Theorem srng1 20788

Description: The conjugate of the ring identity is the identity. (This is sometimes taken as an axiom, and indeed the proof here follows because we defined *_𝑟 to be a ring homomorphism, which preserves 1; nevertheless, it is redundant, as can be seen from the proof of issrngd 20790.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
srng1.i	⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
srng1.t	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srng1	⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → ( ∗ ‘ 1 ) = 1 )

Proof of Theorem srng1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srngring 20781	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		srng1.t	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	2, 3	ringidcl 20202	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
5		srng1.i	. . . 4 ⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (*rf‘𝑅) = (*rf‘𝑅)
7	2, 5, 6	stafval 20777	. . 3 ⊢ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) → ((*rf‘𝑅)‘ 1 ) = ( ∗ ‘ 1 ))
8	1, 4, 7	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → ((*rf‘𝑅)‘ 1 ) = ( ∗ ‘ 1 ))
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
10	9, 6	srngrhm 20780	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → (*rf‘𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr‘𝑅)))
11	9, 3	oppr1 20288	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘(oppr‘𝑅))
12	3, 11	rhm1 20426	. . 3 ⊢ ((*rf‘𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr‘𝑅)) → ((*rf‘𝑅)‘ 1 ) = 1 )
13	10, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → ((*rf‘𝑅)‘ 1 ) = 1 )
14	8, 13	eqtr3d 2773	1 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → ( ∗ ‘ 1 ) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17138  *_𝑟cstv 17181  1_rcur 20118  Ringcrg 20170  opp_rcoppr 20274   RingHom crh 20407  *_rfcstf 20772  *-Ringcsr 20773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-0g 17363  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-ghm 19144  df-mgp 20078  df-ur 20119  df-ring 20172  df-oppr 20275  df-rhm 20410  df-staf 20774  df-srng 20775

This theorem is referenced by: (None)