MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srngmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srngmul 20737
Description: The involution function in a star ring distributes over multiplication, with a change in the order of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
srngcl.i โˆ— = (*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)
srngcl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
srngmul.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
srngmul ((๐‘… โˆˆ *-Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( โˆ— โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = (( โˆ— โ€˜๐‘Œ) ยท ( โˆ— โ€˜๐‘‹)))

Proof of Theorem srngmul
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . 5 (opprโ€˜๐‘…) = (opprโ€˜๐‘…)
2 eqid 2728 . . . . 5 (*rfโ€˜๐‘…) = (*rfโ€˜๐‘…)
31, 2srngrhm 20730 . . . 4 (๐‘… โˆˆ *-Ring โ†’ (*rfโ€˜๐‘…) โˆˆ (๐‘… RingHom (opprโ€˜๐‘…)))
4 srngcl.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
5 srngmul.t . . . . 5 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
6 eqid 2728 . . . . 5 (.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…)) = (.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
74, 5, 6rhmmul 20424 . . . 4 (((*rfโ€˜๐‘…) โˆˆ (๐‘… RingHom (opprโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = (((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘‹)(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ)))
83, 7syl3an1 1161 . . 3 ((๐‘… โˆˆ *-Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = (((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘‹)(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ)))
94, 5, 1, 6opprmul 20275 . . 3 (((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘‹)(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ)) = (((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ) ยท ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘‹))
108, 9eqtrdi 2784 . 2 ((๐‘… โˆˆ *-Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = (((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ) ยท ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘‹)))
11 srngring 20731 . . . 4 (๐‘… โˆˆ *-Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
124, 5ringcl 20189 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
1311, 12syl3an1 1161 . . 3 ((๐‘… โˆˆ *-Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
14 srngcl.i . . . 4 โˆ— = (*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)
154, 14, 2stafval 20727 . . 3 ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = ( โˆ— โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
1613, 15syl 17 . 2 ((๐‘… โˆˆ *-Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = ( โˆ— โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
174, 14, 2stafval 20727 . . . 4 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ) = ( โˆ— โ€˜๐‘Œ))
18173ad2ant3 1133 . . 3 ((๐‘… โˆˆ *-Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ) = ( โˆ— โ€˜๐‘Œ))
194, 14, 2stafval 20727 . . . 4 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘‹) = ( โˆ— โ€˜๐‘‹))
20193ad2ant2 1132 . . 3 ((๐‘… โˆˆ *-Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘‹) = ( โˆ— โ€˜๐‘‹))
2118, 20oveq12d 7438 . 2 ((๐‘… โˆˆ *-Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘Œ) ยท ((*rfโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘‹)) = (( โˆ— โ€˜๐‘Œ) ยท ( โˆ— โ€˜๐‘‹)))
2210, 16, 213eqtr3d 2776 1 ((๐‘… โˆˆ *-Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( โˆ— โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = (( โˆ— โ€˜๐‘Œ) ยท ( โˆ— โ€˜๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  .rcmulr 17233  *๐‘Ÿcstv 17234  Ringcrg 20172  opprcoppr 20271   RingHom crh 20407  *rfcstf 20722  *-Ringcsr 20723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-ghm 19167  df-mgp 20074  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-rhm 20410  df-staf 20724  df-srng 20725
This theorem is referenced by:  ipassr  21577
  Copyright terms: Public domain W3C validator