Theorem subrgvr1 22452

Description: The variables in a subring polynomial algebra are the same as the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgvr1.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
subrgvr1.r	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgvr1.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
subrgvr1	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (var1‘𝐻))

Proof of Theorem subrgvr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
2		1on 8475	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ On)
4		subrgvr1.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
5		subrgvr1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
6	1, 3, 4, 5	subrgmvr 22214	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝐻))
7	6	fveq1d 6890	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1o mVar 𝑅)‘∅) = ((1o mVar 𝐻)‘∅))
8		subrgvr1.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
9	8	vr1val 22382	. 2 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
10		eqid 2766	. . 3 ⊢ (var1‘𝐻) = (var1‘𝐻)
11	10	vr1val 22382	. 2 ⊢ (var1‘𝐻) = ((1o mVar 𝐻)‘∅)
12	7, 9, 11	3eqtr4g 2826	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (var1‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∅c0 4289  Oncon0 6367  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  1_oc1o 8455   ↾_s cress 17315  SubRingcsubrg 20698   mVar cmvr 22085  var₁cv1 22366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18802  df-mnd 18818  df-grp 19028  df-subg 19214  df-mgp 20242  df-ur 20289  df-ring 20342  df-subrg 20699  df-mvr 22090  df-vr1 22371

This theorem is used by:  evls1var  22528  evls1varsrng  22530