MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4nn 12169
Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
4nn 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn
StepHypRef Expression
1 df-4 12151 . 2 4 = (3 + 1)
2 3nn 12165 . . 3 3 ∈ ℕ
3 peano2nn 12098 . . 3 (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
42, 3ax-mp 5 . 2 (3 + 1) ∈ ℕ
51, 4eqeltri 2834 1 4 ∈ ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2106  (class class class)co 7349  1c1 10985   + caddc 10987  cn 12086  3c3 12142  4c4 12143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-1cn 11042
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7352  df-om 7793  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-4 12151
This theorem is referenced by:  5nn  12172  4nn0  12365  4z  12467  fldiv4p1lem1div2  13668  fldiv4lem1div2  13670  iexpcyc  14036  fsumcube  15877  ef01bndlem  16000  flodddiv4  16229  6lcm4e12  16426  2expltfac  16899  8nprm  16918  37prm  16927  43prm  16928  83prm  16929  139prm  16930  631prm  16933  prmo4  16934  1259prm  16942  2503lem2  16944  starvndx  17117  starvid  17118  srngstr  17124  homndx  17226  homid  17227  slotsdifplendx2  17232  slotsdifocndx  17233  prdsvalstr  17268  oppchomfvalOLD  17529  oppcbasOLD  17534  resccoOLD  17651  catstr  17779  lt6abl  19601  pcoass  24309  minveclem3  24715  iblitg  25055  dveflem  25265  tan4thpi  25793  atan1  26200  log2tlbnd  26217  log2ub  26221  bclbnd  26550  bpos1  26553  bposlem6  26559  bposlem7  26560  bposlem8  26561  bposlem9  26562  gausslemma2dlem4  26639  m1lgs  26658  2lgslem1a  26661  2lgslem3a  26666  2lgslem3b  26667  2lgslem3c  26668  2lgslem3d  26669  2sqreultlem  26717  2sqreunnltlem  26720  chebbnd1lem1  26739  chebbnd1lem2  26740  chebbnd1lem3  26741  pntibndlem1  26859  pntibndlem2  26861  pntibndlem3  26862  pntlema  26866  pntlemb  26867  pntlemg  26868  pntlemf  26875  upgr4cycl4dv4e  28927  fib5  32778  hgt750lem2  33038  hgt750leme  33044  iccioo01  35693  420gcd8e4  40358  420lcm8e840  40363  lcm4un  40368  lcmineqlem23  40403  lcmineqlem  40404  3lexlogpow5ineq2  40407  aks4d1p1p5  40427  rmydioph  41203  rmxdioph  41205  expdiophlem2  41211  inductionexd  42191  amgm4d  42237  257prm  45502  fmtno4sqrt  45512  fmtno4prmfac  45513  fmtno4prmfac193  45514  fmtno5nprm  45524  139prmALT  45537  mod42tp1mod8  45543  2exp340mod341  45674  341fppr2  45675  wtgoldbnnsum4prm  45743  bgoldbachlt  45754  tgblthelfgott  45756  prstclevalOLD  46838  prstcocvalOLD  46841
  Copyright terms: Public domain W3C validator