Theorem stgr0 48148

Description: The star graph S₀ consists of a single vertex without edges. (Contributed by AV, 11-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
stgr0	⊢ (StarGr‘0) = {⟨(Base‘ndx), {0}⟩, ⟨(.ef‘ndx), ∅⟩}

Proof of Theorem stgr0

Dummy variables 𝑥 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12414	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		stgrfv 48141	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (StarGr‘0) = {⟨(Base‘ndx), (0...0)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩})
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (StarGr‘0) = {⟨(Base‘ndx), (0...0)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩}
4		fz0sn 13541	. . . 4 ⊢ (0...0) = {0}
5	4	opeq2i 4831	. . 3 ⊢ ⟨(Base‘ndx), (0...0)⟩ = ⟨(Base‘ndx), {0}⟩
6		rabeq0 4338	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}} = ∅ ↔ ∀𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ¬ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥})
7		noel 4288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
8	7	pm2.21i 119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → ¬ 𝑒 = {0, 𝑥})
9		fz10 13459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...0) = ∅
10	8, 9	eleq2s 2852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1...0) → ¬ 𝑒 = {0, 𝑥})
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) → (𝑥 ∈ (1...0) → ¬ 𝑒 = {0, 𝑥}))
12	11	ralrimiv 3125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) → ∀𝑥 ∈ (1...0) ¬ 𝑒 = {0, 𝑥})
13		ralnex 3060	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ (1...0) ¬ 𝑒 = {0, 𝑥} ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥})
14	12, 13	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) → ¬ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥})
15	6, 14	mprgbir 3056	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}} = ∅
16	15	reseq2i 5933	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}}) = ( I ↾ ∅)
17		res0 5940	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ ∅) = ∅
18	16, 17	eqtri 2757	. . . 4 ⊢ ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}}) = ∅
19	18	opeq2i 4831	. . 3 ⊢ ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩ = ⟨(.ef‘ndx), ∅⟩
20	5, 19	preq12i 4693	. 2 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (0...0)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩} = {⟨(Base‘ndx), {0}⟩, ⟨(.ef‘ndx), ∅⟩}
21	3, 20	eqtri 2757	1 ⊢ (StarGr‘0) = {⟨(Base‘ndx), {0}⟩, ⟨(.ef‘ndx), ∅⟩}

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  {crab 3397  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4552  {csn 4578  {cpr 4580  ⟨cop 4584   I cid 5516   ↾ cres 5624  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0cc0 11024  1c1 11025  ℕ₀cn0 12399  ...cfz 13421  ndxcnx 17118  Basecbs 17134  .efcedgf 29010  StarGrcstgr 48139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-stgr 48140

This theorem is referenced by: (None)