Theorem srngmul 20765

Description: The involution function in a star ring distributes over multiplication, with a change in the order of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
srngcl.i	⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
srngcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srngmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srngmul	⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑋 · 𝑌)) = (( ∗ ‘𝑌) · ( ∗ ‘𝑋)))

Proof of Theorem srngmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (*rf‘𝑅) = (*rf‘𝑅)
3	1, 2	srngrhm 20758	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → (*rf‘𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr‘𝑅)))
4		srngcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		srngmul.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
7	4, 5, 6	rhmmul 20401	. . . 4 ⊢ (((*rf‘𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = (((*rf‘𝑅)‘𝑋)(.r‘(oppr‘𝑅))((*rf‘𝑅)‘𝑌)))
8	3, 7	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = (((*rf‘𝑅)‘𝑋)(.r‘(oppr‘𝑅))((*rf‘𝑅)‘𝑌)))
9	4, 5, 1, 6	opprmul 20256	. . 3 ⊢ (((*rf‘𝑅)‘𝑋)(.r‘(oppr‘𝑅))((*rf‘𝑅)‘𝑌)) = (((*rf‘𝑅)‘𝑌) · ((*rf‘𝑅)‘𝑋))
10	8, 9	eqtrdi 2782	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = (((*rf‘𝑅)‘𝑌) · ((*rf‘𝑅)‘𝑋)))
11		srngring 20759	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → 𝑅 ∈ Ring)
12	4, 5	ringcl 20166	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
13	11, 12	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
14		srngcl.i	. . . 4 ⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
15	4, 14, 2	stafval 20755	. . 3 ⊢ ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 → ((*rf‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = ( ∗ ‘(𝑋 · 𝑌)))
16	13, 15	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = ( ∗ ‘(𝑋 · 𝑌)))
17	4, 14, 2	stafval 20755	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → ((*rf‘𝑅)‘𝑌) = ( ∗ ‘𝑌))
18	17	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘𝑌) = ( ∗ ‘𝑌))
19	4, 14, 2	stafval 20755	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((*rf‘𝑅)‘𝑋) = ( ∗ ‘𝑋))
20	19	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘𝑋) = ( ∗ ‘𝑋))
21	18, 20	oveq12d 7364	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((*rf‘𝑅)‘𝑌) · ((*rf‘𝑅)‘𝑋)) = (( ∗ ‘𝑌) · ( ∗ ‘𝑋)))
22	10, 16, 21	3eqtr3d 2774	1 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑋 · 𝑌)) = (( ∗ ‘𝑌) · ( ∗ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17117  ._rcmulr 17159  *_𝑟cstv 17160  Ringcrg 20149  opp_rcoppr 20252   RingHom crh 20385  *_rfcstf 20750  *-Ringcsr 20751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-0g 17342  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-mhm 18688  df-ghm 19123  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-rhm 20388  df-staf 20752  df-srng 20753

This theorem is referenced by:  ipassr  21581