Theorem stgr1 48588

Description: The star graph S₁ consists of a single simple edge. (Contributed by AV, 11-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
stgr1	⊢ (StarGr‘1) = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {{0, 1}})⟩}

Proof of Theorem stgr1

Dummy variables 𝑥 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12499	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		stgrfv 48580	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (StarGr‘1) = {⟨(Base‘ndx), (0...1)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩})
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (StarGr‘1) = {⟨(Base‘ndx), (0...1)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩}
4		fz01pr 13759	. . . 4 ⊢ (0...1) = {0, 1}
5	4	opeq2i 4837	. . 3 ⊢ ⟨(Base‘ndx), (0...1)⟩ = ⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩
6		elsni 4601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → 𝑥 = 1)
7		preq2 4695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1 → {0, 𝑥} = {0, 1})
8	7	eqeq2d 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑒 = {0, 𝑥} ↔ 𝑒 = {0, 1}))
9	8	biimpd 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑒 = {0, 𝑥} → 𝑒 = {0, 1}))
10	6, 9	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (𝑒 = {0, 𝑥} → 𝑒 = {0, 1}))
11		1z 12603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		fzsn 13573	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...1) = {1}
14	10, 13	eleq2s 2882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1...1) → (𝑒 = {0, 𝑥} → 𝑒 = {0, 1}))
15	14	rexlimiv 3158	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥} → 𝑒 = {0, 1})
16	15	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}) → 𝑒 = {0, 1})
17		c0ex 11175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
18	17	prid1 4723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
19	18, 4	eleqtrri 2863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ (0...1)
20		1ex 11178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ V
21	20	prid2 4724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
22	21, 4	eleqtrri 2863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ (0...1)
23		prelpwi 5416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ (0...1) ∧ 1 ∈ (0...1)) → {0, 1} ∈ 𝒫 (0...1))
24	19, 22, 23	mp2an 702	. . . . . . . . . 10 ⊢ {0, 1} ∈ 𝒫 (0...1)
25		eqid 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {0, 1} = {0, 1}
26	13	rexeqi 3321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥} ↔ ∃𝑥 ∈ {1} {0, 1} = {0, 𝑥})
27	7	eqeq2d 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → ({0, 1} = {0, 𝑥} ↔ {0, 1} = {0, 1}))
28	20, 27	rexsn 4643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥 ∈ {1} {0, 1} = {0, 𝑥} ↔ {0, 1} = {0, 1})
29	26, 28	bitri 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥} ↔ {0, 1} = {0, 1})
30	25, 29	mpbir 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥}
31	24, 30	pm3.2i 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ({0, 1} ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥})
32		eleq1 2852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = {0, 1} → (𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ↔ {0, 1} ∈ 𝒫 (0...1)))
33		eqeq1 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = {0, 1} → (𝑒 = {0, 𝑥} ↔ {0, 1} = {0, 𝑥}))
34	33	rexbidv 3188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = {0, 1} → (∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥} ↔ ∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥}))
35	32, 34	anbi12d 641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = {0, 1} → ((𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ ({0, 1} ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥})))
36	31, 35	mpbiri 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = {0, 1} → (𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}))
37	16, 36	impbii 211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ 𝑒 = {0, 1})
38	37	abbii 2831	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∣ (𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥})} = {𝑒 ∣ 𝑒 = {0, 1}}
39		df-rab 3417	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}} = {𝑒 ∣ (𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥})}
40		df-sn 4585	. . . . . 6 ⊢ {{0, 1}} = {𝑒 ∣ 𝑒 = {0, 1}}
41	38, 39, 40	3eqtr4i 2797	. . . . 5 ⊢ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}} = {{0, 1}}
42	41	reseq2i 5964	. . . 4 ⊢ ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}}) = ( I ↾ {{0, 1}})
43	42	opeq2i 4837	. . 3 ⊢ ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩ = ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {{0, 1}})⟩
44	5, 43	preq12i 4699	. 2 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (0...1)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩} = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {{0, 1}})⟩}
45	3, 44	eqtri 2787	1 ⊢ (StarGr‘1) = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {{0, 1}})⟩}

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  {cab 2742  ∃wrex 3088  {crab 3416  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  {cpr 4586  ⟨cop 4590   I cid 5543   ↾ cres 5651  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  0cc0 11075  1c1 11076  ℕ₀cn0 12483  ℤcz 12570  ...cfz 13514  ndxcnx 17231  Basecbs 17247  .efcedgf 29191  StarGrcstgr 48578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515  df-stgr 48579

This theorem is referenced by: (None)