Theorem stgr1 48274

Description: The star graph S₁ consists of a single simple edge. (Contributed by AV, 11-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
stgr1	⊢ (StarGr‘1) = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {{0, 1}})⟩}

Proof of Theorem stgr1

Dummy variables 𝑥 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12421	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		stgrfv 48266	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (StarGr‘1) = {⟨(Base‘ndx), (0...1)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩})
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (StarGr‘1) = {⟨(Base‘ndx), (0...1)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩}
4		fz01pr 13671	. . . 4 ⊢ (0...1) = {0, 1}
5	4	opeq2i 4834	. . 3 ⊢ ⟨(Base‘ndx), (0...1)⟩ = ⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩
6		elsni 4598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → 𝑥 = 1)
7		preq2 4692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1 → {0, 𝑥} = {0, 1})
8	7	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑒 = {0, 𝑥} ↔ 𝑒 = {0, 1}))
9	8	biimpd 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑒 = {0, 𝑥} → 𝑒 = {0, 1}))
10	6, 9	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (𝑒 = {0, 𝑥} → 𝑒 = {0, 1}))
11		1z 12525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		fzsn 13486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...1) = {1}
14	10, 13	eleq2s 2855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1...1) → (𝑒 = {0, 𝑥} → 𝑒 = {0, 1}))
15	14	rexlimiv 3131	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥} → 𝑒 = {0, 1})
16	15	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}) → 𝑒 = {0, 1})
17		c0ex 11130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
18	17	prid1 4720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
19	18, 4	eleqtrri 2836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ (0...1)
20		1ex 11132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ V
21	20	prid2 4721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
22	21, 4	eleqtrri 2836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ (0...1)
23		prelpwi 5396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ (0...1) ∧ 1 ∈ (0...1)) → {0, 1} ∈ 𝒫 (0...1))
24	19, 22, 23	mp2an 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ {0, 1} ∈ 𝒫 (0...1)
25		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {0, 1} = {0, 1}
26	13	rexeqi 3296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥} ↔ ∃𝑥 ∈ {1} {0, 1} = {0, 𝑥})
27	7	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → ({0, 1} = {0, 𝑥} ↔ {0, 1} = {0, 1}))
28	20, 27	rexsn 4640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥 ∈ {1} {0, 1} = {0, 𝑥} ↔ {0, 1} = {0, 1})
29	26, 28	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥} ↔ {0, 1} = {0, 1})
30	25, 29	mpbir 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥}
31	24, 30	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ ({0, 1} ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥})
32		eleq1 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = {0, 1} → (𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ↔ {0, 1} ∈ 𝒫 (0...1)))
33		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = {0, 1} → (𝑒 = {0, 𝑥} ↔ {0, 1} = {0, 𝑥}))
34	33	rexbidv 3161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = {0, 1} → (∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥} ↔ ∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥}))
35	32, 34	anbi12d 633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = {0, 1} → ((𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ ({0, 1} ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1){0, 1} = {0, 𝑥})))
36	31, 35	mpbiri 258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = {0, 1} → (𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}))
37	16, 36	impbii 209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}) ↔ 𝑒 = {0, 1})
38	37	abbii 2804	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∣ (𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥})} = {𝑒 ∣ 𝑒 = {0, 1}}
39		df-rab 3401	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}} = {𝑒 ∣ (𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∧ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥})}
40		df-sn 4582	. . . . . 6 ⊢ {{0, 1}} = {𝑒 ∣ 𝑒 = {0, 1}}
41	38, 39, 40	3eqtr4i 2770	. . . . 5 ⊢ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}} = {{0, 1}}
42	41	reseq2i 5936	. . . 4 ⊢ ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}}) = ( I ↾ {{0, 1}})
43	42	opeq2i 4834	. . 3 ⊢ ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩ = ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {{0, 1}})⟩
44	5, 43	preq12i 4696	. 2 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (0...1)⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 (0...1) ∣ ∃𝑥 ∈ (1...1)𝑒 = {0, 𝑥}})⟩} = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {{0, 1}})⟩}
45	3, 44	eqtri 2760	1 ⊢ (StarGr‘1) = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ {{0, 1}})⟩}

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715  ∃wrex 3061  {crab 3400  𝒫 cpw 4555  {csn 4581  {cpr 4583  ⟨cop 4587   I cid 5519   ↾ cres 5627  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  0cc0 11030  1c1 11031  ℕ₀cn0 12405  ℤcz 12492  ...cfz 13427  ndxcnx 17124  Basecbs 17140  .efcedgf 29065  StarGrcstgr 48264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-stgr 48265

This theorem is referenced by: (None)