Theorem stgr1 49059

Description: The star graph S₁ consists of a single simple edge. (Contributed by AV, 11-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
stgr1	⊢ (StarGr‘1) = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {{0, 1}})⟩}

Proof of Theorem stgr1

Dummy variables 𝑥 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12622	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		stgrfv 49051	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (StarGr‘1) = {⟨(Base‘ndx), (0...1)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩})
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (StarGr‘1) = {⟨(Base‘ndx), (0...1)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩}
4		fz01pr 13886	. . . 4 ⊢ (0...1) = {0, 1}
5	4	opeq2i 4836	. . 3 ⊢ ⟨(Base‘ndx), (0...1)⟩ = ⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩
6		elsni 4600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → 𝑥 = 1)
7		preq2 4694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1 → {0, 𝑥} = {0, 1})
8	7	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑒 = {0, 𝑥} ↔ 𝑒 = {0, 1}))
9	8	biimpd 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑒 = {0, 𝑥} → 𝑒 = {0, 1}))
10	6, 9	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (𝑒 = {0, 𝑥} → 𝑒 = {0, 1}))
11		1z 12726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		fzsn 13700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...1) = {1}
14	10, 13	eleq2s 2878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1...1) → (𝑒 = {0, 𝑥} → 𝑒 = {0, 1}))
15	14	rexlimiv 3156	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥} → 𝑒 = {0, 1})
16	15	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}) → 𝑒 = {0, 1})
17		0elpr01 11301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
18	17, 4	eleqtrri 2859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ (0...1)
19		1elpr01 11304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
20	19, 4	eleqtrri 2859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ (0...1)
21		prelpwi 5414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ (0...1) ∧ 1 ∈ (0...1)) → {0, 1} ∈ 𝒫 (0...1))
22	18, 20, 21	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ {0, 1} ∈ 𝒫 (0...1)
23		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {0, 1} = {0, 1}
24	13	rexeqi 3318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥} ↔ ∃𝑥 ∈ {1} {0, 1} = {0, 𝑥})
25		1ex 11303	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ V
26	7	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → ({0, 1} = {0, 𝑥} ↔ {0, 1} = {0, 1}))
27	25, 26	rexsn 4642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥 ∈ {1} {0, 1} = {0, 𝑥} ↔ {0, 1} = {0, 1})
28	24, 27	bitri 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥} ↔ {0, 1} = {0, 1})
29	23, 28	mpbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥}
30	22, 29	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ({0, 1} ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥})
31		eleq1 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = {0, 1} → (𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ↔ {0, 1} ∈ 𝒫 (0...1)))
32		eqeq1 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = {0, 1} → (𝑒 = {0, 𝑥} ↔ {0, 1} = {0, 𝑥}))
33	32	rexbidv 3186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = {0, 1} → (∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥} ↔ ∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥}))
34	31, 33	anbi12d 644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = {0, 1} → ((𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ ({0, 1} ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥})))
35	30, 34	mpbiri 261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = {0, 1} → (𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}))
36	16, 35	impbii 212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ 𝑒 = {0, 1})
37	36	abbii 2827	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∣ (𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥})} = {𝑒 ∣ 𝑒 = {0, 1}}
38		df-rab 3413	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}} = {𝑒 ∣ (𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥})}
39		df-sn 4584	. . . . . 6 ⊢ {{0, 1}} = {𝑒 ∣ 𝑒 = {0, 1}}
40	37, 38, 39	3eqtr4i 2793	. . . . 5 ⊢ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}} = {{0, 1}}
41	40	reseq2i 5966	. . . 4 ⊢ ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}}) = ( I ↾ {{0, 1}})
42	41	opeq2i 4836	. . 3 ⊢ ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩ = ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {{0, 1}})⟩
43	5, 42	preq12i 4698	. 2 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (0...1)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩} = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {{0, 1}})⟩}
44	3, 43	eqtri 2783	1 ⊢ (StarGr‘1) = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {{0, 1}})⟩}

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cab 2738  ∃wrex 3086  {crab 3412  𝒫 cpw 4556  {csn 4583  {cpr 4585  ⟨cop 4589   I cid 5544   ↾ cres 5652  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  1c1 11201  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ...cfz 13639  ndxcnx 17371  Basecbs 17387  .efcedgf 29566  StarGrcstgr 49049

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-stgr 49050

This theorem is used by: (None)