Theorem stgr1 47863

Description: The star graph S₁ consists of a single simple edge. (Contributed by AV, 11-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
stgr1	⊢ (StarGr‘1) = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {{0, 1}})⟩}

Proof of Theorem stgr1

Dummy variables 𝑥 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12539	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		stgrfv 47855	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (StarGr‘1) = {⟨(Base‘ndx), (0...1)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩})
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (StarGr‘1) = {⟨(Base‘ndx), (0...1)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩}
4		fz01pr 13786	. . . 4 ⊢ (0...1) = {0, 1}
5	4	opeq2i 4881	. . 3 ⊢ ⟨(Base‘ndx), (0...1)⟩ = ⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩
6		elsni 4647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → 𝑥 = 1)
7		preq2 4738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1 → {0, 𝑥} = {0, 1})
8	7	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑒 = {0, 𝑥} ↔ 𝑒 = {0, 1}))
9	8	biimpd 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑒 = {0, 𝑥} → 𝑒 = {0, 1}))
10	6, 9	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (𝑒 = {0, 𝑥} → 𝑒 = {0, 1}))
11		1z 12644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		fzsn 13602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...1) = {1}
14	10, 13	eleq2s 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1...1) → (𝑒 = {0, 𝑥} → 𝑒 = {0, 1}))
15	14	rexlimiv 3145	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥} → 𝑒 = {0, 1})
16	15	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}) → 𝑒 = {0, 1})
17		c0ex 11252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
18	17	prid1 4766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
19	18, 4	eleqtrri 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ (0...1)
20		1ex 11254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ V
21	20	prid2 4767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
22	21, 4	eleqtrri 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ (0...1)
23		prelpwi 5457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ (0...1) ∧ 1 ∈ (0...1)) → {0, 1} ∈ 𝒫 (0...1))
24	19, 22, 23	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ {0, 1} ∈ 𝒫 (0...1)
25		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {0, 1} = {0, 1}
26	13	rexeqi 3322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥} ↔ ∃𝑥 ∈ {1} {0, 1} = {0, 𝑥})
27	7	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → ({0, 1} = {0, 𝑥} ↔ {0, 1} = {0, 1}))
28	20, 27	rexsn 4686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥 ∈ {1} {0, 1} = {0, 𝑥} ↔ {0, 1} = {0, 1})
29	26, 28	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥} ↔ {0, 1} = {0, 1})
30	25, 29	mpbir 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥}
31	24, 30	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ ({0, 1} ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥})
32		eleq1 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = {0, 1} → (𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ↔ {0, 1} ∈ 𝒫 (0...1)))
33		eqeq1 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = {0, 1} → (𝑒 = {0, 𝑥} ↔ {0, 1} = {0, 𝑥}))
34	33	rexbidv 3176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = {0, 1} → (∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥} ↔ ∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥}))
35	32, 34	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = {0, 1} → ((𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ ({0, 1} ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥})))
36	31, 35	mpbiri 258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = {0, 1} → (𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}))
37	16, 36	impbii 209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ 𝑒 = {0, 1})
38	37	abbii 2806	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∣ (𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥})} = {𝑒 ∣ 𝑒 = {0, 1}}
39		df-rab 3433	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}} = {𝑒 ∣ (𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥})}
40		df-sn 4631	. . . . . 6 ⊢ {{0, 1}} = {𝑒 ∣ 𝑒 = {0, 1}}
41	38, 39, 40	3eqtr4i 2772	. . . . 5 ⊢ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}} = {{0, 1}}
42	41	reseq2i 5996	. . . 4 ⊢ ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}}) = ( I ↾ {{0, 1}})
43	42	opeq2i 4881	. . 3 ⊢ ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩ = ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {{0, 1}})⟩
44	5, 43	preq12i 4742	. 2 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (0...1)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩} = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {{0, 1}})⟩}
45	3, 44	eqtri 2762	1 ⊢ (StarGr‘1) = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {{0, 1}})⟩}

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  {cab 2711  ∃wrex 3067  {crab 3432  𝒫 cpw 4604  {csn 4630  {cpr 4632  ⟨cop 4636   I cid 5581   ↾ cres 5690  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153  ℕ₀cn0 12523  ℤcz 12610  ...cfz 13543  ndxcnx 17226  Basecbs 17244  .efcedgf 29017  StarGrcstgr 47853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-stgr 47854

This theorem is referenced by: (None)