Theorem evls1var 22535

Description: Univariate polynomial evaluation for subrings maps the variable to the identity function. (Contributed by AV, 13-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1var.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1var.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
evls1var.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1var.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1var.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1var.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
evls1var	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑋) = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem evls1var

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1var.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
2		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (var1‘𝑆) = (var1‘𝑆)
3		evls1var.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		evls1var.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
5	2, 3, 4	subrgvr1 22459	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑆) = (var1‘𝑈))
6	1, 5	eqtr4id 2820	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (var1‘𝑆))
7	6	fveq2d 6892	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑋) = (𝑄‘(var1‘𝑆)))
8		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)
9		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (1o eval 𝑆) = (1o eval 𝑆)
10		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (1o mVar 𝑈) = (1o mVar 𝑈)
11		evls1var.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
12		1on 8475	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ On)
14		evls1var.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
15		0lt1o 8498	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 1o
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 1o)
17	8, 9, 10, 4, 11, 13, 14, 3, 16	evlsvarsrng 22295	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((1o mVar 𝑈)‘∅)) = ((1o eval 𝑆)‘((1o mVar 𝑈)‘∅)))
18	2	vr1val 22389	. . . . . . 7 ⊢ (var1‘𝑆) = ((1o mVar 𝑆)‘∅)
19		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (1o mVar 𝑆) = (1o mVar 𝑆)
20	19, 13, 3, 4	subrgmvr 22221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1o mVar 𝑆) = (1o mVar 𝑈))
21	20	fveq1d 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1o mVar 𝑆)‘∅) = ((1o mVar 𝑈)‘∅))
22	18, 21	eqtrid 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑆) = ((1o mVar 𝑈)‘∅))
23	22	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(var1‘𝑆)) = (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((1o mVar 𝑈)‘∅)))
24	22	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1o eval 𝑆)‘(var1‘𝑆)) = ((1o eval 𝑆)‘((1o mVar 𝑈)‘∅)))
25	17, 23, 24	3eqtr4d 2811	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(var1‘𝑆)) = ((1o eval 𝑆)‘(var1‘𝑆)))
26	25	coeq1d 5852	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(var1‘𝑆)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((1o eval 𝑆)‘(var1‘𝑆)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
27		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (Poly1‘𝑈) = (Poly1‘𝑈)
28		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝑅)) = (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝑅))
29	4	fveq2i 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly1‘𝑈) = (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝑅))
30	29	fveq2i 6891	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑈)) = (Base‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝑅)))
31	28, 30	ply1bas 22392	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑈)) = (Base‘(1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))
32	31	eqcomi 2775	. . . . 5 ⊢ (Base‘(1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) = (Base‘(Poly1‘𝑈))
33	2, 3, 4, 27, 32	subrgvr1cl 22460	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑆) ∈ (Base‘(1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
34		evls1var.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
35		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (1o evalSub 𝑆) = (1o evalSub 𝑆)
36		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) = (1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))
37		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (Base‘(1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) = (Base‘(1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))
38	34, 35, 11, 36, 37	evls1val 22517	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ (var1‘𝑆) ∈ (Base‘(1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) → (𝑄‘(var1‘𝑆)) = ((((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(var1‘𝑆)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
39	14, 3, 33, 38	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(var1‘𝑆)) = ((((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(var1‘𝑆)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
40		crngring 20358	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
41		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘𝑆)
42		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑆)) = (Base‘(Poly1‘𝑆))
43	41, 42	ply1bas 22392	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑆)) = (Base‘(1o mPoly 𝑆))
44	43	eqcomi 2775	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑆)) = (Base‘(Poly1‘𝑆))
45	2, 41, 44	vr1cl 22414	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (var1‘𝑆) ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑆)))
46	14, 40, 45	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑆) ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑆)))
47		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (eval1‘𝑆) = (eval1‘𝑆)
48		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (1o mPoly 𝑆) = (1o mPoly 𝑆)
49		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑆)) = (Base‘(1o mPoly 𝑆))
50	47, 9, 11, 48, 49	evl1val 22526	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ (var1‘𝑆) ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑆))) → ((eval1‘𝑆)‘(var1‘𝑆)) = (((1o eval 𝑆)‘(var1‘𝑆)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
51	14, 46, 50	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(var1‘𝑆)) = (((1o eval 𝑆)‘(var1‘𝑆)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
52	26, 39, 51	3eqtr4d 2811	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(var1‘𝑆)) = ((eval1‘𝑆)‘(var1‘𝑆)))
53	47, 2, 11	evl1var 22533	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → ((eval1‘𝑆)‘(var1‘𝑆)) = ( I ↾ 𝐵))
54	14, 53	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(var1‘𝑆)) = ( I ↾ 𝐵))
55	7, 52, 54	3eqtrd 2805	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑋) = ( I ↾ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∅c0 4289  {csn 4594   ↦ cmpt 5197   I cid 5560   × cxp 5664   ↾ cres 5668   ∘ ccom 5670  Oncon0 6367  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  1_oc1o 8455  Basecbs 17294   ↾_s cress 17315  Ringcrg 20346  CRingccrg 20347  SubRingcsubrg 20705   mVar cmvr 22092   mPoly cmpl 22093   evalSub ces 22260   eval cevl 22261  var₁cv1 22373  Poly₁cpl1 22374   evalSub₁ ces1 22510  eval₁ce1 22511

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-ofr 7688  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-hom 17359  df-cco 17360  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-prds 17525  df-pws 17527  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mhm 18872  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-mulg 19165  df-subg 19220  df-ghm 19315  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-srg 20300  df-ring 20348  df-cring 20349  df-rhm 20587  df-subrng 20682  df-subrg 20706  df-lmod 21020  df-lss 21090  df-lsp 21130  df-assa 22040  df-asp 22041  df-ascl 22042  df-psr 22096  df-mvr 22097  df-mpl 22098  df-opsr 22100  df-evls 22262  df-evl 22263  df-psr1 22377  df-vr1 22378  df-ply1 22379  df-evls1 22512  df-evl1 22513

This theorem is used by:  evls1varsrng  22537  evls1varpwval  22565  vr1nz  33914  algextdeglem4  34141  2sqr3minply  34201  cos9thpiminplylem6  34208