Theorem srngmul 20820

Description: The involution function in a star ring distributes over multiplication, with a change in the order of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
srngcl.i	⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
srngcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srngmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srngmul	⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑋 · 𝑌)) = (( ∗ ‘𝑌) · ( ∗ ‘𝑋)))

Proof of Theorem srngmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (*rf‘𝑅) = (*rf‘𝑅)
3	1, 2	srngrhm 20813	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → (*rf‘𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr‘𝑅)))
4		srngcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		srngmul.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
7	4, 5, 6	rhmmul 20456	. . . 4 ⊢ (((*rf‘𝑅) ∈ (𝑅 RingHom (oppr‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = (((*rf‘𝑅)‘𝑋)(.r‘(oppr‘𝑅))((*rf‘𝑅)‘𝑌)))
8	3, 7	syl3an1 1164	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = (((*rf‘𝑅)‘𝑋)(.r‘(oppr‘𝑅))((*rf‘𝑅)‘𝑌)))
9	4, 5, 1, 6	opprmul 20311	. . 3 ⊢ (((*rf‘𝑅)‘𝑋)(.r‘(oppr‘𝑅))((*rf‘𝑅)‘𝑌)) = (((*rf‘𝑅)‘𝑌) · ((*rf‘𝑅)‘𝑋))
10	8, 9	eqtrdi 2788	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = (((*rf‘𝑅)‘𝑌) · ((*rf‘𝑅)‘𝑋)))
11		srngring 20814	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → 𝑅 ∈ Ring)
12	4, 5	ringcl 20222	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
13	11, 12	syl3an1 1164	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
14		srngcl.i	. . . 4 ⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
15	4, 14, 2	stafval 20810	. . 3 ⊢ ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 → ((*rf‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = ( ∗ ‘(𝑋 · 𝑌)))
16	13, 15	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑌)) = ( ∗ ‘(𝑋 · 𝑌)))
17	4, 14, 2	stafval 20810	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → ((*rf‘𝑅)‘𝑌) = ( ∗ ‘𝑌))
18	17	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘𝑌) = ( ∗ ‘𝑌))
19	4, 14, 2	stafval 20810	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((*rf‘𝑅)‘𝑋) = ( ∗ ‘𝑋))
20	19	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((*rf‘𝑅)‘𝑋) = ( ∗ ‘𝑋))
21	18, 20	oveq12d 7378	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((*rf‘𝑅)‘𝑌) · ((*rf‘𝑅)‘𝑋)) = (( ∗ ‘𝑌) · ( ∗ ‘𝑋)))
22	10, 16, 21	3eqtr3d 2780	1 ⊢ ((𝑅 ∈ *-Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘(𝑋 · 𝑌)) = (( ∗ ‘𝑌) · ( ∗ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  *_𝑟cstv 17213  Ringcrg 20205  opp_rcoppr 20307   RingHom crh 20440  *_rfcstf 20805  *-Ringcsr 20806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-ghm 19179  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-rhm 20443  df-staf 20807  df-srng 20808

This theorem is referenced by:  ipassr  21636