MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srngmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srngmul 20697
Description: The involution function in a star ring distributes over multiplication, with a change in the order of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
srngcl.i โˆ— = (*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)
srngcl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
srngmul.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
srngmul ((๐‘… โˆˆ *-Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( โˆ— โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = (( โˆ— โ€˜๐‘Œ) ยท ( โˆ— โ€˜๐‘‹)))

Proof of Theorem srngmul
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . . . 5 (opprโ€˜๐‘…) = (opprโ€˜๐‘…)
2 eqid 2724 . . . . 5 (*rfโ€˜๐‘…) = (*rfโ€˜๐‘…)
31, 2srngrhm 20690 . . . 4 (๐‘… โˆˆ *-Ring โ†’ (*rfโ€˜๐‘…) โˆˆ (๐‘… RingHom (opprโ€˜๐‘…)))
4 srngcl.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
5 srngmul.t . . . . 5 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
6 eqid 2724 . . . . 5 (.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…)) = (.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
74, 5, 6rhmmul 20384 . . . 4 (((*rfโ€˜๐‘…) โˆˆ (๐‘… RingHom (opprโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = (((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘‹)(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ)))
83, 7syl3an1 1160 . . 3 ((๐‘… โˆˆ *-Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = (((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘‹)(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ)))
94, 5, 1, 6opprmul 20235 . . 3 (((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘‹)(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ)) = (((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ) ยท ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘‹))
108, 9eqtrdi 2780 . 2 ((๐‘… โˆˆ *-Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = (((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ) ยท ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘‹)))
11 srngring 20691 . . . 4 (๐‘… โˆˆ *-Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
124, 5ringcl 20151 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
1311, 12syl3an1 1160 . . 3 ((๐‘… โˆˆ *-Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
14 srngcl.i . . . 4 โˆ— = (*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)
154, 14, 2stafval 20687 . . 3 ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = ( โˆ— โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
1613, 15syl 17 . 2 ((๐‘… โˆˆ *-Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = ( โˆ— โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
174, 14, 2stafval 20687 . . . 4 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ) = ( โˆ— โ€˜๐‘Œ))
18173ad2ant3 1132 . . 3 ((๐‘… โˆˆ *-Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ) = ( โˆ— โ€˜๐‘Œ))
194, 14, 2stafval 20687 . . . 4 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘‹) = ( โˆ— โ€˜๐‘‹))
20193ad2ant2 1131 . . 3 ((๐‘… โˆˆ *-Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘‹) = ( โˆ— โ€˜๐‘‹))
2118, 20oveq12d 7420 . 2 ((๐‘… โˆˆ *-Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ) ยท ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘‹)) = (( โˆ— โ€˜๐‘Œ) ยท ( โˆ— โ€˜๐‘‹)))
2210, 16, 213eqtr3d 2772 1 ((๐‘… โˆˆ *-Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( โˆ— โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = (( โˆ— โ€˜๐‘Œ) ยท ( โˆ— โ€˜๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  .rcmulr 17203  *๐‘Ÿcstv 17204  Ringcrg 20134  opprcoppr 20231   RingHom crh 20367  *rfcstf 20682  *-Ringcsr 20683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18709  df-ghm 19135  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-rhm 20370  df-staf 20684  df-srng 20685
This theorem is referenced by:  ipassr  21528
  Copyright terms: Public domain W3C validator