Theorem 2lgsoddprm 27653

Description: The second supplement to the law of quadratic reciprocity for odd primes (common representation, see theorem 9.5 in [ApostolNT] p. 181): The Legendre symbol for 2 at an odd prime is minus one to the power of the square of the odd prime minus one divided by eight ((2 /_L 𝑃) = -1^(((P^2)-1)/8) ). (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprm	⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))

Proof of Theorem 2lgsoddprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4078	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		2lgs 27644	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
4		simpl 488	. . . . 5 ⊢ (((2 /L 𝑃) = 1 ∧ ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))) → (2 /L 𝑃) = 1)
5		eqcom 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) ↔ (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = 1)
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) ↔ (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = 1))
7		nnoddn2prm 16904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
8		nnz 12637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
9	8	anim1i 627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
10	7, 9	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
11		sqoddm1div8z 16445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((𝑃↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((𝑃↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ)
13		m1exp1 16467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ → ((-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = 1 ↔ 2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8)))
14	12, 13	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = 1 ↔ 2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8)))
15		2lgsoddprmlem4 27652	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8) ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
16	10, 15	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8) ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
17	6, 14, 16	3bitrd 308	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
18	17	biimparc 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
19	18	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((2 /L 𝑃) = 1 ∧ ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))) → 1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
20	4, 19	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (((2 /L 𝑃) = 1 ∧ ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
21	20	exp32 426	. . 3 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))))
22		2z 12651	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
23		prmz 16766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
24	1, 23	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
25		lgscl1 27557	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1})
26	22, 24, 25	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1})
27		ovex 7447	. . . . . . 7 ⊢ (2 /L 𝑃) ∈ V
28	27	eltp 4650	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} ↔ ((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1))
29		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})) → (2 /L 𝑃) = -1)
30	16	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ 2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8) ↔ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
31	30	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}) → ¬ 2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8))
32		m1expo 16466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑃↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8)) → (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = -1)
33	12, 31, 32	syl2an2r 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}) → (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = -1)
34	33	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}) → -1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
35	34	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})) → -1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
36	29, 35	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
37	36	a1d 26	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})) → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))
38	37	exp32 426	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))))
39		eldifsn 4748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
40		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ≠ 2)
41	40	necomd 3010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 ≠ 𝑃)
42	39, 41	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ≠ 𝑃)
43		2prm 16783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℙ
44		prmrp 16804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
45	43, 1, 44	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
46	42, 45	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 gcd 𝑃) = 1)
47		lgsne0 27572	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((2 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ (2 gcd 𝑃) = 1))
48	22, 24, 47	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ (2 gcd 𝑃) = 1))
49	46, 48	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) ≠ 0)
50		eqneqall 2966	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → ((2 /L 𝑃) ≠ 0 → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))))
51	49, 50	syl5 35	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))))
52		pm2.24 125	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))
53	52	2a1d 27	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))))
54	38, 51, 53	3jaoi 1454	. . . . . 6 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1) → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))))
55	28, 54	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))))
56	26, 55	mpcom 39	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))))
57	56	com13 89	. . 3 ⊢ (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))))
58	21, 57	bija 383	. 2 ⊢ (((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}) → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))
59	3, 58	mpcom 39	1 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∖ cdif 3896  {csn 4584  {cpr 4586  {ctp 4588   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414  0cc0 11125  1c1 11126   − cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11896  ℕcn 12258  2c2 12320  7c7 12325  8c8 12326  ℤcz 12616   mod cmo 13931  ↑cexp 14126   ∥ cdvds 16343   gcd cgcd 16585  ℙcprime 16762   /_L clgs 27531

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-oadd 8460  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9413  df-inf 9414  df-oi 9483  df-dju 9907  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-xnn0 12603  df-z 12617  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13044  df-ioo 13403  df-ico 13405  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-fl 13854  df-mod 13932  df-seq 14067  df-exp 14127  df-fac 14339  df-hash 14396  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-clim 15576  df-prod 15994  df-dvds 16344  df-gcd 16586  df-prm 16763  df-phi 16858  df-pc 16930  df-lgs 27532

This theorem is used by: (None)