MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srngmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srngmul 19558
Description: The involution function in a star ring distributes over multiplication, with a change in the order of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
srngcl.i = (*𝑟𝑅)
srngcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
srngmul.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
srngmul ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 · 𝑌)) = (( 𝑌) · ( 𝑋)))

Proof of Theorem srngmul
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . . 5 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
2 eqid 2818 . . . . 5 (*rf𝑅) = (*rf𝑅)
31, 2srngrhm 19551 . . . 4 (𝑅 ∈ *-Ring → (*rf𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr𝑅)))
4 srngcl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 srngmul.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
6 eqid 2818 . . . . 5 (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅))
74, 5, 6rhmmul 19408 . . . 4 (((*rf𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr𝑅)) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((*rf𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = (((*rf𝑅)‘𝑋)(.r‘(oppr𝑅))((*rf𝑅)‘𝑌)))
83, 7syl3an1 1155 . . 3 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((*rf𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = (((*rf𝑅)‘𝑋)(.r‘(oppr𝑅))((*rf𝑅)‘𝑌)))
94, 5, 1, 6opprmul 19305 . . 3 (((*rf𝑅)‘𝑋)(.r‘(oppr𝑅))((*rf𝑅)‘𝑌)) = (((*rf𝑅)‘𝑌) · ((*rf𝑅)‘𝑋))
108, 9syl6eq 2869 . 2 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((*rf𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = (((*rf𝑅)‘𝑌) · ((*rf𝑅)‘𝑋)))
11 srngring 19552 . . . 4 (𝑅 ∈ *-Ring → 𝑅 ∈ Ring)
124, 5ringcl 19240 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
1311, 12syl3an1 1155 . . 3 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
14 srngcl.i . . . 4 = (*𝑟𝑅)
154, 14, 2stafval 19548 . . 3 ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 → ((*rf𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = ( ‘(𝑋 · 𝑌)))
1613, 15syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((*rf𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = ( ‘(𝑋 · 𝑌)))
174, 14, 2stafval 19548 . . . 4 (𝑌𝐵 → ((*rf𝑅)‘𝑌) = ( 𝑌))
18173ad2ant3 1127 . . 3 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((*rf𝑅)‘𝑌) = ( 𝑌))
194, 14, 2stafval 19548 . . . 4 (𝑋𝐵 → ((*rf𝑅)‘𝑋) = ( 𝑋))
20193ad2ant2 1126 . . 3 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((*rf𝑅)‘𝑋) = ( 𝑋))
2118, 20oveq12d 7163 . 2 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((*rf𝑅)‘𝑌) · ((*rf𝑅)‘𝑋)) = (( 𝑌) · ( 𝑋)))
2210, 16, 213eqtr3d 2861 1 ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 · 𝑌)) = (( 𝑌) · ( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  .rcmulr 16554  *𝑟cstv 16555  Ringcrg 19226  opprcoppr 19301   RingHom crh 19393  *rfcstf 19543  *-Ringcsr 19544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-ghm 18294  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-rnghom 19396  df-staf 19545  df-srng 19546
This theorem is referenced by:  ipassr  20718
  Copyright terms: Public domain W3C validator