Theorem stgr0 47927

Description: The star graph S₀ consists of a single vertex without edges. (Contributed by AV, 11-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
stgr0	⊢ (StarGr‘0) = {⟨(Base‘ndx), {0}⟩, ⟨(.ef‘ndx), ∅⟩}

Proof of Theorem stgr0

Dummy variables 𝑥 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12541	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		stgrfv 47920	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (StarGr‘0) = {⟨(Base‘ndx), (0...0)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩})
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (StarGr‘0) = {⟨(Base‘ndx), (0...0)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩}
4		fz0sn 13667	. . . 4 ⊢ (0...0) = {0}
5	4	opeq2i 4877	. . 3 ⊢ ⟨(Base‘ndx), (0...0)⟩ = ⟨(Base‘ndx), {0}⟩
6		rabeq0 4388	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}} = ∅ ↔ ∀𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ¬ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥})
7		noel 4338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
8	7	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → ¬ 𝑒 = {0, 𝑥})
9		fz10 13585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...0) = ∅
10	8, 9	eleq2s 2859	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1...0) → ¬ 𝑒 = {0, 𝑥})
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) → (𝑥 ∈ (1...0) → ¬ 𝑒 = {0, 𝑥}))
12	11	ralrimiv 3145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) → ∀𝑥 ∈ (1...0) ¬ 𝑒 = {0, 𝑥})
13		ralnex 3072	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ (1...0) ¬ 𝑒 = {0, 𝑥} ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥})
14	12, 13	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) → ¬ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥})
15	6, 14	mprgbir 3068	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}} = ∅
16	15	reseq2i 5994	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}}) = ( I ↾ ∅)
17		res0 6001	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ ∅) = ∅
18	16, 17	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}}) = ∅
19	18	opeq2i 4877	. . 3 ⊢ ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩ = ⟨(.ef‘ndx), ∅⟩
20	5, 19	preq12i 4738	. 2 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (0...0)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩} = {⟨(Base‘ndx), {0}⟩, ⟨(.ef‘ndx), ∅⟩}
21	3, 20	eqtri 2765	1 ⊢ (StarGr‘0) = {⟨(Base‘ndx), {0}⟩, ⟨(.ef‘ndx), ∅⟩}

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3436  ∅c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  {cpr 4628  ⟨cop 4632   I cid 5577   ↾ cres 5687  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156  ℕ₀cn0 12526  ...cfz 13547  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  .efcedgf 29003  StarGrcstgr 47918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-stgr 47919

This theorem is referenced by: (None)