Theorem evls1var 21504

Description: Univariate polynomial evaluation for subrings maps the variable to the identity function. (Contributed by AV, 13-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1var.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1var.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
evls1var.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1var.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1var.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1var.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
evls1var	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑋) = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem evls1var

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1var.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (var1‘𝑆) = (var1‘𝑆)
3		evls1var.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		evls1var.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
5	2, 3, 4	subrgvr1 21432	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑆) = (var1‘𝑈))
6	1, 5	eqtr4id 2797	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (var1‘𝑆))
7	6	fveq2d 6778	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑋) = (𝑄‘(var1‘𝑆)))
8		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)
9		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (1o eval 𝑆) = (1o eval 𝑆)
10		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (1o mVar 𝑈) = (1o mVar 𝑈)
11		evls1var.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
12		1on 8309	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ On)
14		evls1var.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
15		0lt1o 8334	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 1o
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 1o)
17	8, 9, 10, 4, 11, 13, 14, 3, 16	evlsvarsrng 21309	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((1o mVar 𝑈)‘∅)) = ((1o eval 𝑆)‘((1o mVar 𝑈)‘∅)))
18	2	vr1val 21363	. . . . . . 7 ⊢ (var1‘𝑆) = ((1o mVar 𝑆)‘∅)
19		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (1o mVar 𝑆) = (1o mVar 𝑆)
20	19, 13, 3, 4	subrgmvr 21234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1o mVar 𝑆) = (1o mVar 𝑈))
21	20	fveq1d 6776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1o mVar 𝑆)‘∅) = ((1o mVar 𝑈)‘∅))
22	18, 21	eqtrid 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑆) = ((1o mVar 𝑈)‘∅))
23	22	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(var1‘𝑆)) = (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((1o mVar 𝑈)‘∅)))
24	22	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1o eval 𝑆)‘(var1‘𝑆)) = ((1o eval 𝑆)‘((1o mVar 𝑈)‘∅)))
25	17, 23, 24	3eqtr4d 2788	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(var1‘𝑆)) = ((1o eval 𝑆)‘(var1‘𝑆)))
26	25	coeq1d 5770	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(var1‘𝑆)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((1o eval 𝑆)‘(var1‘𝑆)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
27		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Poly1‘𝑈) = (Poly1‘𝑈)
28		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝑅)) = (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝑅))
29		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (PwSer1‘(𝑆 ↾s 𝑅)) = (PwSer1‘(𝑆 ↾s 𝑅))
30	4	fveq2i 6777	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly1‘𝑈) = (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝑅))
31	30	fveq2i 6777	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑈)) = (Base‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝑅)))
32	28, 29, 31	ply1bas 21366	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑈)) = (Base‘(1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))
33	32	eqcomi 2747	. . . . 5 ⊢ (Base‘(1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) = (Base‘(Poly1‘𝑈))
34	2, 3, 4, 27, 33	subrgvr1cl 21433	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑆) ∈ (Base‘(1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))))
35		evls1var.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
36		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (1o evalSub 𝑆) = (1o evalSub 𝑆)
37		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)) = (1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))
38		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘(1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))) = (Base‘(1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))
39	35, 36, 11, 37, 38	evls1val 21486	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ (var1‘𝑆) ∈ (Base‘(1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅)))) → (𝑄‘(var1‘𝑆)) = ((((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(var1‘𝑆)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
40	14, 3, 34, 39	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(var1‘𝑆)) = ((((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(var1‘𝑆)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
41		crngring 19795	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
42		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘𝑆)
43		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (PwSer1‘𝑆) = (PwSer1‘𝑆)
44		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑆)) = (Base‘(Poly1‘𝑆))
45	42, 43, 44	ply1bas 21366	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑆)) = (Base‘(1o mPoly 𝑆))
46	45	eqcomi 2747	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑆)) = (Base‘(Poly1‘𝑆))
47	2, 42, 46	vr1cl 21388	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (var1‘𝑆) ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑆)))
48	14, 41, 47	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑆) ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑆)))
49		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (eval1‘𝑆) = (eval1‘𝑆)
50		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (1o mPoly 𝑆) = (1o mPoly 𝑆)
51		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑆)) = (Base‘(1o mPoly 𝑆))
52	49, 9, 11, 50, 51	evl1val 21495	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ (var1‘𝑆) ∈ (Base‘(1o mPoly 𝑆))) → ((eval1‘𝑆)‘(var1‘𝑆)) = (((1o eval 𝑆)‘(var1‘𝑆)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
53	14, 48, 52	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(var1‘𝑆)) = (((1o eval 𝑆)‘(var1‘𝑆)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
54	26, 40, 53	3eqtr4d 2788	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(var1‘𝑆)) = ((eval1‘𝑆)‘(var1‘𝑆)))
55	49, 2, 11	evl1var 21502	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → ((eval1‘𝑆)‘(var1‘𝑆)) = ( I ↾ 𝐵))
56	14, 55	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((eval1‘𝑆)‘(var1‘𝑆)) = ( I ↾ 𝐵))
57	7, 54, 56	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑋) = ( I ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∅c0 4256  {csn 4561   ↦ cmpt 5157   I cid 5488   × cxp 5587   ↾ cres 5591   ∘ ccom 5593  Oncon0 6266  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  1_oc1o 8290  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  Ringcrg 19783  CRingccrg 19784  SubRingcsubrg 20020   mVar cmvr 21108   mPoly cmpl 21109   evalSub ces 21280   eval cevl 21281  PwSer₁cps1 21346  var₁cv1 21347  Poly₁cpl1 21348   evalSub₁ ces1 21479  eval₁ce1 21480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-srg 19742  df-ring 19785  df-cring 19786  df-rnghom 19959  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-assa 21060  df-asp 21061  df-ascl 21062  df-psr 21112  df-mvr 21113  df-mpl 21114  df-opsr 21116  df-evls 21282  df-evl 21283  df-psr1 21351  df-vr1 21352  df-ply1 21353  df-evls1 21481  df-evl1 21482

This theorem is referenced by:  evls1varsrng  21506