Theorem evls1var 22358

Description: Univariate polynomial evaluation for subrings maps the variable to the identity function. (Contributed by AV, 13-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1var.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1var.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
evls1var.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1var.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1var.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1var.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
evls1var	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑋) = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem evls1var

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1var.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
2		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (var1‘𝑆) = (var1‘𝑆)
3		evls1var.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		evls1var.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
5	2, 3, 4	subrgvr1 22280	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑆) = (var1‘𝑈))
6	1, 5	eqtr4id 2794	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (var1‘𝑆))
7	6	fveq2d 6911	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑋) = (𝑄‘(var1‘𝑆)))
8		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)
9		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (1o eval 𝑆) = (1o eval 𝑆)
10		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (1o mVar 𝑈) = (1o mVar 𝑈)
11		evls1var.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
12		1on 8517	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ On)
14		evls1var.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
15		0lt1o 8541	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 1o
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 1o)
17	8, 9, 10, 4, 11, 13, 14, 3, 16	evlsvarsrng 22141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((1o mVar 𝑈)‘∅)) = ((1o eval 𝑆)‘((1o mVar 𝑈)‘∅)))
18	2	vr1val 22209	. . . . . . 7 ⊢ (var1‘𝑆) = ((1o mVar 𝑆)‘∅)
19		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (1o mVar 𝑆) = (1o mVar 𝑆)
20	19, 13, 3, 4	subrgmvr 22069	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1o mVar 𝑆) = (1o mVar 𝑈))
21	20	fveq1d 6909	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1o mVar 𝑆)‘∅) = ((1o mVar 𝑈)‘∅))
22	18, 21	eqtrid 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑆) = ((1o mVar 𝑈)‘∅))
23	22	fveq2d 6911	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(var1‘𝑆)) = (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((1o mVar 𝑈)‘∅)))
24	22	fveq2d 6911	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1o eval 𝑆)‘(var1‘𝑆)) = ((1o eval 𝑆)‘((1o mVar 𝑈)‘∅)))
25	17, 23, 24	3eqtr4d 2785	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(var1‘𝑆)) = ((1o eval 𝑆)‘(var1‘𝑆)))
26	25	coeq1d 5875	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(var1‘𝑆)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((1o eval 𝑆)‘(var1‘𝑆)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
27		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Poly1‘𝑈) = (Poly1‘𝑈)
28		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝑅)) = (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝑅))
29	4	fveq2i 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly1‘𝑈) = (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝑅))
30	29	fveq2i 6910	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑈)) = (Base‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝑅)))
31	28, 30	ply1bas 22212	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑈)) = (Base‘(1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))
32	31	eqcomi 2744	. . . . 5 ⊢ (Base‘(1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) = (Base‘(Poly1‘𝑈))
33	2, 3, 4, 27, 32	subrgvr1cl 22281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑆) ∈ (Base‘(1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
34		evls1var.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
35		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (1o evalSub 𝑆) = (1o evalSub 𝑆)
36		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) = (1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))
37		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘(1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) = (Base‘(1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))
38	34, 35, 11, 36, 37	evls1val 22340	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ (var1‘𝑆) ∈ (Base‘(1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) → (𝑄‘(var1‘𝑆)) = ((((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(var1‘𝑆)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
39	14, 3, 33, 38	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(var1‘𝑆)) = ((((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(var1‘𝑆)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
40		crngring 20263	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
41		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘𝑆)
42		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑆)) = (Base‘(Poly1‘𝑆))
43	41, 42	ply1bas 22212	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑆)) = (Base‘(1o mPoly 𝑆))
44	43	eqcomi 2744	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑆)) = (Base‘(Poly1‘𝑆))
45	2, 41, 44	vr1cl 22235	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (var1‘𝑆) ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑆)))
46	14, 40, 45	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑆) ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑆)))
47		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (eval1‘𝑆) = (eval1‘𝑆)
48		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (1o mPoly 𝑆) = (1o mPoly 𝑆)
49		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑆)) = (Base‘(1o mPoly 𝑆))
50	47, 9, 11, 48, 49	evl1val 22349	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ (var1‘𝑆) ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑆))) → ((eval1‘𝑆)‘(var1‘𝑆)) = (((1o eval 𝑆)‘(var1‘𝑆)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
51	14, 46, 50	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(var1‘𝑆)) = (((1o eval 𝑆)‘(var1‘𝑆)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
52	26, 39, 51	3eqtr4d 2785	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(var1‘𝑆)) = ((eval1‘𝑆)‘(var1‘𝑆)))
53	47, 2, 11	evl1var 22356	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → ((eval1‘𝑆)‘(var1‘𝑆)) = ( I ↾ 𝐵))
54	14, 53	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(var1‘𝑆)) = ( I ↾ 𝐵))
55	7, 52, 54	3eqtrd 2779	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑋) = ( I ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∅c0 4339  {csn 4631   ↦ cmpt 5231   I cid 5582   × cxp 5687   ↾ cres 5691   ∘ ccom 5693  Oncon0 6386  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  1_oc1o 8498  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  SubRingcsubrg 20586   mVar cmvr 21943   mPoly cmpl 21944   evalSub ces 22114   eval cevl 22115  var₁cv1 22193  Poly₁cpl1 22194   evalSub₁ ces1 22333  eval₁ce1 22334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-evls 22116  df-evl 22117  df-psr1 22197  df-vr1 22198  df-ply1 22199  df-evls1 22335  df-evl1 22336

This theorem is referenced by:  evls1varsrng  22360  evls1varpwval  22388  algextdeglem4  33726  2sqr3minply  33753