  prdsvalstr  17523  catstr  18035  lt6abl  19989  pcoass  25214  minveclem3  25619  iblitg  25958  dveflem  26169  tan4thpiOLD  26711  atan1  27124  log2tlbnd  27141  log2ub  27145  bclbnd  27475  bpos1  27478  bposlem6  27484  bposlem7  27485  bposlem8  27486  bposlem9  27487  gausslemma2dlem4  27564  m1lgs  27583  2lgslem1a  27586  2lgslem3a  27591  2lgslem3b  27592  2lgslem3c  27593  2lgslem3d  27594  2sqreultlem  27642  2sqreunnltlem  27645  chebbnd1lem1  27664  chebbnd1lem2  27665  chebbnd1lem3  27666  pntibndlem1  27784  pntibndlem2  27786  pntibndlem3  27787  pntlema  27791  pntlemb  27792  pntlemg  27793  pntlemf  27800  upgr4cycl4dv4e  30583  fib5  34836  hgt750lem2  35080  hgt750leme  35086  iccioo01  38006  420gcd8e4  42806  420lcm8e840  42811  lcm4un  42816  lcmineqlem23  42851  lcmineqlem  42852  3lexlogpow5ineq2  42855  aks4d1p1p5  42875  rmydioph  43774  rmxdioph  43776  expdiophlem2  43782  inductionexd  44914  amgm4d  44959  257prm  48346  fmtno4sqrt  48356  fmtno4prmfac  48357  fmtno4prmfac193  48358  fmtno5nprm  48368  139prmALT  48381  mod42tp1mod8  48387  ppivalnn4  48412  2exp340mod341  48531  341fppr2  48532  wtgoldbnnsum4prm  48600  bgoldbachlt  48611  tgblthelfgott  48613