Theorem 2lgsoddprm 27152

Description: The second supplement to the law of quadratic reciprocity for odd primes (common representation, see theorem 9.5 in [ApostolNT] p. 181): The Legendre symbol for 2 at an odd prime is minus one to the power of the square of the odd prime minus one divided by eight ((2 /_L 𝑃) = -1^(((P^2)-1)/8) ). (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprm	⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))

Proof of Theorem 2lgsoddprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4127	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		2lgs 27143	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
4		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((2 /L 𝑃) = 1 ∧ ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))) → (2 /L 𝑃) = 1)
5		eqcom 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) ↔ (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = 1)
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) ↔ (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = 1))
7		nnoddn2prm 16749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
8		nnz 12584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
9	8	anim1i 614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
11		sqoddm1div8z 16302	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((𝑃↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((𝑃↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ)
13		m1exp1 16324	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ → ((-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = 1 ↔ 2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8)))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = 1 ↔ 2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8)))
15		2lgsoddprmlem4 27151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8) ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
16	10, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8) ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
17	6, 14, 16	3bitrd 304	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
18	17	biimparc 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
19	18	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((2 /L 𝑃) = 1 ∧ ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))) → 1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
20	4, 19	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (((2 /L 𝑃) = 1 ∧ ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
21	20	exp32 420	. . 3 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))))
22		2z 12599	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
23		prmz 16617	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
24	1, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
25		lgscl1 27056	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1})
26	22, 24, 25	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1})
27		ovex 7445	. . . . . . 7 ⊢ (2 /L 𝑃) ∈ V
28	27	eltp 4693	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} ↔ ((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1))
29		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})) → (2 /L 𝑃) = -1)
30	16	notbid 317	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ 2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8) ↔ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
31	30	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}) → ¬ 2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8))
32		m1expo 16323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑃↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8)) → (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = -1)
33	12, 31, 32	syl2an2r 682	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}) → (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = -1)
34	33	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}) → -1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
35	34	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})) → -1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
36	29, 35	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
37	36	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})) → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))
38	37	exp32 420	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))))
39		eldifsn 4791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
40		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ≠ 2)
41	40	necomd 2995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 ≠ 𝑃)
42	39, 41	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ≠ 𝑃)
43		2prm 16634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℙ
44		prmrp 16654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
45	43, 1, 44	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
46	42, 45	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 gcd 𝑃) = 1)
47		lgsne0 27071	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((2 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ (2 gcd 𝑃) = 1))
48	22, 24, 47	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ (2 gcd 𝑃) = 1))
49	46, 48	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) ≠ 0)
50		eqneqall 2950	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → ((2 /L 𝑃) ≠ 0 → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))))
51	49, 50	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))))
52		pm2.24 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))
53	52	2a1d 26	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))))
54	38, 51, 53	3jaoi 1426	. . . . . 6 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1) → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))))
55	28, 54	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))))
56	26, 55	mpcom 38	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))))
57	56	com13 88	. . 3 ⊢ (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))))
58	21, 57	bija 380	. 2 ⊢ (((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}) → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))
59	3, 58	mpcom 38	1 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   ∖ cdif 3946  {csn 4629  {cpr 4631  {ctp 4633   class class class wbr 5149  (class class class)co 7412  0cc0 11113  1c1 11114   − cmin 11449  -cneg 11450   / cdiv 11876  ℕcn 12217  2c2 12272  7c7 12277  8c8 12278  ℤcz 12563   mod cmo 13839  ↑cexp 14032   ∥ cdvds 16202   gcd cgcd 16440  ℙcprime 16613   /_L clgs 27030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-prod 15855  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-phi 16704  df-pc 16775  df-lgs 27031

This theorem is referenced by: (None)