Theorem srng1 21125

Description: The conjugate of the ring identity is the identity. (This is sometimes taken as an axiom, and indeed the proof here follows because we defined *_𝑟 to be a ring homomorphism, which preserves 1; nevertheless, it is redundant, as can be seen from the proof of issrngd 21127.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
srng1.i	⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
srng1.t	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srng1	⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → ( ∗ ‘ 1 ) = 1 )

Proof of Theorem srng1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srngring 21118	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		srng1.t	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	2, 3	ringidcl 20509	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
5		srng1.i	. . . 4 ⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (*rf‘𝑅) = (*rf‘𝑅)
7	2, 5, 6	stafval 21114	. . 3 ⊢ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) → ((*rf‘𝑅)‘ 1 ) = ( ∗ ‘ 1 ))
8	1, 4, 7	3syl 19	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → ((*rf‘𝑅)‘ 1 ) = ( ∗ ‘ 1 ))
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
10	9, 6	srngrhm 21117	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → (*rf‘𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr‘𝑅)))
11	9, 3	oppr1 20595	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘(oppr‘𝑅))
12	3, 11	rhm1 20739	. . 3 ⊢ ((*rf‘𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr‘𝑅)) → ((*rf‘𝑅)‘ 1 ) = 1 )
13	10, 12	syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → ((*rf‘𝑅)‘ 1 ) = 1 )
14	8, 13	eqtr3d 2800	1 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → ( ∗ ‘ 1 ) = 1 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  Basecbs 17402  *_𝑟cstv 17445  1_rcur 20422  Ringcrg 20474  opp_rcoppr 20581   RingHom crh 20714  *_rfcstf 21109  *-Ringcsr 21110

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-tpos 8257  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-0g 17627  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-mhm 18993  df-ghm 19443  df-mgp 20376  df-ur 20423  df-ring 20476  df-oppr 20582  df-rhm 20717  df-staf 21111  df-srng 21112

This theorem is used by: (None)