Theorem srngmul 20854

Description: The involution function in a star ring distributes over multiplication, with a change in the order of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
srngcl.i	⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
srngcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srngmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srngmul	⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑋 · 𝑌)) = (( ∗ ‘𝑌) · ( ∗ ‘𝑋)))

Proof of Theorem srngmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (*rf‘𝑅) = (*rf‘𝑅)
3	1, 2	srngrhm 20847	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → (*rf‘𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr‘𝑅)))
4		srngcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		srngmul.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
7	4, 5, 6	rhmmul 20487	. . . 4 ⊢ (((*rf‘𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = (((*rf‘𝑅)‘𝑋)(.r‘(oppr‘𝑅))((*rf‘𝑅)‘𝑌)))
8	3, 7	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = (((*rf‘𝑅)‘𝑋)(.r‘(oppr‘𝑅))((*rf‘𝑅)‘𝑌)))
9	4, 5, 1, 6	opprmul 20338	. . 3 ⊢ (((*rf‘𝑅)‘𝑋)(.r‘(oppr‘𝑅))((*rf‘𝑅)‘𝑌)) = (((*rf‘𝑅)‘𝑌) · ((*rf‘𝑅)‘𝑋))
10	8, 9	eqtrdi 2792	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = (((*rf‘𝑅)‘𝑌) · ((*rf‘𝑅)‘𝑋)))
11		srngring 20848	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → 𝑅 ∈ Ring)
12	4, 5	ringcl 20248	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
13	11, 12	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
14		srngcl.i	. . . 4 ⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
15	4, 14, 2	stafval 20844	. . 3 ⊢ ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 → ((*rf‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = ( ∗ ‘(𝑋 · 𝑌)))
16	13, 15	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = ( ∗ ‘(𝑋 · 𝑌)))
17	4, 14, 2	stafval 20844	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → ((*rf‘𝑅)‘𝑌) = ( ∗ ‘𝑌))
18	17	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘𝑌) = ( ∗ ‘𝑌))
19	4, 14, 2	stafval 20844	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((*rf‘𝑅)‘𝑋) = ( ∗ ‘𝑋))
20	19	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘𝑋) = ( ∗ ‘𝑋))
21	18, 20	oveq12d 7450	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((*rf‘𝑅)‘𝑌) · ((*rf‘𝑅)‘𝑋)) = (( ∗ ‘𝑌) · ( ∗ ‘𝑋)))
22	10, 16, 21	3eqtr3d 2784	1 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑋 · 𝑌)) = (( ∗ ‘𝑌) · ( ∗ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  ._rcmulr 17299  *_𝑟cstv 17300  Ringcrg 20231  opp_rcoppr 20334   RingHom crh 20470  *_rfcstf 20839  *-Ringcsr 20840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-ghm 19232  df-mgp 20139  df-ur 20180  df-ring 20233  df-oppr 20335  df-rhm 20473  df-staf 20841  df-srng 20842

This theorem is referenced by:  ipassr  21665