Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrconngr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrconngr 28163
 Description: A friendship graph is connected, see remark 1 in [MertziosUnger] p. 153 (after Proposition 1): "An arbitrary friendship graph has to be connected, ... ". (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 1-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
frgrconngr (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ ConnGraph)

Proof of Theorem frgrconngr
Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2759 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
212pthfrgr 28153 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝(𝑓(𝑘(SPathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
3 spthonpthon 27624 . . . . . 6 (𝑓(𝑘(SPathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
43adantr 485 . . . . 5 ((𝑓(𝑘(SPathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
542eximi 1838 . . . 4 (∃𝑓𝑝(𝑓(𝑘(SPathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
652ralimi 3091 . . 3 (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝(𝑓(𝑘(SPathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
72, 6syl 17 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
81isconngr1 28059 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
97, 8mpbird 260 1 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ ConnGraph)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2112  ∀wral 3068   ∖ cdif 3851  {csn 4515   class class class wbr 5025  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  2c2 11714  ♯chash 13725  Vtxcvtx 26873  PathsOncpthson 27587  SPathsOncspthson 27588  ConnGraphcconngr 28055   FriendGraph cfrgr 28127 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-int 4832  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-fin 8524  df-dju 9348  df-card 9386  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-n0 11920  df-z 12006  df-uz 12268  df-fz 12925  df-fzo 13068  df-hash 13726  df-word 13899  df-concat 13955  df-s1 13982  df-s2 14242  df-s3 14243  df-edg 26925  df-uhgr 26935  df-upgr 26959  df-umgr 26960  df-uspgr 27027  df-usgr 27028  df-wlks 27473  df-wlkson 27474  df-trls 27566  df-trlson 27567  df-pths 27589  df-spths 27590  df-pthson 27591  df-spthson 27592  df-conngr 28056  df-frgr 28128 This theorem is referenced by:  vdgn0frgrv2  28164
 Copyright terms: Public domain W3C validator