Theorem frgrconngr 30925

Description: A friendship graph is connected, see remark 1 in [MertziosUnger] p. 153 (after Proposition 1): "An arbitrary friendship graph has to be connected, ... ". (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 1-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
frgrconngr	⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ ConnGraph)

Proof of Theorem frgrconngr

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	2pthfrgr 30915	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝(𝑓(𝑘(SPathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
3		spthonpthon 30367	. . . . . 6 ⊢ (𝑓(𝑘(SPathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 → 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
4	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑓(𝑘(SPathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
5	4	2eximi 1869	. . . 4 ⊢ (∃𝑓∃𝑝(𝑓(𝑘(SPathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
6	5	2ralimi 3136	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝(𝑓(𝑘(SPathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
7	2, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝)
8	1	isconngr1 30821	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
9	7, 8	mpbird 260	1 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ ConnGraph)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ∖ cdif 4048  {csn 4588   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  2c2 12424  ♯chash 14501  Vtxcvtx 29604  PathsOncpthson 30327  SPathsOncspthson 30328  ConnGraphcconngr 30817   FriendGraph cfrgr 30889

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-s1 14770  df-s2 15027  df-s3 15028  df-edg 29656  df-uhgr 29666  df-upgr 29690  df-umgr 29691  df-uspgr 29761  df-usgr 29762  df-wlks 30210  df-wlkson 30211  df-trls 30305  df-trlson 30306  df-pths 30329  df-spths 30330  df-pthson 30331  df-spthson 30332  df-conngr 30818  df-frgr 30890

This theorem is used by:  vdgn0frgrv2  30926