Theorem stgr1 48149

Description: The star graph S₁ consists of a single simple edge. (Contributed by AV, 11-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
stgr1	⊢ (StarGr‘1) = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {{0, 1}})⟩}

Proof of Theorem stgr1

Dummy variables 𝑥 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12415	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		stgrfv 48141	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (StarGr‘1) = {⟨(Base‘ndx), (0...1)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩})
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (StarGr‘1) = {⟨(Base‘ndx), (0...1)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩}
4		fz01pr 13665	. . . 4 ⊢ (0...1) = {0, 1}
5	4	opeq2i 4831	. . 3 ⊢ ⟨(Base‘ndx), (0...1)⟩ = ⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩
6		elsni 4595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → 𝑥 = 1)
7		preq2 4689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1 → {0, 𝑥} = {0, 1})
8	7	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑒 = {0, 𝑥} ↔ 𝑒 = {0, 1}))
9	8	biimpd 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑒 = {0, 𝑥} → 𝑒 = {0, 1}))
10	6, 9	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (𝑒 = {0, 𝑥} → 𝑒 = {0, 1}))
11		1z 12519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		fzsn 13480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...1) = {1}
14	10, 13	eleq2s 2852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1...1) → (𝑒 = {0, 𝑥} → 𝑒 = {0, 1}))
15	14	rexlimiv 3128	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥} → 𝑒 = {0, 1})
16	15	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}) → 𝑒 = {0, 1})
17		c0ex 11124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
18	17	prid1 4717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
19	18, 4	eleqtrri 2833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ (0...1)
20		1ex 11126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ V
21	20	prid2 4718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
22	21, 4	eleqtrri 2833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ (0...1)
23		prelpwi 5393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ (0...1) ∧ 1 ∈ (0...1)) → {0, 1} ∈ 𝒫 (0...1))
24	19, 22, 23	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ {0, 1} ∈ 𝒫 (0...1)
25		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {0, 1} = {0, 1}
26	13	rexeqi 3293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥} ↔ ∃𝑥 ∈ {1} {0, 1} = {0, 𝑥})
27	7	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → ({0, 1} = {0, 𝑥} ↔ {0, 1} = {0, 1}))
28	20, 27	rexsn 4637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥 ∈ {1} {0, 1} = {0, 𝑥} ↔ {0, 1} = {0, 1})
29	26, 28	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥} ↔ {0, 1} = {0, 1})
30	25, 29	mpbir 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥}
31	24, 30	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ ({0, 1} ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥})
32		eleq1 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = {0, 1} → (𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ↔ {0, 1} ∈ 𝒫 (0...1)))
33		eqeq1 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = {0, 1} → (𝑒 = {0, 𝑥} ↔ {0, 1} = {0, 𝑥}))
34	33	rexbidv 3158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = {0, 1} → (∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥} ↔ ∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥}))
35	32, 34	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = {0, 1} → ((𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ ({0, 1} ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥})))
36	31, 35	mpbiri 258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = {0, 1} → (𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}))
37	16, 36	impbii 209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ 𝑒 = {0, 1})
38	37	abbii 2801	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∣ (𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥})} = {𝑒 ∣ 𝑒 = {0, 1}}
39		df-rab 3398	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}} = {𝑒 ∣ (𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥})}
40		df-sn 4579	. . . . . 6 ⊢ {{0, 1}} = {𝑒 ∣ 𝑒 = {0, 1}}
41	38, 39, 40	3eqtr4i 2767	. . . . 5 ⊢ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}} = {{0, 1}}
42	41	reseq2i 5933	. . . 4 ⊢ ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}}) = ( I ↾ {{0, 1}})
43	42	opeq2i 4831	. . 3 ⊢ ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩ = ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {{0, 1}})⟩
44	5, 43	preq12i 4693	. 2 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (0...1)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩} = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {{0, 1}})⟩}
45	3, 44	eqtri 2757	1 ⊢ (StarGr‘1) = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {{0, 1}})⟩}

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cab 2712  ∃wrex 3058  {crab 3397  𝒫 cpw 4552  {csn 4578  {cpr 4580  ⟨cop 4584   I cid 5516   ↾ cres 5624  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0cc0 11024  1c1 11025  ℕ₀cn0 12399  ℤcz 12486  ...cfz 13421  ndxcnx 17118  Basecbs 17134  .efcedgf 29010  StarGrcstgr 48139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-stgr 48140

This theorem is referenced by: (None)