Theorem stgr0 48941

Description: The star graph S₀ consists of a single vertex without edges. (Contributed by AV, 11-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
stgr0	⊢ (StarGr‘0) = {⟨(Base‘ndx), {0}⟩, ⟨(.ef‘ndx), ∅⟩}

Proof of Theorem stgr0

Dummy variables 𝑥 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12568	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		stgrfv 48934	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (StarGr‘0) = {⟨(Base‘ndx), (0...0)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩})
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (StarGr‘0) = {⟨(Base‘ndx), (0...0)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩}
4		fz0sn 13707	. . . 4 ⊢ (0...0) = {0}
5	4	opeq2i 4837	. . 3 ⊢ ⟨(Base‘ndx), (0...0)⟩ = ⟨(Base‘ndx), {0}⟩
6		rabeq0 4338	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}} = ∅ ↔ ∀𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ¬ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥})
7		noel 4284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
8	7	pm2.21i 120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → ¬ 𝑒 = {0, 𝑥})
9		fz10 13624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...0) = ∅
10	8, 9	eleq2s 2878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1...0) → ¬ 𝑒 = {0, 𝑥})
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) → (𝑥 ∈ (1...0) → ¬ 𝑒 = {0, 𝑥}))
12	11	ralrimiv 3153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) → ∀𝑥 ∈ (1...0) ¬ 𝑒 = {0, 𝑥})
13		ralnex 3088	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ (1...0) ¬ 𝑒 = {0, 𝑥} ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥})
14	12, 13	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) → ¬ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥})
15	6, 14	mprgbir 3083	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}} = ∅
16	15	reseq2i 5971	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}}) = ( I ↾ ∅)
17		res0 5978	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ ∅) = ∅
18	16, 17	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}}) = ∅
19	18	opeq2i 4837	. . 3 ⊢ ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩ = ⟨(.ef‘ndx), ∅⟩
20	5, 19	preq12i 4699	. 2 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (0...0)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...0) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...0)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩} = {⟨(Base‘ndx), {0}⟩, ⟨(.ef‘ndx), ∅⟩}
21	3, 20	eqtri 2783	1 ⊢ (StarGr‘0) = {⟨(Base‘ndx), {0}⟩, ⟨(.ef‘ndx), ∅⟩}

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  {cpr 4586  ⟨cop 4590   I cid 5549   ↾ cres 5657  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  0cc0 11149  1c1 11150  ℕ₀cn0 12553  ...cfz 13586  ndxcnx 17310  Basecbs 17326  .efcedgf 29477  StarGrcstgr 48932

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-fz 13587  df-stgr 48933

This theorem is used by: (None)