![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > srngmul | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The involution function in a star ring distributes over multiplication, with a change in the order of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
srngcl.i | โข โ = (*๐โ๐ ) |
srngcl.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
srngmul.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
Ref | Expression |
---|---|
srngmul | โข ((๐ โ *-Ring โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ( โ โ(๐ ยท ๐)) = (( โ โ๐) ยท ( โ โ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eqid 2732 | . . . . 5 โข (opprโ๐ ) = (opprโ๐ ) | |
2 | eqid 2732 | . . . . 5 โข (*rfโ๐ ) = (*rfโ๐ ) | |
3 | 1, 2 | srngrhm 20458 | . . . 4 โข (๐ โ *-Ring โ (*rfโ๐ ) โ (๐ RingHom (opprโ๐ ))) |
4 | srngcl.b | . . . . 5 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
5 | srngmul.t | . . . . 5 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
6 | eqid 2732 | . . . . 5 โข (.rโ(opprโ๐ )) = (.rโ(opprโ๐ )) | |
7 | 4, 5, 6 | rhmmul 20263 | . . . 4 โข (((*rfโ๐ ) โ (๐ RingHom (opprโ๐ )) โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ((*rfโ๐ )โ(๐ ยท ๐)) = (((*rfโ๐ )โ๐)(.rโ(opprโ๐ ))((*rfโ๐ )โ๐))) |
8 | 3, 7 | syl3an1 1163 | . . 3 โข ((๐ โ *-Ring โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ((*rfโ๐ )โ(๐ ยท ๐)) = (((*rfโ๐ )โ๐)(.rโ(opprโ๐ ))((*rfโ๐ )โ๐))) |
9 | 4, 5, 1, 6 | opprmul 20152 | . . 3 โข (((*rfโ๐ )โ๐)(.rโ(opprโ๐ ))((*rfโ๐ )โ๐)) = (((*rfโ๐ )โ๐) ยท ((*rfโ๐ )โ๐)) |
10 | 8, 9 | eqtrdi 2788 | . 2 โข ((๐ โ *-Ring โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ((*rfโ๐ )โ(๐ ยท ๐)) = (((*rfโ๐ )โ๐) ยท ((*rfโ๐ )โ๐))) |
11 | srngring 20459 | . . . 4 โข (๐ โ *-Ring โ ๐ โ Ring) | |
12 | 4, 5 | ringcl 20072 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ๐) โ ๐ต) |
13 | 11, 12 | syl3an1 1163 | . . 3 โข ((๐ โ *-Ring โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ๐) โ ๐ต) |
14 | srngcl.i | . . . 4 โข โ = (*๐โ๐ ) | |
15 | 4, 14, 2 | stafval 20455 | . . 3 โข ((๐ ยท ๐) โ ๐ต โ ((*rfโ๐ )โ(๐ ยท ๐)) = ( โ โ(๐ ยท ๐))) |
16 | 13, 15 | syl 17 | . 2 โข ((๐ โ *-Ring โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ((*rfโ๐ )โ(๐ ยท ๐)) = ( โ โ(๐ ยท ๐))) |
17 | 4, 14, 2 | stafval 20455 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ ((*rfโ๐ )โ๐) = ( โ โ๐)) |
18 | 17 | 3ad2ant3 1135 | . . 3 โข ((๐ โ *-Ring โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ((*rfโ๐ )โ๐) = ( โ โ๐)) |
19 | 4, 14, 2 | stafval 20455 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ ((*rfโ๐ )โ๐) = ( โ โ๐)) |
20 | 19 | 3ad2ant2 1134 | . . 3 โข ((๐ โ *-Ring โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ((*rfโ๐ )โ๐) = ( โ โ๐)) |
21 | 18, 20 | oveq12d 7426 | . 2 โข ((๐ โ *-Ring โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (((*rfโ๐ )โ๐) ยท ((*rfโ๐ )โ๐)) = (( โ โ๐) ยท ( โ โ๐))) |
22 | 10, 16, 21 | 3eqtr3d 2780 | 1 โข ((๐ โ *-Ring โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ ( โ โ(๐ ยท ๐)) = (( โ โ๐) ยท ( โ โ๐))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1087 = wceq 1541 โ wcel 2106 โcfv 6543 (class class class)co 7408 Basecbs 17143 .rcmulr 17197 *๐cstv 17198 Ringcrg 20055 opprcoppr 20148 RingHom crh 20247 *rfcstf 20450 *-Ringcsr 20451 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7724 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7364 df-ov 7411 df-oprab 7412 df-mpo 7413 df-om 7855 df-2nd 7975 df-tpos 8210 df-frecs 8265 df-wrecs 8296 df-recs 8370 df-rdg 8409 df-er 8702 df-map 8821 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-nn 12212 df-2 12274 df-3 12275 df-sets 17096 df-slot 17114 df-ndx 17126 df-base 17144 df-plusg 17209 df-mulr 17210 df-0g 17386 df-mgm 18560 df-sgrp 18609 df-mnd 18625 df-mhm 18670 df-ghm 19089 df-mgp 19987 df-ur 20004 df-ring 20057 df-oppr 20149 df-rnghom 20250 df-staf 20452 df-srng 20453 |
This theorem is referenced by: ipassr 21198 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |