Theorem stgr0 48861

Description: The star graph S₀ consists of a single vertex without edges. (Contributed by AV, 11-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
stgr0	⊢ (StarGr‘0) = {⟨(Base‘ndx), {0}⟩, ⟨(.ef‘ndx), ∅⟩}

Proof of Theorem stgr0

Dummy variables 𝑥 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12544	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		stgrfv 48854	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (StarGr‘0) = {⟨(Base‘ndx), (0...0)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩})
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (StarGr‘0) = {⟨(Base‘ndx), (0...0)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩}
4		fz0sn 13682	. . . 4 ⊢ (0...0) = {0}
5	4	opeq2i 4840	. . 3 ⊢ ⟨(Base‘ndx), (0...0)⟩ = ⟨(Base‘ndx), {0}⟩
6		rabeq0 4341	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}} = ∅ ↔ ∀𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ¬ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥})
7		noel 4287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
8	7	pm2.21i 120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → ¬ 𝑒 = {0, 𝑥})
9		fz10 13599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...0) = ∅
10	8, 9	eleq2s 2880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1...0) → ¬ 𝑒 = {0, 𝑥})
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) → (𝑥 ∈ (1...0) → ¬ 𝑒 = {0, 𝑥}))
12	11	ralrimiv 3155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) → ∀𝑥 ∈ (1...0) ¬ 𝑒 = {0, 𝑥})
13		ralnex 3090	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ (1...0) ¬ 𝑒 = {0, 𝑥} ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥})
14	12, 13	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) → ¬ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥})
15	6, 14	mprgbir 3085	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}} = ∅
16	15	reseq2i 5973	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}}) = ( I ↾ ∅)
17		res0 5980	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ ∅) = ∅
18	16, 17	eqtri 2785	. . . 4 ⊢ ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}}) = ∅
19	18	opeq2i 4840	. . 3 ⊢ ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩ = ⟨(.ef‘ndx), ∅⟩
20	5, 19	preq12i 4702	. 2 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (0...0)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩} = {⟨(Base‘ndx), {0}⟩, ⟨(.ef‘ndx), ∅⟩}
21	3, 20	eqtri 2785	1 ⊢ (StarGr‘0) = {⟨(Base‘ndx), {0}⟩, ⟨(.ef‘ndx), ∅⟩}

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3414  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4587  {cpr 4589  ⟨cop 4593   I cid 5553   ↾ cres 5661  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  0cc0 11125  1c1 11126  ℕ₀cn0 12529  ...cfz 13561  ndxcnx 17287  Basecbs 17303  .efcedgf 29429  StarGrcstgr 48852

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13562  df-stgr 48853

This theorem is used by: (None)