MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4nn 11708
Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
4nn 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn
StepHypRef Expression
1 df-4 11690 . 2 4 = (3 + 1)
2 3nn 11704 . . 3 3 ∈ ℕ
3 peano2nn 11638 . . 3 (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
42, 3ax-mp 5 . 2 (3 + 1) ∈ ℕ
51, 4eqeltri 2906 1 4 ∈ ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2105  (class class class)co 7145  1c1 10526   + caddc 10528  cn 11626  3c3 11681  4c4 11682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-1cn 10583
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690
This theorem is referenced by:  5nn  11711  4nn0  11904  4z  12004  fldiv4p1lem1div2  13193  fldiv4lem1div2  13195  iexpcyc  13557  fsumcube  15402  ef01bndlem  15525  flodddiv4  15752  6lcm4e12  15948  2expltfac  16414  8nprm  16433  37prm  16442  43prm  16443  83prm  16444  139prm  16445  631prm  16448  prmo4  16449  1259prm  16457  2503lem2  16459  starvndx  16611  starvid  16612  ressstarv  16614  srngstr  16615  homndx  16675  homid  16676  resshom  16679  prdsvalstr  16714  oppchomfval  16972  oppcbas  16976  rescco  17090  catstr  17215  lt6abl  18944  pcoass  23555  minveclem3  23959  iblitg  24296  dveflem  24503  tan4thpi  25027  atan1  25433  log2tlbnd  25450  log2ub  25454  bclbnd  25783  bpos1  25786  bposlem6  25792  bposlem7  25793  bposlem8  25794  bposlem9  25795  gausslemma2dlem4  25872  m1lgs  25891  2lgslem1a  25894  2lgslem3a  25899  2lgslem3b  25900  2lgslem3c  25901  2lgslem3d  25902  2sqreultlem  25950  2sqreunnltlem  25953  chebbnd1lem1  25972  chebbnd1lem2  25973  chebbnd1lem3  25974  pntibndlem1  26092  pntibndlem2  26094  pntibndlem3  26095  pntlema  26099  pntlemb  26100  pntlemg  26101  pntlemf  26108  upgr4cycl4dv4e  27891  fib5  31562  hgt750lem2  31822  hgt750leme  31828  rmydioph  39489  rmxdioph  39491  expdiophlem2  39497  inductionexd  40383  amgm4d  40431  257prm  43600  fmtno4sqrt  43610  fmtno4prmfac  43611  fmtno4prmfac193  43612  fmtno5nprm  43622  139prmALT  43636  mod42tp1mod8  43644  2exp340mod341  43775  341fppr2  43776  wtgoldbnnsum4prm  43844  bgoldbachlt  43855  tgblthelfgott  43857
  Copyright terms: Public domain W3C validator