Theorem 2lgsoddprm 27633

Description: The second supplement to the law of quadratic reciprocity for odd primes (common representation, see theorem 9.5 in [ApostolNT] p. 181): The Legendre symbol for 2 at an odd prime is minus one to the power of the square of the odd prime minus one divided by eight ((2 /_L 𝑃) = -1^(((P^2)-1)/8) ). (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprm	⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))

Proof of Theorem 2lgsoddprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4085	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		2lgs 27624	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
4		simpl 488	. . . . 5 ⊢ (((2 /L 𝑃) = 1 ∧ ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))) → (2 /L 𝑃) = 1)
5		eqcom 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) ↔ (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = 1)
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) ↔ (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = 1))
7		nnoddn2prm 16895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
8		nnz 12629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
9	8	anim1i 627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
10	7, 9	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
11		sqoddm1div8z 16436	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((𝑃↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((𝑃↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ)
13		m1exp1 16458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ → ((-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = 1 ↔ 2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8)))
14	12, 13	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = 1 ↔ 2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8)))
15		2lgsoddprmlem4 27632	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8) ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
16	10, 15	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8) ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
17	6, 14, 16	3bitrd 308	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
18	17	biimparc 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
19	18	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((2 /L 𝑃) = 1 ∧ ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))) → 1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
20	4, 19	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (((2 /L 𝑃) = 1 ∧ ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
21	20	exp32 426	. . 3 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))))
22		2z 12643	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
23		prmz 16757	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
24	1, 23	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
25		lgscl1 27537	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1})
26	22, 24, 25	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1})
27		ovex 7452	. . . . . . 7 ⊢ (2 /L 𝑃) ∈ V
28	27	eltp 4657	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} ↔ ((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1))
29		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})) → (2 /L 𝑃) = -1)
30	16	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ 2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8) ↔ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
31	30	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}) → ¬ 2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8))
32		m1expo 16457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑃↑2) − 1) / 8) ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ (((𝑃↑2) − 1) / 8)) → (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = -1)
33	12, 31, 32	syl2an2r 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}) → (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)) = -1)
34	33	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}) → -1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
35	34	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})) → -1 = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
36	29, 35	eqtrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))
37	36	a1d 26	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})) → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))
38	37	exp32 426	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))))
39		eldifsn 4755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
40		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ≠ 2)
41	40	necomd 3015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 ≠ 𝑃)
42	39, 41	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ≠ 𝑃)
43		2prm 16774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℙ
44		prmrp 16795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
45	43, 1, 44	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
46	42, 45	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 gcd 𝑃) = 1)
47		lgsne0 27552	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((2 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ (2 gcd 𝑃) = 1))
48	22, 24, 47	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ (2 gcd 𝑃) = 1))
49	46, 48	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) ≠ 0)
50		eqneqall 2971	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → ((2 /L 𝑃) ≠ 0 → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))))
51	49, 50	syl5 35	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))))
52		pm2.24 125	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))
53	52	2a1d 27	. . . . . . 7 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))))
54	38, 51, 53	3jaoi 1454	. . . . . 6 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1) → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))))
55	28, 54	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))))
56	26, 55	mpcom 39	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))))
57	56	com13 89	. . 3 ⊢ (¬ (2 /L 𝑃) = 1 → (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))))
58	21, 57	bija 383	. 2 ⊢ (((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}) → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8))))
59	3, 58	mpcom 39	1 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃↑2) − 1) / 8)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ∖ cdif 3903  {csn 4591  {cpr 4593  {ctp 4595   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419  0cc0 11117  1c1 11118   − cmin 11458  -cneg 11459   / cdiv 11888  ℕcn 12250  2c2 12312  7c7 12317  8c8 12318  ℤcz 12608   mod cmo 13922  ↑cexp 14117   ∥ cdvds 16334   gcd cgcd 16576  ℙcprime 16753   /_L clgs 27511

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-xnn0 12595  df-z 12609  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-ioo 13394  df-ico 13396  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-prod 15983  df-dvds 16335  df-gcd 16577  df-prm 16754  df-phi 16849  df-pc 16921  df-lgs 27512

This theorem is used by: (None)