![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > srngmul | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The involution function in a star ring distributes over multiplication, with a change in the order of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
srngcl.i | โข โ = (*๐โ๐ ) |
srngcl.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
srngmul.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
Ref | Expression |
---|---|
srngmul | โข ((๐ โ *-Ring โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ( โ โ(๐ ยท ๐)) = (( โ โ๐) ยท ( โ โ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eqid 2724 | . . . . 5 โข (opprโ๐ ) = (opprโ๐ ) | |
2 | eqid 2724 | . . . . 5 โข (*rfโ๐ ) = (*rfโ๐ ) | |
3 | 1, 2 | srngrhm 20690 | . . . 4 โข (๐ โ *-Ring โ (*rfโ๐ ) โ (๐ RingHom (opprโ๐ ))) |
4 | srngcl.b | . . . . 5 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
5 | srngmul.t | . . . . 5 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
6 | eqid 2724 | . . . . 5 โข (.rโ(opprโ๐ )) = (.rโ(opprโ๐ )) | |
7 | 4, 5, 6 | rhmmul 20384 | . . . 4 โข (((*rfโ๐ ) โ (๐ RingHom (opprโ๐ )) โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ((*rfโ๐ )โ(๐ ยท ๐)) = (((*rfโ๐ )โ๐)(.rโ(opprโ๐ ))((*rfโ๐ )โ๐))) |
8 | 3, 7 | syl3an1 1160 | . . 3 โข ((๐ โ *-Ring โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ((*rfโ๐ )โ(๐ ยท ๐)) = (((*rfโ๐ )โ๐)(.rโ(opprโ๐ ))((*rfโ๐ )โ๐))) |
9 | 4, 5, 1, 6 | opprmul 20235 | . . 3 โข (((*rfโ๐ )โ๐)(.rโ(opprโ๐ ))((*rfโ๐ )โ๐)) = (((*rfโ๐ )โ๐) ยท ((*rfโ๐ )โ๐)) |
10 | 8, 9 | eqtrdi 2780 | . 2 โข ((๐ โ *-Ring โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ((*rfโ๐ )โ(๐ ยท ๐)) = (((*rfโ๐ )โ๐) ยท ((*rfโ๐ )โ๐))) |
11 | srngring 20691 | . . . 4 โข (๐ โ *-Ring โ ๐ โ Ring) | |
12 | 4, 5 | ringcl 20151 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ๐) โ ๐ต) |
13 | 11, 12 | syl3an1 1160 | . . 3 โข ((๐ โ *-Ring โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ๐) โ ๐ต) |
14 | srngcl.i | . . . 4 โข โ = (*๐โ๐ ) | |
15 | 4, 14, 2 | stafval 20687 | . . 3 โข ((๐ ยท ๐) โ ๐ต โ ((*rfโ๐ )โ(๐ ยท ๐)) = ( โ โ(๐ ยท ๐))) |
16 | 13, 15 | syl 17 | . 2 โข ((๐ โ *-Ring โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ((*rfโ๐ )โ(๐ ยท ๐)) = ( โ โ(๐ ยท ๐))) |
17 | 4, 14, 2 | stafval 20687 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ ((*rfโ๐ )โ๐) = ( โ โ๐)) |
18 | 17 | 3ad2ant3 1132 | . . 3 โข ((๐ โ *-Ring โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ((*rfโ๐ )โ๐) = ( โ โ๐)) |
19 | 4, 14, 2 | stafval 20687 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ ((*rfโ๐ )โ๐) = ( โ โ๐)) |
20 | 19 | 3ad2ant2 1131 | . . 3 โข ((๐ โ *-Ring โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ((*rfโ๐ )โ๐) = ( โ โ๐)) |
21 | 18, 20 | oveq12d 7420 | . 2 โข ((๐ โ *-Ring โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (((*rfโ๐ )โ๐) ยท ((*rfโ๐ )โ๐)) = (( โ โ๐) ยท ( โ โ๐))) |
22 | 10, 16, 21 | 3eqtr3d 2772 | 1 โข ((๐ โ *-Ring โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ( โ โ(๐ ยท ๐)) = (( โ โ๐) ยท ( โ โ๐))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โcfv 6534 (class class class)co 7402 Basecbs 17149 .rcmulr 17203 *๐cstv 17204 Ringcrg 20134 opprcoppr 20231 RingHom crh 20367 *rfcstf 20682 *-Ringcsr 20683 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-rep 5276 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-cnex 11163 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3960 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-iun 4990 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-tr 5257 df-id 5565 df-eprel 5571 df-po 5579 df-so 5580 df-fr 5622 df-we 5624 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-pred 6291 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-riota 7358 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-om 7850 df-2nd 7970 df-tpos 8207 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-er 8700 df-map 8819 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-nn 12212 df-2 12274 df-3 12275 df-sets 17102 df-slot 17120 df-ndx 17132 df-base 17150 df-plusg 17215 df-mulr 17216 df-0g 17392 df-mgm 18569 df-sgrp 18648 df-mnd 18664 df-mhm 18709 df-ghm 19135 df-mgp 20036 df-ur 20083 df-ring 20136 df-oppr 20232 df-rhm 20370 df-staf 20684 df-srng 20685 |
This theorem is referenced by: ipassr 21528 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |