MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srngmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srngmul 19341
Description: The involution function in a star ring distributes over multiplication, with a change in the order of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
srngcl.i = (*𝑟𝑅)
srngcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
srngmul.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
srngmul ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 · 𝑌)) = (( 𝑌) · ( 𝑋)))

Proof of Theorem srngmul
StepHypRef Expression
1 eqid 2772 . . . . 5 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
2 eqid 2772 . . . . 5 (*rf𝑅) = (*rf𝑅)
31, 2srngrhm 19334 . . . 4 (𝑅 ∈ *-Ring → (*rf𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr𝑅)))
4 srngcl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 srngmul.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
6 eqid 2772 . . . . 5 (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅))
74, 5, 6rhmmul 19192 . . . 4 (((*rf𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr𝑅)) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((*rf𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = (((*rf𝑅)‘𝑋)(.r‘(oppr𝑅))((*rf𝑅)‘𝑌)))
83, 7syl3an1 1143 . . 3 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((*rf𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = (((*rf𝑅)‘𝑋)(.r‘(oppr𝑅))((*rf𝑅)‘𝑌)))
94, 5, 1, 6opprmul 19089 . . 3 (((*rf𝑅)‘𝑋)(.r‘(oppr𝑅))((*rf𝑅)‘𝑌)) = (((*rf𝑅)‘𝑌) · ((*rf𝑅)‘𝑋))
108, 9syl6eq 2824 . 2 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((*rf𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = (((*rf𝑅)‘𝑌) · ((*rf𝑅)‘𝑋)))
11 srngring 19335 . . . 4 (𝑅 ∈ *-Ring → 𝑅 ∈ Ring)
124, 5ringcl 19024 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
1311, 12syl3an1 1143 . . 3 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
14 srngcl.i . . . 4 = (*𝑟𝑅)
154, 14, 2stafval 19331 . . 3 ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 → ((*rf𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = ( ‘(𝑋 · 𝑌)))
1613, 15syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((*rf𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = ( ‘(𝑋 · 𝑌)))
174, 14, 2stafval 19331 . . . 4 (𝑌𝐵 → ((*rf𝑅)‘𝑌) = ( 𝑌))
18173ad2ant3 1115 . . 3 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((*rf𝑅)‘𝑌) = ( 𝑌))
194, 14, 2stafval 19331 . . . 4 (𝑋𝐵 → ((*rf𝑅)‘𝑋) = ( 𝑋))
20193ad2ant2 1114 . . 3 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((*rf𝑅)‘𝑋) = ( 𝑋))
2118, 20oveq12d 6988 . 2 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((*rf𝑅)‘𝑌) · ((*rf𝑅)‘𝑋)) = (( 𝑌) · ( 𝑋)))
2210, 16, 213eqtr3d 2816 1 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 · 𝑌)) = (( 𝑌) · ( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2048  cfv 6182  (class class class)co 6970  Basecbs 16329  .rcmulr 16412  *𝑟cstv 16413  Ringcrg 19010  opprcoppr 19085   RingHom crh 19177  *rfcstf 19326  *-Ringcsr 19327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-tpos 7688  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-map 8200  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-0g 16561  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-mhm 17793  df-ghm 18117  df-mgp 18953  df-ur 18965  df-ring 19012  df-oppr 19086  df-rnghom 19180  df-staf 19328  df-srng 19329
This theorem is referenced by:  ipassr  20482
  Copyright terms: Public domain W3C validator